315@365好题,以小见大——高碑店市2023年秋季期中考试九年级数学第19题分析

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好题,以小见大
——高碑店市2023年秋季期中考试九年级数学第19题分析
考试就是教学的指挥棒。于教师来说,考试指挥着“教什么、如何教、教到哪里”;于学生来说,考试指挥着“学什么、如何学、学到哪里”。以此衡量,全市期中考试九年级数学试题属于优质,确信无疑。
阅卷内容,“填空题17~19”。试题得分,平均5分稍弱,近乎50%的比例。其中19题最为醒目。核心素养,2022年版数学课程标准的着力点。19题高扬核心素养,指挥教与学的旗帜鲜明,“学(教)素养、深挖素养、以素养统领学与教。”题目虽小,“仅仅56个字+1张图”,每个字都透着力量,引人思考、催人思考、寓意深刻。
一.试题再现
如图,在菱形ABCD中,AB=8,∠DAB=60O,在AD边上任取一点E,连接EG,在AB边上取一点F,使∠EGF=120O.
(1)BD的长为
(2)四边形AEGF的面积是
二.试题赏析
1.抓住了核心内容。初中数学学习有四大领域,“数与代数、几何与图形,概率与统计,综合与实践。”19题以几何以图形为背景来利益。研究直线型问题,特殊形状的平行四边形是高潮,本题就是以菱形为线索展开的;几何问题,归根到底是三角形的问题,本题紧扣含30度角的直角三角形与等边三角形;学几何就是学变换,“平移变化、旋转变换、折叠变换”,本题的发力点就是图形的折叠变换。
2.抓住了核心思想。转化思想是学习数学的灵魂。化繁为简、化未知为已知、化陌生为熟悉,转化思想的三大特征。比如研究三角形中位线的属性,就是转化成了平行四边形的问题。试题图形复杂,然而可以分解成等边三角形和直角三角形的问题;问题解决,无论是求线段的长度还是求四边形的面积,都能够转化成特殊三角形的性质或者三角形全等;计算不规则四边形的面积,需要向熟悉的图形转化,最终化成了筝形或者说成两个全等的直角三角形的面积之和。学数学贵在提纲携领,思想就成就了问题解决的“四两拨千斤”。
3.抓住了核心素养。核心素养包括三点,一是抽象,二是推理,三是模型。19题的直观做得很足,比如凭感觉就能够得到直角三角形和等边三角形;推理做得很足,涉及到了二次根式的计算、三角形全等的证明以及特殊形状三角形性质的运用,各个角度的融合促成了解决的有理、有序、有据;模型做得很足,比如比如筝形,用特殊的模式表达不规则四边形的面积,于是建立了语言和数学的联系;应用意识做得很足,不搞机械记忆、拒绝题海战术,将图形变换与菱形巧妙整合。做足核心素养,数学课程的育人味道才会足,从而拓宽数学教育的视野、提高数学教育的境界。
三.试题解决
1.第1问,只需要ABD是等边三角形,从而可以得到BD和AB相等,足矣。或者可以注意到,ABG是一个含有30度角的直角三角形,进而利用直角三角形的性质得到BG的大小,最后再结合菱形的性质“对角线互相平分”, 于是BD可求。
2.第2问,做线段GM⊥AD、GN⊥AB,于是可得MEGNFG.进而,四边形AEGF的面积就转化成了四边形AMGN的面积.四边形AMGN又可以看成MAG和NAG的组合。由∠MAG=30O、AB=8,结合菱形以及直角三角形的性质可得AG、MG、AM的大小。分别计算RTMAG和NAG的面积,相加即可。
四.学生失误
1. BD的长度写成了4。很显然,误把BG当成了BD。
2.四边形AEGF的面积根式化简出现问题。很显然,对最简根式的定义概念认识模糊,不清楚化简的原因以及化简的程度。
3.四边形AEGF的面积根本没有痕迹。很显然,面对着不规则图形无从下手。
五.教学启示
1.要明确推理的依据。数学是最讲理的,讲道理,讲程序。教学时,要借助思维导图,明确问题解决的路线、策略以及原理,拒绝盲目。
2.要加强数学的表达。数学有自己的独特语言,文字的、符号的、图形的。交流数学,研究数学,解决数学问题,要在语言使用上下功夫。比如线段垂直平分线,它的基本图形就是等腰三角形的三线合一范式。由图形到语言,由语言的图形,注重打造闭环,说到底是思维的通透。
3.要夯实基础。万丈高楼平地起。夯实基础,如何强调都不为过。19题的第一问,如果发现等边三角形,问题即可迎刃而解。但问题在于,能否得到这一发现。基本技能、基础知识、典型例题、经典经验,不可能人人过关的,但一定要寻求过关率的最大化。
学数学,要注重简单问题复杂化。“尝一脔肉而知一镬之味,一鼎之调 。”滴水见大海,小问题大道理。复杂问题,分割成简单问题来处理,是智慧。简单问题,升华出典型的思想、方法、经验,更是智慧。问题解决,从“小”做起,在司空见惯中发现令人拍案的元素,这才是问题的高妙所在,这才是数学教师的硬功夫。