一、教学目标

理解四点共圆的概念，掌握四点共圆的判定定理和性质定理，并能运用这些定理解决相关的几何问题 ，通过对四点共圆相关知识的探究，体会从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法，提高逻辑思维能力和推理论证能力。引导学生积极参与数学活动，培养学生独立思考、合作交流的学习习惯，激发学生学习数学的兴趣，体会数学的美学价值。

二、教学重难点

重点掌握四点共圆的判定定理和性质定理，能够熟练运用判定定理判断四点共圆，利用性质定理解决角度、线段等几何问题。

难点是判定定理和性质定理的证明及灵活应用，在复杂的几何图形中发现四点共圆的条件，并运用相关定理进行推理和计算。

三、教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合。通过讲授，向学生传授四点共圆的基本概念、定理等知识；组织学生讨论，激发学生思维，促进学生之间的思想交流与碰撞；引导学生自主探究，让学生在探究过程中深入理解知识，提高解决问题的能力。利用多媒体辅助教学，展示几何图形的动态变化过程，帮助学生直观地理解抽象的数学概念和定理，提高教学效果。

四、教学过程

（一）导入新课（5 分钟）

在中考数学中有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现 “圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆” 千里来相会，无“圆” 对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！本节课重点学习“隐圆模型”之“四点共圆”

（二）讲授新课（25 分钟）

给出四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆。通过简单的动画演示，展示四个点在圆上的不同位置，让学生对四点共圆有一个直观的认识。

1. 性质定理探究：让学生在练习本上画出一个圆，然后在圆上任取四个点A、B、C、D，连接四边形 ABCD。引导学生观察四边形 ABCD 的内角之间的关系，测量角的度数，猜想圆内接四边形的性质。给出圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。结合图形，利用圆周角定理进行严格的证明。
2. 判定定理探究：提出问题：如何判断四个点在同一个圆上呢？引导学生从性质定理的逆命题出发进行思考。

探究 1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。引导学生用反证法进行证明。假设四边形 ABCD 的对角互补，但四个顶点不共圆，然后推出矛盾，从而证明该判定定理成立。

探究 2：若两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合圆的定义进行证明 。

总结四点共圆的判定方法：（1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆；（2）对角互补的四边形的四个顶点共圆；（3）有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆 。

（三）例题讲解（15 分钟）

例1  如图，在ABC中，过点A作AD⊥BC与点D，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F．求证：B，E，F，C四点共圆．

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

 

 

 

证明  因为DE⊥AB，DF⊥AC，

所以∠AED＋∠AFD＝180°，即A，E，D，F四点共圆．

连结EF，则∠AEF＝∠ADF．

因为AD⊥BC，DF⊥AC，

所以∠FCD＝∠ADF＝∠AEF，

所以B，E，F，C四点共圆．

例2  在锐角ABC中，AB＝AC，AD为 边上的高，E为AC的中点．若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM与点N，射线EN与AB相交于点P，证明：∠APE＝2∠MAD．

A

B

C

D

E

P

N

M

A

B

C

D

E

P

N

M

 

 

 

 

证明  如图，连结DE．

E为AC的中点，所以DE＝AE＝CE＝NE，

从而A，N，D，C在以点E为圆心、AC为直径的圆上，所以∠DEN＝2∠DAN．

由题意可得D为BC的中点，所以EDAB，

所以∠APE＝∠DEP ＝2∠MAD

（四）课堂练习（10 分钟）

1、在四边形 ABCD 中，∠B = 60°，∠D = 120°，判断 A、B、C、D 四点是否共圆，并说明理由。
2、已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，∠B = 50°，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数 。

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行讲解。

（五）课堂小结（5 分钟）

与学生一起回顾四点共圆的定义、判定定理和性质定理。总结四点共圆在解决几何问题中的常见思路和方法，如通过证明四点共圆来证明角相等、线段相等或平行、垂直等关系。

（六）布置作业（5 分钟）

基础作业：

已知四边形 ABCD 中，∠A = 100°，∠C = 80°，证明 A、B、C、D 四点共圆，并求∠B 与∠D 的度数和。

能力提升作业：

在ABC 中，AB = AC，D 是 BC 上一点，过 A、B、D 三点作圆 O，求证：点 C 在圆 O 上。

拓展探究作业：寻找生活中更多可以用四点共圆知识解释的现象或实际应用，并记录下来。