恒定总流的能量方程
§2-1-1   描述水流运动的两种方法

§2-1-1-1拉格朗日法（Lagrange）：（迹线法）

（点击拉格朗日科普知识）

拉格朗日法：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

也就是说迹线法着眼于流体质点，它以每个运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察质点的运动轨迹（迹线）以及运动要素（v、p、a）随时间的变化，综合所有流体质点的运动，得到流体的运动规律。

水流质点的运动要素一般与空间坐标位置x、y、z和时间t有关，即

                            （3-1）

迹线法在概念上比较直观，但在数学处理上较为复杂，所以实际工作中很少采用，本书主要采用简便实用的流线法。

优点： 可以描述各个质点在不同时刻的状态，研究流体运动轨迹上各运动要素的变化情况。          

缺点：不便于研究整个流场的特性。

§2-1-1-2 欧拉法（Euler）：（流线法）

（点击欧拉科普知识）

    流线法是考察通过固定空间位置点的不同流体质点的运动状态，来了解整个运动空间内的流动情况，汇总这些情况即可了解整个液流的运动变化规律。

即：它着眼于充满运动流体的空间（流场），以流场上各个固定的空间点作为考察对象，寻求流体质点通过这些空间固定点时，运动要素随时间的变化规律，而不问个别质点的运动

过程。

加速度a在各方向上的分量：

                              （3.2）

（3.2）式中：

    、、分别表示x、y、z方向的速度。

 表示在某一固定空间点上，流体质点速度对时间t的变化率。也就是在同一地点，由于时间的变化而引起的加速度，称为当地加速度。

其余几项表示流体质点在同一时刻因地点(x、y、z)变化而引起的加速度，称为迁移加速度。

§2-1-1-3 迹线与流线

1.迹线与流线

1）迹线：是某一流体质点在某一时段内的运动轨迹线，它是流体质点运动的几何描述。

2）流线：是某一固定时刻流场中的空间曲线，该曲线上任意空间点处流体质点的速度方向与曲线在该点相切。

一般而言，通过同一点的流线和迹线是不重合的，但在恒定流中，固定空间点处流体质点的流速不随时间变化，故流线形状不随时间变化，流体质点必沿某一确定的流线运动，此时，流线和迹线重合。

综合以上分析，流线和迹线是描述流体运动的不同几何特性，它们的最根本差别是：

迹线是同一质点不同时刻的位移曲线。

流线则是同一时刻，不同质点连接起来的速度场向量线。

简言之，迹线是描述指定质点的运动过程，流线是描述给定瞬间的速度场状态。

图3-1动画演示

流线的特点：

① 流线是代表流速方向的矢量线。

    ② 流线不能相交，它是一条连续光滑的曲线。

③ 流线的疏密程度反映流速的大小。流线越

密集的断面流速越大，流线越稀疏的断面流速越小。   图3-2

 
图3-2
 

§2-1-2流管、微小流束、总流、过水断面

1）流管：

    在液流内任取一微小封闭曲线，从曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的一个封闭管状结构称为流管。

2）微小流束：

   充满在流管中的液流称为微小流束。

3）总流：     图3-3

 
图3-3
图3-3动画演示

由无数元流组成的整个液流。

4）过水断面：（Ａ）

垂直于元流或总流流向的横截面。图3-4

 
图3-4
图3-4动画演示
 

§2-1-3 水流的运动要素

1）流量：（Ｑ）

    单位时间内通过某一过水断面的液体体积。

根据流量的单位不同，可分为：

体积流量Ｑ（m3/s）或（l/s）、重量流量rQ （KN/h）和质量流量ρQ（Kg/h）

   元流的流量：                                        （3.3）

   总流的流量：                                 （3.4）

2）断面平均流速（v）

    在工程计算中为简化问题，常把过水断面上不均匀的流速看成是均匀分布的，并以按这个均匀分布的流速v计算所得的流量与实际流量相等，则流速v就称为断面平均流速。

即：                                         （3.5）

或　                            

    3）动水压强（p）

液体运动时，液体中任意点上的压强称为动水压强。

                           

 
图3-5
 断面平均流速(动画演示)
 

§2-1-4 水流运动的类型     

§2-1-4-1 .恒定液与非恒定流

若在流场中所有空间点上的运动要素均不随时间而改变，这种液流称为恒定流(图3-6)。反之，如任意空间点上有一运动要素随时间而改变则称为非恒定流(图3-7)。

由于恒定流时运动要素不随时间而变，则流线形状也不随时间而变化，此时，流线与迹线重合，水流运动的分析比较简单，本章只研究恒定流。

 
图3-6 图3-7

§2-1-4-2 .均匀流和非均匀流

在恒定流中，按速度大小和方向是否沿流程变化，将液流分为均匀流和非均匀流。流速的大小和方向沿程不变的流动称为均匀流，反之，流速的大小或方向沿程改变的流动称为非均匀流。

均匀流中的流线为彼此平行的直线，过水断面为平面；非均匀流中的流线不是彼此平行的直线，过水断面为曲面。液体在断面形状、尺寸沿程不变的长直渠（管）道中的流动均为均匀流；而在扩散管、收缩管或弯管中的流动，以及在断面形状、尺寸沿程改变的渠（管）道中的流动均为非均匀流。

§2-1-4-1-3．渐变流和急变流

按各流线是否接近于平行直线，又可将非均匀流分为渐变流和急变流。

渐变流：各流线之间得夹角很小，即各流线几乎是平行的，且各流线的曲率半径很大，即各流线几乎是直线的流动。

均匀流是渐变流的极限情况。

急变流：各流线之间的夹角很大，或者各流线的曲率半径很小的流动。

                           

 
图3-8
图3-8动画演示

§2-1-4-1-4  . 有压流（有压管流）、无压流（明渠流）、射流

具有自由液面的液流称为无压流或明渠流，反之，液体沿流程的整个边界都与固体壁面接触，无自由液面，则为有压流或有压管流。水流从喷嘴流出，射向某一固体壁面的流动，称为射流。射流四周均与大气接触。

§2-1-4-1-5  .  一元流、二元流和三元流

一元流：若某种液流，在一个方向流动最为显著，而在其余两个方向的流动可忽略，称为一充流。一元流时运动要素只与一个位置坐标有关。

二元流：即液流主要表现为两个方向的流动，而第三个方向的流动可以忽略。二元流（平面流）其运动要素只与两个位置坐标有关。

三元流：当三个方向的流动都不能忽略的液流，即空间任何一点的运动要素均不相同。三元流（空间流）其运动要素是三个位置坐标的函数。
§2-2 恒定总流的的连续性方程

由连续介质的概念和质量守恒原理出发，即可导出流速和过水断面之间的关系式，即恒定总流连续方程。

如下图所示，从恒定的总流中任取一段，再从中任取一束元流，各已知量标于图3-9                          

 
图3-9

在恒定流条件Ｆ，元流的形状和元流段 的流体质量均不随时间变化；流面上不可能有流体的流进或流出；液流是连续介质，元流内部不存在空隙，据质量守恒原理，得：

               常数                                   

对于不可压缩的流体，常数，则

            　常数                          

                                  ——恒定元流的连续性方程

 对于总流，应对上式积分：

            　　                        

引入断面平均流速得：

                                         （3-6）

或                                                      （3-7）

上式即为恒定总流的连续性方程

注意：１．对于有固定边界的管流，即使是非恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用。

２．即适用于理想流体，也可用于实际流体。

３．若沿流程有流量的流进或流出，则应相应地加上或减去。

    对于以上第三点，连续性方程在形式上应作相应的变化。当有流量汇入时（图3-10），方程为

                                                    （3-8）

    当有流量分出时（图3-11），方程为

                                                    （3-9）

 
图3-10 图3-11
图3-10动画演示 图3-11动画演示

【例3-1】           有一变直径圆管（图3-12），已知1-1断面直径d1=200mm,断面平均流速

v1=0.5m/s；2-2断面直径d2=100mm。试求：

（1）2-2断面平均流速v2；

 
 图3-12
图3-12动画演示

（2）管中流量Q。                        

解  （1）求流速v2:

根据恒定总流的连续性方程                                                                                        

而                                   

所以               

    （2）求管中流量Q：

                   

    【例3-2】   一分岔管路(图3-13),已知管径d1=d2=200mm,d3=100mm,断面平均流速v1=4m/s,v2=3m/s，试求断面平均流速v3。

 
图3-13
图3-13动画演示

解  根据连续性方程:

 

§2-3-1恒定元流能量方程

适用条件：①理想流体 ②稳定流动 ③质量力只受重力 ④不可压流体  ⑤沿流线或微小流束。

§2-3-1-1．由功能原理推导恒定流实际流体元流的能量方程

 
图3-14

如图3-14：在恒定流中取一段元流，任截取其中断面１－１与断面２－２之间的流段来研究，各参数标于图上。

据功能原理，外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

①动能的增量

由于是恒定流，在时段内，１ˊ－２这部分的质量和各点流速都没有变化，即动能的变化为零，所以整个流段的动能增量可看作是２－２ˊ段的动量和１－１ˊ段动能的差值。

因为流体不可压缩：Ｖ１－１ˊ＝Ｖ２－２ˊ＝dＶ

这块水体的质量：

因为体积微小，可以认为１－１ˊ和２－２ˊ各点流速是均布的，分别为、，则动能的增量为：

                                      （3.11）

②外力作功

a．表面力作功（包括动水压与摩擦阻力作功）

断面１－１ˊ和２－２ˊ上的动水压力与水流方向平行，所以要做功；而元流侧壁上的动水压力由于与流动方向相垂直，所以不做功，两断面上动水压力所做的功为：

                                 （3.12）

    液流的摩擦阻力由于与流动方向相反，所以对液流做负功，以表示摩阻力对单位重量的液流所做的功，则对重为γdV的水体来说，摩阻力所做的功是：

b．质量力作功（作用在流体上的质量力只有重力）

重力作功可视为从１－１ˊ移至２－２ˊ时重力所做的功，因而重力作功

                　　　         （重力做正功）          （3.13）

应用功能原理得

                  （3.14）

两边除以，并移项得

                                  （3.15）

                              ——单位重量不可压缩的实际流体恒定元流能量方程

§3-3-1-2、渐变流用渐断面压强分布规律

1)渐变流与急变流

渐变流（缓变流）：

    在实际水流中，若流线之间的夹角很小而近于平行或流线弯曲的曲率很小，流速在大小和方向上都变化很缓慢，这种流动称之为缓变流。

反之，则称为急变流

2)渐变流过水断面上动水压强的分布规律

 
图3-15

渐变流和急变流的比较，最大的差别是动水压强分布规律不同。对渐变流，在缓变流过水断上任一两相邻流线间取一微分柱体（如图3-15）

作用在该微小柱体上的力：

表面力：①柱体两端的动水压强和；

            ②与柱体轴n－n垂直的柱体侧面的动水压强；

            ③柱体侧面和两端的摩擦力，（垂直于n－n轴）。

质量力：只有重力。

    因为渐变流的流线是几乎平行的直线，则沿n向的加速度，

   于是，微小液柱沿n向的运动方程为：

                                                        

整理得：                                            

积分（2.43）得：                                    （3.16）

上式说明，缓变流过水断面方向上。但沿流程各断面的势能不可能是同一常数，这是由于液流摩阻力耗能，运动过程中一部分势能转化为其它形式的能。

   在急变流断面上，由于流线弯曲大或相互不平行，在过水断面向上存在离心力，即沿n方向的加速度不能忽略，因而断面上各点的单位势能不等于常数。
 

§2-3-2、恒定总流能量方程

§2-3-2-1 恒定总流能量方程推导

  如图3-14所示，元流的流量

                                                  

   则时段流过元流的流体重量为：

                                           

  因为元流能量方程：表示元流单位重量流体的能量守恒关系，对元流能量方程两边都乘上后，可得时段内，通过元流总的能量守恒关系为：

              

  总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面、上积分，便得到时段内通过总流的流体的能量守恒关系为：

       

设总流的流量为Ｑ，则时段通过总流的流体重量为，将上式除以，即得：

     

                     

                           ——单位时间内通过总流的单位流体重量的能量守恒关系。

（3.23）共含三种类型积分：

1．        

  ——总流过水断面上的平均单位势能

若取过水断面均为均匀流或渐变流，则断面上。

故：                        ２．               

——总流过水断面上的平均单位动能

取断面平均流速，并引入修正系数，则：

                                                    

其中：

值是大于１的数，其大小取绝于断面上的流速分布的不均匀程度。

３．             

——总流断面１－１与２－２之间能量损失的平均值。

用表示该值，则：

                                                    

    ：总流水头损失。

将以上各积分结果代入（3.23）得：

                             （3-18）

——总流能量方程

§2-3-2-2  总流能量方程中各项的意义

   1．能量上的意义：

     和代表单位重量的流体所具有的位能和压能。

     ：代表单位重量的流体所具有的位能和动能。（单位动能）

    ：单位势能。

    ：总单位能。

     ：单位能损失。

 2．水头线及其绘制

①先画出基准面０－０和总流中心线。                      

②                    

 
 图3-20
图3-20动画演示

③在各断面的中心向上作垂线，截取高度为

得测压管水头线。

④在测压管水头线上截取垂直高度为，

就可得总水头线。                                    

对明渠流，测压管水头线就是水面线。

 水力坡度（水力坡降）：总水头线的坡度，它代表单位长度的水头损失。

                                                          （3-20）

                                为Ｌ流段上相应的水头损失。

 若总水头线是曲线，水力坡度是变值，在某一段面处可写成：

                                       （3-21）