李智民

“一个不会自学的老师绝不可能培养学生学会自学，……培养学生自主学习，从教师方面的阻碍来看，就是教师读书、自学、研究的体验太少，这是个非常重大的缺陷”。这表明我们教师只有亲身经历“自学”体验，钻研、驾驭教材——我会读，才能言传身教，培养学生的自主学习能力，提高学生数学阅读水平，达到——我能读。因此，教师亲身经历“自学”体验，钻研、驾驭教材，是实施“引导——自学”教学的必要条件，那么，教师该怎样备课呢？

一、设身处地站在学生的角度去读，处处感到新奇脑中产生疑问。

教师要转变角色，设身处地站在学生的角度，把课文看作是未涉猎的新知识而首先阅读自学，与小学生一样，看到的内容处处充满新奇感——这是什么，并且脑中不时冒出疑问——它怎么样？与以前学过的知识有什么联系？新在哪里？我怎样理解它？以体验学生阅读时可能会有哪些困惑或问题。

二、居高临下地站在研究者的角度去读，挖掘出教材中隐含的两条线。

教师作为研究者面对教材，既要“深入”，提出深层次问题，多问几个为什么？——数学是什么？它有哪些特点？有什么思想方法？在此处以怎样的方式呈现？等等。还要“浅出”，进而思考怎么办？——该如何教学？如何引导学生自学？让学生是了解、或理解、或掌握什么？

我们在听课中感到，教师教学中相当一部分失误，是由于缺乏对数学的基本认识所致，一旦掌握这方面的基本认识，并应用于教材分析和教学设计，教学效果就会明显提高。这些基本认识是：

（一） 、明确数学研究对象，把握教材内在联系

科学的不同分支，各以不同方面的问题为其研究对象，而数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，归纳为以下三个方面：

1）数以及数与数的关系——在《标准》中的表述是“数和代数”；

2）形以及形与形的关系——在《标准》中的表述是“空间和图形”；

3）数与形的关系

《标准》中又把研究随机现象的内容“统计和概率” 及数学的实践应用内容单独列出，构成小学数学学科四个领域的内容标准。这样，就可从广度上把握数学的研究对象。

从深度上看，小学数学涉及的数主要是非负有理数，而且是以十进制计数法记数的，但引入了正、负数和字母表示数的概念；从数与数的关系上看，研究了前述数的相等和不等（包括大于和小于等）的顺序关系和加、减、乘、除等四种运算关系，方程则是为解决应用广泛的求未知数的问题，结合运算关系而建立起来的特殊数学模型，统计和概率涉及的则是不确定现象的规律。小学数学主要涉及的是形——三角形、长（正）方形、平行四边形、梯形、圆及长（正）方体、圆柱（锥）等，形与形的关系则涉及较少。数形关系中渗透了数轴与坐标概念，这是联系数与形的桥梁。

明确了数学研究对象并应用于分析教材，就能在广度和深度上把握住每部分教材所处的地位和作用以及它们的内在联系。

（二） 、掌握数学特点，认真钻研教材

明确了数学研究什么，它有什么特点呢？

1）普遍的实践性

现实世界客观存在的物质，必具有一定的空间形式并必具有量这个客观属性，这就是说，数学的研究对象普遍地存在于一切事物之中，并被人们通过实践(科学实验也是实践)，逐渐将其总结归纳成为数学。不仅是数学的研究对象（例如从量抽象出数的概念，从客观存在的物体抽象出几何体与形的概念等），而且研究过程中所采用的一些方法（例如所学数的四则运算的算理、运算顺序的规定及运算律等），都明显地打着实践的烙印,因此结合实践去认识和理解它，就会有易于理解和亲切之感。在数学概念引入教学阶段，应通过恰当多的实例，着重引导学生清楚原有概念是怎样不足以反映新的实践事实，原有的方法对于当前要解决的问题怎样不够用，从而要引入新概念和新方法，理解概念和方法产生的缘由，培养学生的观察和比较能力。

2）高度的抽象性

抽象，顾名思义，就是抽出来还象。客观的数量关系和空间形式是数学的研究对象，决定了数学抽象的内容是只抽取、保留对象的量的关系和空间形式的共性，而舍弃对象的其他一切，把握这一点，对于学生形成正确的数学概念至关重要。

《标准》对每个学段“知识和技能”第一句都是以这样的句式“经历从……中抽象出……的过程，认识……”。以“经历从日常生活中抽象出数的过程”为例，可知数学抽象过程包括以下几个环节：

（1）、分离：小学生面对一本书、一支铅笔、一把小刀、一个人、……这些“有名数”是分别属于一定种类的对象的，表明他们还没有明显地把数分离出来。分离就是要把上述材料的本质属性——数量与对象的非本质属性——书、铅笔、小刀、人、……分离，对各对象显见的质的差异采取“视而不见”的态度，完全舍弃掉。

（2）、提纯：就是仅仅着眼于数量方面，只保留数量的共性，书、铅笔、小刀、人、……都是“一”。

（3）、简略：概括出：不论是什么，只要数量是一个，就用“1”表示。

分离——提纯——简略，是数学抽象过程的三个环节。在数学概念的抽象教学阶段，应采取“慢镜头分解式动作”，引导学生参与抽象过程之中，体会和揣摩数学抽象方法——舍弃寓于各实例中不同的质，抽出相同的数量关系和空间形式，培养学生对所抽数学概念的理解，只有理解了的对象是处处都能感受到的，因而是不用强行记忆就可记住的东西，所以记忆能力是建立在理解能力基础上培养的。同时通过对抽象过程的认识，提高了学生的数学素养。

3）逻辑的严谨性

用高度抽象形式表达的数学研究对象，决定了获得有关它们的新的数学结论，只能采用人们所认识和掌握的反映事物发展规律的逻辑推理的方法，即以基本概念作为思维细胞，利用逻辑的方法去判断和推理，得出结论。我们称数学的这个特点为逻辑严谨性，正因为如此，又保证数学结论的准确性。因考虑到小学生的年龄特点和接受能力，小学数学的结论用逻辑推理的方法少，而更多地采用实验及不完全归纳法得出，如圆面积及圆柱（锥）的体积、四则运算的运算律等，在此过程中培养学生的初步逻辑思维能力  以及准确、迅速的计算能力等。

4）应用的广泛性

数学的前三个特点，自然保证了其应用的广泛性，这就是说，无论是怎样的实际问题，当我们扬弃其质，建立其数量关系和空间形式的数学模型——化实际问题为数学问题的过程中，培养学生分析问题的能力，再应用数学方法去求得答案，然后再结合具体问题作答，培养学生解决问题的能力，从而使学生获得完整的数学能力。

（三） 、从以上基本认识所悟到的一些思考

1）、“感觉到了的东西不能立刻理解它，只有理解了的东西才能更深刻地感觉它”。上述数学的四个特点告诉我们，从一个数学概念的形成到应用其解决实际问题，明显地分为（以上述四个特点所标志的）四个阶段，因此反映在教材中也呈现的是四个阶段，掌握各阶段的特点及转折，正是我们深刻地经历“自学”体验，居高临下地钻研、驾驭教材所需的内在素养。

2）、四个阶段实际上是辩证唯物认识论中所指出的实践——认识——实践的认识过程，在数学学科的具体反映。对此，《标准》在“前言”中要求“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。教学的着力点就是教师引导学生怎样实现认识过程中的“两个飞跃”。所谓重点，正是那些处于认识和知识的飞跃或转折地位的知识。所谓关键，正是那些处于逻辑关联地位的知识。至于难点，则不外是那些接受或应用比较困难的知识。依此，就不难抓住关键、分散难点和突出重点，并根据自己学生的具体情况选择出最恰当的教法。

3）、认真研读教材，挖掘出两条线。一是知识点这条明线，一是隐藏在知识点中的数学思想方法这条暗线——确定教、学目标是什么；再把这两种角度、两条线结合起来，通盘考虑后再设计怎样教学——做到“两个善于”，引导学生自学，并确定哪些地方给以点拨，最终使之恍然大悟、茅塞顿开。