投篮中的数学原理

                 学校：    西安市临潼区铁路中学

    姓名：    段高英

      指导老师：吴军利

一．问题的提出

篮球是一项中学生普遍爱好的体育运动，在篮球运动中也有看各种复杂的技术，要求参与者必须有敏锐的动机能力和精湛的运动协调能力，一项投篮的技术动作，就能使众多参与者发出了各种各样的疑问；有的同学无论使出多大的力量，都无法将球顺利送入篮筐，而有时同学则是费力而无缘篮筐，这是为什么呢？距篮近可以投得准吗?高个投篮是不是比小个占优势?可以利用数学知识粗略了解一下.

二.基本假设

在以下的讨论过程中,空气阻力与风力不计,认为球在空中保持静止,忽略流体压强,即篮球在空中只受重力作用.对于进球的方式只讨论空心进球的情况,即球不经篮板或篮筐的碰撞直接命中.

三.符号的规定

设篮球出平时距地面高度为h，初速度为 ，与水平夹角为 投篮者距篮环中心距离为S出手时人对球作用为平均作用力为F,篮筐半径R=23.0cm,篮球半径r=13.0cm重力加速度g=10 .

四．数学模型的建立

	h

图为投篮的侧视图,AB表示水平篮筐,A.B处分别有一半径为r的圆圆分别交AB于C,D(s.h不可忽略.以球心为研究对象)。

（1）若球要命中，则球心不能进入 部分.首先,球心中必须可以越过A点否则球将不能命中.设球从出手到到达A点时间为T.则由抛物线运动规律可知: 

整理，得：

因为：     则  为一有限值

即    当 时        

所以：    （1）                    

则若有一个人距篮环s处投篮.其出手角度无论他以多大的初速度投球都不可能进球.

2)进球应有第二个条件球心轨迹应经过C,D之间。设球从出手到与篮筐相平时间为t.则由抛物线运动规律可知

解得:    

由运量定理可得: 则  （2）通过上面的计算可得出F，S， 的关系式（1） （2）

五．数学模型的应用。

通过分别控制 来研究这些因素对投篮的影响

1.      确定出手点距地高度h,球与手接触时间t ,出手角度 及球的质量分析S与的对应关系：由(2) 可知:随着S的增大,F不断增大,即当人离篮筐较近时有利于提高投篮精度；当人离篮较远时,F显著增大不利于投篮.这表明在大多数的情况下,离篮筐近一点有助于投篮.

2.    保持相同条件研究与的变化关系:

分析可知随着的增大的大小无明显变化说明出手高度对投篮的影响并不明显即搞个球员相对小个球员仔投篮中无显著优势.

3.    保持相同条件研究与的变化关系：

由(2)可知 T与F的关系为反比关系。延长出手时间，不仅可以减少所需的力度而且减小误差提高投篮成功率。这就要求投篮者出手要柔和的原因。

4.    保持条件不变，研究 与F的变化情况：

由(1) 得：   

由(2)  可以发现  的增大，可使F不断增大。即F,   可建立函数关系:  ,所以选择合适  是做到省力而又增大进球概率的前提“为什么有的同学无论怎么用力都进不去的问题”中对于有的投手  过小无论怎样发力球都无法进筐，当 过大接近90 时， 会达到一个相当大的值，会超出一般人的能力无法进球。则过大或过小的出手角度不仅不利于进球有时会导致不可能进球。

5.  ,   综合分析：

对于已确定的投篮者在一确定的位置投篮，S,h均为常数。投篮者所能控制的因素有 ,    若想提高命中率，应延长   选取合适的  。

六．研究成果

1.在多数情况下，靠近篮有助于投篮，但当人离篮过近的时候 ，设法后退一点，或采取其他投球方式。

2. 身高对于投篮的影响并不大，粗略可认为身高和投篮命中率无必然联系。

3. 采取较为柔和的出手方式，延长手与球的接触时间有利于投篮.

4.合适的力度可以使人较好的控制，选择合适的出手角度从而既省力又提高进球的概率，过小或过大出手角度都不利于进球。

在以上四点之中身高和投篮距离是不能在投篮时改变的，手与球的接触时间对于大部分人来说是差不多的，所以，想获得更高的投篮命中率关键还是在于对出手角度的选择。

七．感想与反思

1.文中所建模型为一定理想模型,是依据数学中的基本建模思想构思成的理论模型体系,具有一定的主观性和局限性;但其中采用了与实际相结合的研究模式,同样具有一定的实践操作性.也包含了基本的科学方法、科学原理和数学文化.文中所得结论在大多数情况下是可行的，由于在实际操作中建模过程应十分复杂所以过程中去除了不必要因素，对于数学建模也重要影响.

2.生活之中处处有数学,小小的投篮运动也存在着各种各样的数学原理，所以作为运动参与者不仅要由感性的认识更应该有理性结论做后盾;在实践操作中获得更多的理论知识,培养在实践中发现数学知识的兴趣爱好和追求数学奥秘的志向,将理论应用于实践,去为创造更多的奥妙;结合理论,携手实践.让数学走进我们生活的每一个角落吧;数学无限 智慧无敌.