《鸽巢问题》

                             

                 六（4）徐丽玲

 

教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。

教材分析：

鸽巢问题又称抽屉原理或狄利克雷原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。

学情分析：

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。

设计理念：

在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和价值取向。

教学目标：

1、知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。

2、过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。

3、情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。

教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。

教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

教学准备：多媒体课件、学具、合作探究作业纸。

教学过程：

一、   谈话引入                         

1、同学们知道大魔术师刘谦吗？他变起魔术来可神奇了，一幅扑克牌在他手里像使了魔力一样，你想要什么就给你找出什么。今天我也来当一回魔术师，玩一下魔术，看看我能不能成功。

师：一幅牌，取出大小王，请5位同学配合我，每人随意抽一张，我一定让你们中的两个人抽到同样的花色。

2、玩游戏，让学生猜测为什么会出现这种现象？（可能学生都急于发表自己的见解，但老师让他们耐心地等待游戏）是老师也施了魔法了吗？今天我们就来研究这个有趣的问题。让我们在来做一个小实验来发现其中的秘密吧。

二探究新知

1出示例1

出示题目：有4支铅笔，3个笔筒（把实物摆放在讲桌上），把铅笔放进个笔筒，怎么放？有几种不同的放法？大家小组合作试一试。

2、出示合作要求：

（1）动手分一分，看看有哪些不同的分法

（2）把分法用你们喜欢的符号记录下来如（4，0, 0）或画图

（3）组织好语言，准备汇报。

教师根据学生回答在黑板上展示学生的结果。

3、提出问题：“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗？

学生尝试回答，师引导：这句话里“总有一个笔筒”是什么意思？（一定有，不确定是哪个笔筒，最多的笔筒）。这句话里“至少有2支”是什么意思？（最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上）

3、得到结论：从刚才的实验中，我们可以看到4支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支笔。刚刚的方法我们把他叫做枚举法，这种方法优势是把所有的分法都让我们看得很明白，但也有不足的地方，比较慢，不能很快知道盒子里至少能放几支，谁有更快的方法呢？

5、认识假设法

如果每个笔筒只放一支笔，最多放3支，剩下的一支铅笔无论放在哪个盒子里，都有一个盒子里至少放两支铅笔。

反复练习并板书：

5支铅笔放在4个盒子里，会怎样？

6支铅笔放在5个盒子里，会怎样？

板书：铅笔数    盒子数      至少个数

         4        3           2

         5         4           2

 

 

 

如果老师把铅笔改成苹果，把盒子改成抽屉：你能把8个苹果放在7个抽屉里吗？结果会怎样？如果把9只鸽子放在8个笼子里呢？

三、小结：如果我们把铅笔、苹果或鸽子看成物品数，把盒子看成抽屉或鸽舍，就可以说把物体放在4个物品放在三个抽屉里，至少有一个抽屉有2个物品。这就是著名的抽屉原理，也叫鸽巢原理。他是19世纪德国数学家狄利克雷发现的，因此也叫狄利克雷原理。

对于刚才学习的鸽巢原理同学们还有什么疑问吗？我们前面例举的例子都是苹果比抽屉多1，当苹果数比抽屉多很多的时候会有什么结果呢？

四、原理运用

1、出示例2：

把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进3本书，为什么？先在小组内议一议。

学生汇报：老师板书，引导学生发现规律。

7÷3=2······1

如果有8本、10本呢？

小结：鸽巢问题的计算方法

物体数÷鸽巢数=商······余数

不能整除时至少数=商+1

整除时至少数=商

2、引导学生用字母表示关系式：

（1）有kn+b（b大于或等于0，但小于n，k、n、b都为整数）支笔放进n个笔筒，当b=0时总有一个笔筒至少有k支笔。

（2）b不等于0时，总有一个笔筒至少有k+1支笔。

五、练习提升（略）

六、全课总结

抽屉原理或鸽巢原理是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多的应用。它广泛应用于现实生活当中如：虽然简单，但它的运用非常广泛：招生录取、就有安排，资源分配等方面我们会经常看到隐含的抽屉原理，原理简单但变化非常丰富。有兴趣的同学可以深入地去研究。

 

 

教学反思：

本节课我利用扑克牌，以变魔术的形式，引入教学，比较新奇，很好地激发学生参与学习的兴趣，学生的目光一下子被吸引过来，并积极参与到游戏当中。在教学过程中，我非常注重孩子的探究活动过程，放手让孩子通过动手操作去发现问题，发现规律。并引导孩子通过认知活动发现理解抽屉原理（鸽巢原理）。这节课主要流程安排还是比较合理的，但是我觉得我上得太赶，细节做得不够好。该抓住的课堂生成没有抓住。如：在扑克游戏中，有孩子就提出加大小王老师就会失败，我就没有深究。在讲完枚举法与假设法时引导得不够深入，两种方法的优劣分析不够好。这节课为了教学流程而走流程，很多该展开的部分都忽略了，整节课放不开，比较拘谨。