认识《三角形》，“活、动”中学

北师大版数学七年级下册“三角形”内容，学生们该不会陌生。一是对直角的、直角的、钝角的、等腰的、等边的等各种类型的三角形都有点印象；二是计算经验比较多，会求三角形的周长、面积以及内角和等等；三是结识和知识技能之外的因素，比如会把三角形剪拼成等面积的长方形，比如三角形动与静的观念。承上而启下，开启重新学习的新篇章，这才是新阶段认识三角形的重要目标。

在七年级阶段，“三角形”该学习哪些新内容呢。一是理解概念，比如三角形以及内角、外角、中线、高线、角平分线、全等的概念；二是几何证明，比如证明三角形内角和定理，比如掌握并且能够运用三角形全等解决边角相等的问题；三是操作实践，比如尺规作图做三角形，将动手动脑结合起来。强化思维的细胞、锤炼思维的深度、广度与灵活性、注重多样化的学习方式，这才是学习三角形的基点。

“以学定教”的含义，学好是最终目的，教必须服从于学。摒弃所谓的“以题代讲、以题代练，以题代考”，还原学科的思维本质，动手与动脑结合、与生活结合、与其他学科相结合，数学学习方能正本清源。应试教育的危害在于教育的窄化和矮化，将学习与考试等同了，混淆了主与次，僵化让学习变了质。活起来，动起来，数学课堂才能绽放魅力真正成为吸引人的乐园。

1.延长学习链条，推动概念走向深化。概念是数学的最基本的细胞。千万个概念汇集在一起，构筑的是数学大厦的辉煌。举个例子，“负数”：小于零的数，也可以反面读成“负数都小于零”，四则运算因之出现了运算符号的变化，表示数字的线段因而出现了另一方向的延展，不等式因而出现在数学学习的天地里……重视概念，学习就有了基点，“巧妇加米”之下好饭也就成为了可能。

片面追求高效，概念学习大有短平快的趋势。给出概念，阅读几遍，教师给出要点123；概念辨析，选择的、填空的、解答的一拥而上，学生从不同侧面接触概念的本质，教师纠正总结再次强调注意事项；课堂检测，回顾前瞻，概念进入运用阶段，为下一阶段学习提供保障。开门见山、点名扼要、直击要害、巩固拓展是肯定的，然而仔细想来，除了教材考试训练除此之外学生所剩的无外廖廖了。

适当离开书本、离开安静、离开秩序——角度多一点，素材多一点，情景多一点，概念才能从平面走向立体。以三角形的“高”为例。教材中，“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。这个点称为三角形的垂心。”短短80个字再加上图形说明而已，既单薄又干瘪。链条可以如是拉长——画三角形的高，不用担心，在面积计算过程中已经涉及到的，有的用直角三角形、有的用直角三角形、极少数会用钝角三角形，有的会大笔一挥，有的则会利用三角板上的直角。都无妨，只管放手，只要成“一条线段、垂足在边上”就够了，任由学生发挥；阅读三角形高的概念，对照所画图形，刻意强调3点“垂线段、对角发出、垂足落在对边上”；画出钝角三角形的三条高，这是重点也是难点，难点在于垂足的确定，重点在于三条高的位置，垂心则是三种三角形的高的共同属性；发放锐角三角形纸片，不借助尺子或者三角尺，做出比较精确的高线，催出“动手”的可能弥补学生的短板，即折出三条高线的痕迹；发放网格纸，给出三角形，或者竖直或者水平或者倾斜，有时难度比较大，学生会不自觉的投入到讨论交流中，利用网格的特点画出所需要的高线。白纸上画、网格纸中画、动手折叠，素材不一样情景不一样，但高线的属性却是一样的，学生需要反反复复的阅读概念、比对概念、理解概念。如此下去，高就不再是一个干巴巴的概念了，它已经脱离了单纯的书本上的浅显逐渐形成了脑子里丰富多姿的印记。

不要说没有练习，只不过没有常规意义上的“选择填空和解答”罢了。反反复复地想象、画图、折，不是训练又算什么呢。只不过，问题是多层的、情景是多样的、疑问是多角度的。只不过，离开了严肃枯燥的练习检测，气氛融洽了。不管是哪一种形式的动手都指向了对概念的理解，灵活机动代表着老师的匠心，再也不用盯死盯课本与练习册了。链条长了，学习的视野也就宽了，思维也就实现了广度和深度。

2.改善学习方式，推动场景走向多元。以刷题的方式来学习数学，之所以被推崇，所谓熟能生巧当真短时间内对提高成绩有所帮助。然而，对知识技能貌似有点帮助的刷题，却是以牺牲学生的兴趣热情为代价的。兴趣是学习最好的老师，一旦缺失了兴趣，从长远看，只能酿成百害而无一利的惨淡。

数学教学是数学活动的教学。说的容易，做到很难。开展活动，得有材料、情境、情节、高潮以及总结。然而，数学一贯以严谨著称，符号是最明显的标志。即便涉及到其他学科或者生活中的场景，也要体现出数学元素的，用式子图形表示，推理或者计算得到成果，然后验证推广。存在困难，并不意味着没有机会。华应龙老师的“国数课”就是经典，用数学讲好中国故事、用中国故事讲好数学，说成主线或者背景都无妨，关键在于数学学习因为故事而有了“采”。

于学习方式，2022版《义务教育数学课程标准》指出：“应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践，自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式……”单纯一个方式显然枯燥，若干个方式组合起来才有滋有味有力。多种学习方式的组合，文武之道，远比一讲到底有效率、有效果。而，多种学习方式的组合，有设计层面的难度、有课堂调控的难度、有偶发事件的难度，学习方式的改善大有风声大雨点小的势头。老师为主，讲授为主，练习为主，与其说是在学习新知，还不如说在扼杀学生的积极性。

新教材，将尺规作图放到了极为显著的位置。比如七年级下册的“全等三角形的判定”，无论哪一种方法的印证，无不凸出了尺规作图的重要性。动手是学生们公认的弱项，新教材又恰恰在这里用足了力气。既体现编者的匠心，又吸引学生的关注，不妨如此展开：撇开尺规进行。比如验证SAS，给出两条线段和一个角，要求角是两条边的夹角，学生可以借助浏览器和带刻度的三角尺完成画图。貌似平淡，既然纳入了程序“先画一条边、再画角、再画第二条边”：复习一本尺规作图，包括做一条线段等于已知线段和或一个角等于已知角，一再重申“只能用圆规和不带（不用）刻度的直尺”，部分学生示范，其他学生模仿，为复杂作图问题做出铺垫；互教互学，动手能力有的差些有的强些，组长好点的去教差点的，好的培养了表达能力且增强了对技能理解，差点的对尺规作图的程序要求有了要以往深点的体验；对比尺规作图结果，不管角和边的大小如何，所得到的三角形形状、大小都是固定不变，这就是全等的意义，三角形全等在此得到了直观层面的验证；比较尺规作图和非尺规画图的关系，找到相同点，体会出作（画）图的原理；讨论，给出两个锐角，能否画出固定的三角形，如果不能的话根源在哪里。动手与动脑、抽象与直观、一般到特殊，尺规作图搭建了得以沟通理论和实践的桥梁。

陶行知说，优质的学习应该“做中学”。这里的“做”，是推动学促进学的手段，讲故事是做、做实验是做、抹抹画画是做。做的路是曲折的，做就可能出插曲，插曲意味着神来之笔，曲折意味着别样的风景。鼓励学生去做，创造机会让学生去做，意外可以和学生可以共同解决，也可以交给学生讨论交流。学数学归根到底学的是思维。做得意外，是认知的冲突，也是不同思维水平的碰撞，是提升问题解决能力的不可求的机遇。坚持做，就是在坚持这对学习视界拓宽。而多一个场景，意味着多一种理解和把握的可能。从长远看，“做”是赋予了学生一把学习的钥匙。

3.致力科学机动，赋予训练的思维底蕴。学数学，离不开做题。就如华罗庚所说，学数学不做题等于“入宝山而空手返”。做题当然是锤炼思维的。如今的问题，练习做的太多了“当堂检测、课后练习、习题、总复习”一道接一道、一套接一套，所谓针对性太强“选择填空解答”考试的方向就是做题的方向、考试的内容就是做题的内容。不讲规矩地做题，让学习变得机械、狭隘和枯燥。回归科学和规律，做题才会成为学习的帮手。

做题不等于问题解决，却可以向问题解决靠近。问题的发现、猜测、分析、解决和回顾反思，我们思维就是在一个完整链条当中达成提升的。由追求数量到追求质量，做题必须融入活力因子才行——以活力因子打造思维的深度和广度、以活力因子体现出学习的引力、以活力因子构建温馨的学习氛围，做题才能变成学生的沉浸，做题的过程才能变成学生享受的过程。

将做题变成研究的过程。取材，可以将原有问题进行整合、改造、处理。拉长放大，试题就成了问题串。比如北师大版七年级数学下册118页总复习的11题，可以进行如下改造：“工人师傅经常利用角尺平分一个任意角。将一个任意分别取到顶点距离相同的两个点，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与前面两个点重合。观察角尺的顶点和那个任意锐角的连线，它和那个锐角有什么关系呢......”全是文字，粗一看很难数学的影子，“符号或者图形”。咬文嚼字之后就不是这样了，两个等边相交成的锐角、有相同的线段。根据阅读和想象的提示，画图、改图、观察、用字母标注各点，不难猜想出“两个顶点的连线平分了已知的锐角”。然后，寻找相同的因素，为验证三角形全等进而得到角平分线做准备。最终，写出已知、求证、证明。是学习的过程，更是研究的过程，已知出发向未知领域进军。阅读文字，绘制图形，分析问题，解决问题，每一步都洋溢着浓浓的探索过程，未知的也是最有魅力的。改造问题，突出研究意识，凸显整体观念，学习才会成为攀登高山、舒筋活血的过程。

将做题的过程变成激荡的过程。激荡，指的是思维的起伏，由收敛走向发散，再由发散回归收敛，在收放的过程中绽放出思维的多角度和多层次的美。三角形全等部分，作为了“认识三角形”的重头戏。如果纳入一题多变和一题多解的因素，看似传统实则且能打造思维的波澜。将三角形ABF和三角形CDF置于直线BD的异侧，如果AB=CD、∠B=∠D、BF=DE，不难发现两个三角形是全等的。（1）将条件“BF=DE”改成“BE=DF”或者“AB=CD”改成“AB//CD”，两个三角形还全等吗?（2）改变结论，问“AB与CD有怎样的位置关系？”（3）图形变换，将三角形ABF关于BD对折或者平移到E与F重合的位置其他条件不变，两个三角形仍然全等吗？（4）不同情形，分析解题有哪些共同点？（5）为两个三角形创造一个全等的问题，图形状态、条件、问题自拟。掀起思维的波澜，靠的就是发散中的统一：在不同形式的观察中，找出相等的三个元素，为三角形全等铺路。拒绝以量取胜，试题中的变化凝聚着思考的用心，做题是心与心碰撞的过程：多角度，多层次让编者和学弈者的心思凝聚在了一起，做题就成为了同声相应的做奏鸣曲。

将做题的过程变成互助的过程。现在的学生，物质条件丰富了，精神世界却贫瘠得很，“我就是太阳，一切都该围着我转，我就该享受服务”。解题互助，也是营造融洽氛围和大公之心的坦途。没有相同的叶子，差异是不争的事实也是合作的利好。（1）鼓励学生结对子，好的与差点相结合，两个人整体评价，构造适宜互助的土壤；（2）小组内部纠正补充、总结经验和教训，公开展示以小组为单位进行，打造学习共同体；（3）公众展示，以评价优点和总结解题的经验为主，力图保证人能够体验到讲题过程的兴奋感；（4）提供充足时间，为充分讲解提供保障，大力表扬优秀讲解者，利用榜样作用整体提升讲解水平。有机会帮扶，有帮扶愿望，有能力帮扶，“大家好才是真的好”，让互相帮扶蔚然成风，做题的过程才能成为人人向往的过程。

有人说，数学是冰美人“可望而不可即”，那是因为没有发现数学的美；有人说，数学人太呆“灵活性太差”，那是因为没有调动出他们的激情；有人说，学习数学的气氛太僵“沉闷又窒息”，那是因为学的方法欠妥。学数学的是活动的过程——融入活跃、活力、鲜活的因素，把“人”置于核心、把思考作为主流、把“佐料”设成匠心，学着、痛着、乐着都会化作引人入胜的美妙。