【教材依据】 普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版 ）第三章第五节第3课时。

一、设计思路

指导思想

数学是一门具有严密推理能力和抽象概括能力的学科。本课以发展学生思维能力为核心，以学生发展为本，从本班学生的实际出发，培养学生观察能力，探究能力和抽象概括能力。

教材分析

本节课是学生在已知函数概念，并且已经掌握了函数的一般性质和简单的对数运算性质的基础上，进一步研究一类具体函数——对数函数，深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步学习函数的知识打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

 

教学目标

1、知识目标：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像、性质及其简单应用

2、能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，以及从特殊到一般等学习数学的方法，并体会数形结合思想

3、情感目标： 通过学习，学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

教学重点

 通过对对数函数图像的的探究，得出的对数函数图像及其性质，以及图像和性质的简单应用，是本节课的重点。

教学难点

1.     底数a的变化对对数函数图像及性质的有较大的影响，是本节课的一大难点。

2.     底数不同时，如何比较两个对数的大小是本节课的又一个难点

教学准备

    1、认真研究教材，与同课头老师探讨教学思路，听取有经验老师的意见！。

 2、精心制作PPT课件和几何画板课件辅助教学。

    3、安排学生预习。

 

教学过程设计

一．复习提问，引入新课

师：对数函数的概念？定义域是什么？

生：一般地，函数 ，(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中定义域是（0，+∞）

师：对数的运算性质有哪些？

生：(1) ; 

(2) ;

(3) .  

（4）对数的换底公式

 ( ,且 , ,且 , )

设计思路：从对数函数概念以及对运算性质引出课题，寻找学习最近发展区，为后面研究对数函数的图象和性质埋下了伏笔。

 

 

二. 性质探究

   1.探究 一：对数函数的图像

操作1：同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。

在同一坐标系内画出函数 和 的图象。

师：画函数都有哪些步骤呢？

 

生：列表、描点、连线。

（学生动手画图后，教师利用多媒体演示画图过程）

x	1/4	1/2	1	2	4	8
	-2	-1	0	1	2	3
y=log0.5x	2	1	0	-1	-2	-3

 

 

 

操作2：继续在同一坐标系中，画出下列函数图像

设计思路：通过描点法在同一坐标画出不同底数函数的图像，既有利于培养学生的动手能力，又有利于学生感知对数函数的图像的变化规律。

2.探究二

师：老师布置学习任务和组织学生探究：

请各小组根据同一坐标系中所画底数不同时对数函数的图像，归纳总结出对数函数具有哪些性质？最终请各小组派代表起来汇报本小组的探究结果。

生：各小组积极探讨，把发现的性质归纳总结，记录下来。其中重点包含（但不限于）如下内容：

v  定义域与值域分别是什么

v  当底数a变化时，对数函数图像如何变化?

v  经过哪个定点？

v  y=log_ax与y= 图像有什么关系

v  函数的单调性？

v  函数的奇偶性？

v  函数值何时取正值，何时取负值？

 

设计思路：小组探究，有利于培养学生合作意识和团队精神；开放式的探究，更有利于培养学生观察能力以及发现问题，提出问题能力。

三． 成果展示

师：教师轮流要求各小组派代表展示本组所发现对数函数的所有性质，其它队员可以补充，并对学生的精彩回答加以肯定；如果发现了新问题，鼓励学生继续讨论。

生：

通过学生的观察、探究和发现，以及各组的成果展示，将对数函数的图像性质，归结总结如下（各性质尽可能由学生总结）：

图     象		a＞1	0＜a＜1
		0     （1,0）
性   质   特   征	定义域	（0，+∞）；
	值域	R
	渐近线	图象都在y轴的右方，以作为渐近线
	定点	图象都经过（1，0）点，    即x=1时，y=0
	底数变化规律	在第一象限，图像从左向右，底数a增大 底数a逆时针增大
	奇偶性	对数函数为非奇非偶函数
	对称性	y=logax与y=log1/ax图像关于x轴对称
	单调性	当a＞1时，图象呈上升趋势， 为增函数	当0＜a＜1时，图像呈下降趋势，为减函数
	正负性	当a＞1时，若0＜x＜1，则y＜0，若x＞1，则y＞0；	当0＜a＜1时，若0＜x＜1， 则y＞0，若x＞1，则y＜0

师：通过几何画板软件，对部分性质进行验证。

设计思路：通过成果展示，培养学生的团队合作精神，以及抽象概括辐射能和口头表达能力！

 

探究三：判断下列各对数值的正负, 有什么规律?

值为正的有：     （1）（2）（3）（4）

值为负的有：      （5）（6）（7）（8）

师：根据上述探究，请学生总结规律！

规律总结：设a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，则log_ab与0的大小规律是：

（1）当a,b同时大于1或同小于1时， log_ab>0；

（2）当a,b一个大于1另一个小于1时， log_ab<0。

设计思路：进一步激发学生的问题意识和探索精神，培养学生的概括能力。

四． 性质应用

例1．  求下列函数的定义域：

（1） ； （2） ；．

分析：此题主要利用对数函数 的定义域（0，+∞）求解．

解：（1）由 >0得 ,∴函数 的定义域是 ；

（2）由 得 ，∴函数 的定义域是 ；

设计意图：加强学生对定义域的理解

 

例2：比较下列各组中两个数的大小：

(1) ；              ；

．

．

解：考查对数函数 ，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是 ．

考查对数函数 ，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是 ．

当 时， 在（0，+∞）上是增函数，于是 ；

当 时， 在（0，+∞）上是减函数，于是

 

练习1：比较下列各组对数的大小

 

（1）    log ₂7 与log ₃ 7 ;

（2）   

（3） 

（4）  log ₃π 与log ₂ 0.8

 

 解：(1)、(2)如图log ₂7 >log ₃ 7,    

(3)log₆7＞log₆6＝1

    　　　　log₇6＜log₇7＝1

   　　∴ log₆7＞log₇6

(4)log₃π＞log₃1＝0

            log₂0.8＜log₂1＝0

        ∴  log₃π＞log₂0.

归纳总结：比较两个对数式的大小的方法

a)  底数相同：可由对数函数的单调性直接进行判断.

b)  底数不同，真数相同：可用不同底时图像的高低性判断.（也可用换底公式）

c)  底数、真数都不相同：常借助1、0、－1等中间量进行比较　

d)  底数不确定时，必须讨论

e)  灵活运用公式，将等价转化后再比较

设计意图：加强学生对函数的图像及性质的的理解，并渗透数形结合思想。

 

五． 拓展提高

思考：在同一个坐标内分别作出下列函数图象

（1）y=2^x 和y=log₂x  （2）y=0.5^x和y= log_0.5x

 

  

 

师：从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系？

生：函数 y=a^x与y=log_a x图象关于y=x对称

师：推广，函数  y=f(x) 与反函数y=f^-1(x)图象关于y=x对称

设计意图：拓展知识，进一步理解反函数的概念

六、课堂小结

1.正确理解对数函数的定义；

2.掌握对数函数的图象和性质；

3.能利用对数函数的性质解决有关问题。

 

4.比较两个对数式的大小关系的哪些方法。

 

七．布置作业（略）

八、板书设计