《四边形》单元的教学把握

四边形单元，特指平行四边形（含特殊的平行四边形）。四边形，直线型图形教学的高峰：概念、图形、规则、方法多而且杂。学习时间在八年级下学期、九年级上学期，学生的分化开始加剧，教学要求开始提高，学习的困难程度开始加大，教学不利因素交错聚集：学习四边形的过程成为了教师苦恼、学生头疼的过程。

教学的魅力在于影响。教师是肉体凡夫，没有魔法与魔力的神奇，改变不了环境，影响能力也有限。唯一能够办到的，是不断超越昨天的“我”：让自己的心情更平静，让自己的追求更简单，让自己的思考更深刻。四边形诚然复杂，但并非意味着发挥余地为零，“入乎其内，出乎其外”，教学同样能够添彩。

立足“联系、变换、推理”，我做了3点尝试。教变得顺手了，学变得轻松了，老师变得舒心了，学生变得开心了。

1.致力联系，体会学习的过程美。小小寰球，一个村而已。“人类需要大自然，大自然更需要人类”，生存于大自然，互相联系，互相沟通，彼此依托。四边形单元同样也不例外。四边形到特殊的四边形再到更特殊的四边形，由简单到复杂、由一般到特殊于是代表了逐渐深化联系的学习链条，就如下方用集合观点所表示的韦恩图——

平行四边形是特殊的四边形，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，正方形则是矩形和菱形的交集，平行四边形和梯形不过占四边形的极小比例。具体的生长过程，可以参看“平行四边形族谱”——

平行四边形，不妨读作“平行”+“四边形”，所谓平行指的是两组对边分别平行；继续添加条件，+“一个内角为直角”就得到了矩形，+“一组邻边相等” 就会得到菱形；矩形添加菱形的条件或者菱形添加矩形的条件或者平行四边形同时添加矩形和零的条件，于是正方形脱颖而出。平行四边形、矩形、菱形、正方形因而就构成了一张网，各个元素以及发生发展过程既形象又鲜活。

存活于网中，因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具备了平行四边形的所有性质、所以正方形具备了矩形的所有性质，以此类推，当然无妨。以思维导图博得眼球，定义、判定、性质一拥而上，让人目不暇接感觉眼晕，貌似图文并茂，不过就是教材内容的浓缩版，花拳绣腿而已——

化繁为简、举重若轻、一目了然、明快简洁才会因为便于澄清位置、构建联系而广受欢迎。如同李安导演所说；“一部好的电影，会改变一个人看待世界的方式”。如果能够将四边形学习的联系经常化、动态化、朴素化，各要素成线、结网，理解记忆、激活思考犹如“仰手接飞猱，俯首散马蹄”般轻松：四边形的教学无疑会占据天机、居高望远。

2.致力变换，感受学习的动态美。恩格斯评价笛卡尔的解析几何：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辨证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了。”笛卡尔的最大贡献，数学再也不孤寂了、再也不固化了， 由静止到运动、由固定到变化一举变得灵动和智慧有余。

 2022版义务教育《数学课程标准》提出，“学生的学习应是一个主动的过程,认真听讲、独立思考、动手实践、合作探索、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。”儿童的智慧就在手指尖上，借助动手、合作、交流，不断观察、发现、猜想，数学学习才能由空洞死板走向生动和鲜活。

建立联系，一方面是纵向的即四边形体系内部，一方面是横向的即四边形的外部。平行四边形的学习，基于的是全等变换，也就是说三角形全等，作为了四边形研究的主旋律。而，将三角形由隐性到显性，体现的才是数学老师的硬功夫。凸显三角形全等，凸显不同形状的三角形于各种平行四边的作用，恰恰依靠了图形的运动“翻折和旋转”。

比如建立平行四边形的印象，可以借助两个全等三角形的拼接完成。两条对应边完全重合，保证两个三角形在公共边的两侧，能够形成6种可能。需要说明的是：如果两个三角形是直角三角形的样子，做出的四边形只有4种；两个全等的三角形可以拼成矩形；两个等腰三角形可以拼成菱形；两个等腰直角三角形可以拼成正方形——

拼接的过程中，能够形成这样的意识：全等三角形是平行四边形的细胞；不同的拼接方式，可以构成不同的形状；矩形菱形正方形，是由更特殊的三角形（直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形）拼接而成的；筝形和菱形初看很像，都有邻边相等，不过前者仅仅2组，后者的所有邻边都相等。听懂了只是记住，看懂了只是理解，做熟了才是内化于心，四边形该是做出来的，因为数学本就是做出来的。

当然，菱形也可以用4个全等的直角三角形进行拼接，正方形也可以由4个全等的等腰直角三角形拼接而成。“百花齐放春满园”。换种方式来认识，做出平行四边形ABCD的两条对角线交点为O——

以O为中心，平行四边形ABCD可以看成ACD旋转180⁰而得:此时点A与点C互换了位置、点B到了点D的位置，ACD变成了CAB，于是对角线在O处被平分、对边分别相等、对角相等。翻折ACD能否起到同样效果，倘想象不出，试一试即可见分晓——

正方形ABCD还可以将AOD绕对角线交点O顺时针连续旋转3次，每次90^O即可完成绘制——

可以直观看到正方形ABCD性质的实质：包含着4个全等的等腰直角三角形，即45^o和90⁰成为了主流，对角线平分相等油然之间变得显而易见了。

轴对称是认识3个特殊平行四边形的利器。以矩形为例，2条对角线所在直线、2条对边中点的连线作为了4条对称轴，直角DOT翻折8次就能轻松得到矩形的痕迹——

矩形的四个内角完美重合、对角线也被完美的分成了8等分:含有4个直角、2条对角线平分并且相等、直角三角形斜边中线等于斜边的一半，一系列性质呼之欲出栩栩如生。

法国雕塑大师罗丹说，'“世界从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。四边形单元，图形复杂、知识点错综，所谓空洞、无聊意味着我们被蒙蔽了双眼罢了。拨云方能见日。亲自动手拼图切入，不断地摆弄“拼接、旋转和翻折”，及时发现总结其中不变的因素，四边形的教学就会因为鲜活而呈现生动:热情与兴趣相伴，兴趣是最好的老师，于是教学有了得以优质的前提。

3.致力推理，塑造学习的严谨美。学数学就是数学化:先是对身边问题或者现象的观察，舍弃物理层面的属性，抽象出空间形式和数量关系；运用数学的思维方式，结合原有经验和常识验证观察与猜想；最后是去伪存真，不完善的再次添加条件使之趋于更合理，成立的要采用数学的表达方式进行传播。无论抽象、推理还是表达，规范、条理和依据都作为着必须遵守的准绳，数学人恰恰以严谨赢得了肯定与尊重。

数学课不是手工课，动手操作只是属于观察和实践的范畴而绝非全部。两个全等的三角形拼成平行四边形，所谓“一看便知”叫做直观。学数学最忌讳停留在浅显的表面，追问“为什么是平行四边形”以及“有几种渠道能够得到平行四边形”，以平行四边形定义、判定定理为依据，从全等三角形出发，得到平行四边形做结，这才是味道纯正的数学学习——

由ABC和ADC全等，三角形全等即对应边相等、对应角相等，于是可得AB=CD,AD=BC,“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，结论确信无疑；或者，由两个三角形全等得到∠DAC=∠ACB,不难得到AD//BC,又因为AD=BC，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，问题得解；再者，可以结合两个三角形全等得到∠DAC=∠ACB、∠DCA=∠BAC,于是可以推出AD//BC、AB//DC,这恰恰是平行四边形概念的符号表述，结论可信。小操作大道理，平行四边形的3种判别方法蕴于其中。问题解决不等于刷题训练，以全等三角形为背景、以平行四边形的判别方法为依据，生硬的“解答、证明题、本题10分”并不存在，经历了一个完整的链条，学习的过程就是真实的学生思维深化的过程。

推理重在推理意识。随时、随处、随事，自然、自觉、自主，“我思故我在”我在我就思，无需他人提要求、无需刻意和做作。“不唯啥，不唯书，只唯理。矩形举行的初步印象，接触了性质“矩形的4个角都是直角”，认识和性质与判定的相反属性，得到“4个角是直角的四边形是矩形”、“4个角是直角的平行四边形是矩形”委实不在少数。一棍子打死显然不可取。推敲才是必然选择：矩形有4个直角不，但原命题成立逆命题未必成立，四边形内角和等于360^o，如果4个角都等于90⁰，根本无需第4个角登场的；如果四边形具备2个直角，很可能是的直角梯形，“3个角是直角的四边形是矩形”恰到好处。司空见惯、走马观花，一切认为想当然，是推理意识淡薄的缘故。在无疑处生疑，在疑点处放大，“有疑则进”，比如还可以拷问“三条边都相等的四边形是菱形”，学习才能真正成为问题解决的过程。

推理还必须符合推理的规范。发现问题，问题必须指向数学；问题猜想，猜想必须注重常识符合规律；问题分析，在原有的经验、概念法则基础之上；解决问题，必须从已知出发，每一步都有明确的依据，步骤之间要有条理，表达的终点必须指向结论。正确、清晰、简洁、环节分明的推理才优质。比如“两张宽度完全相同的长方形纸片部分重叠，分析重叠部分图形的形状”——

矩形纸片“对边平行”，重叠部分无疑是平行四边形。纸片宽度相等，边相等与菱形概念相接近。而，重叠方式不同四边形内角的大小也会不同。不妨认为：重叠部分是菱形。由平行四边形到菱形，结合图形特点（不存在对角线），搜索最接近的判定方式“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，解决问题的关键不难定位于：一组临边相等（如BC=CD）。宽度相等代表着一组对应高相等，而边等、角等就指出了以宽度为根构造全等三角形（如BCE、DCF）的方向（推导过程略）。

培养推理意识,塑造逻辑表达,实际是理性精神的外显。数学是抽象的，抽象不是盲目而是严谨，学习的最大困难也在于理性的养成。如《游褒禅山记》所写，“入之愈深，其进愈难，而其见愈奇。”关键在于能否深入进数学。废寝忘食，殚精竭虑，屡次尝试、屡次受阻，屡次受阻、屡次尝试“山穷水尽疑无路”，一旦发现线索欢呼雀跃不能自己,问题解决的过程就能成为享受和回味的过程：拒绝肤浅，用问题解决的幸福吸引学生，用思维导图引领学生，用兴趣和耐力感染学生，于是数学教学才能打造出思考的美景。

上帝为我们关上门的同时，必然会打开一扇窗。以逻辑著称的数学，学习确有难度，但难度也是难得机遇的代名词。单元教学就是数学教学的一扇窗：抓住学科的内部联系，感受学科的外部世界，捕捉数学的思想之美，烘托数学学习的价值，更新数学的学习方式，打造学习的精炼，数学学习才能美得其所。

打开一扇窗，靠持之以恒的阅读，汲取书籍中的精华；打开一扇窗，靠持之以恒的付出，积累素材、经验和见识；打开一扇窗，更靠迎难而上的士气、精益求精的追求、纵横古今的视野。

四边形教学，当然可以跳出四边形，比如以模型贯穿（“A字与8字”）、侧重思维导图（分析——导图——解决成为定势）、用合作取胜（差异就是资源，发挥优秀学生的作用，打造“小先生”）、以微课点缀（与名师同步，改善教学形式，改进学习方式）......

“泰山凌绝顶，一览众山小”。直面数学教学之难，“三省吾身”才是提升高度的法门：“我准备了什么”、“我准备如何进行”，“还有没有需要再斟酌的地方”，短时间可能见不到起色，但久了，你一定会发现令你惊喜的你自己。