学等边三角形，要重视观察

学习《三角形的证明》，不少学生都有焦头烂额的感觉：一会三角形全等，一会等腰三角形，一会等边三角形，一会直角三角形，应接不暇；一会性质，一会判定，一会定理，一会逆定理，主次不分；读知识点，跟老师分析例题，头头是道心领神会，一旦遇到新问题，头也摸不着，脚也摸不到，云里雾中。瞻前就难以顾后，顾后就难以瞻前。学习三角形，不如说成一天天糊里又糊涂的煎熬。

2022年版《义务教育数学课程标准》，提出了数学核心素养的观点。所谓数学核心素养，通俗的说就是，带有数学特色的“看、想、说”。《三角形的证明》学习得茫然，恰恰说明了数学味道的清淡。索然无味，学生们的兴趣当然不会浓，热情当然不会高，精神当然不会好。

以等边三角形为例说明，我认为：挖掘特殊形状三角形的演变过程、体现数学学习的推理特色、重视观点和想法的描述和表达，学习才会既自然又生动而且能够提高效果。

1.挖掘等腰、等边、直角三角形的演变过程，链接成网。演变，既要有从低级到高级的进化，也要有从高级到低级的还原过程。低级到高级，代表着元素的特殊化。高级到低级，意味着元素的普适性。多维度考量，演变才会变得丰满。我设计了三个维度：等腰三角形与等边三角形的演变；对称属性的演变；特殊三角形家族俯瞰图。等腰三角形到等边三角形，条件强化，两边相等到三边相等，三个角相等到三个角相两，边的变化引起了角的变化；从等边三角形到等腰三角形，条件弱化，三边相等到两边相等，三个角相等到两个角相等，边的退化引起了角的退化。退化与进化，一般与特殊，等腰三角形与等边三角形之间才能形成一条完整的通道【见附件1】。

图形变换的存在，几何学习因而成了“活水”。从变换角度看，等腰三角形属于轴对称图形，对称轴就是底边的中垂线。沿着对称轴折叠，等腰三角形被分割成的两部分全等。而等边三角形，腰就是底、底就是腰，对称轴于是具有了3条。从三角形全等角度看，等边三角形中的全等也就不再限于直角三角形间。从图形形状上看，等边三角形中的特殊三角形更加丰富（有直角三角形12个、有等腰三角形3个）。对称性的进化或者退化考量，等边三角形与等腰三角形之间无疑错综成网状。【见附图2】

特殊三角形，初中阶段涉及到等腰三角形、等边三角形、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形。等腰三角形，足能成为全体特殊三角形的纽带。底和腰相等，等边三角形出现；做出等腰三角形底边的高，被分割成了两部分是两个全等的直角三角形；伴随着等腰三角形底角度数的变化，直角三角形的形状也会发生变化，或者出现30度或者出现45度（就如三角形套尺）。完全可以说，等腰三角形就是直角三角形的“母亲”。等边三角形条件弱化，有异曲同工之妙。特殊三角形的集集，主干分支错落有致，俨然繁荣的大家族。【见附图3】

2.以推理为核心，体现数学的严谨之美。数学，发展思维的载体。学习数学，也就是学会思考。学数学的过程，解决问题的过程，不断拓展已知领域进而触摸还没有认知过的领域。从已知到未知，也就是紧紧依据法则概念公式定理来得到新的结论。以探索“含30度角直角三角形的性质”为例。认知基础：等边三角形的概念以及边角性质、判别方法、三角形全等；思考方法：绘制不同大小的含30度角的直角三角形，观察并且猜测30度角的对边和斜边的大小关系，利用原有认知解决新问题。一方面，可以将短片加倍延长构造等边三角形；另一方面，可以将斜边折半，构造出等边三角形和等腰三角形各一个。换一个角度，30度角所在的直角三角形恰恰是等边三角形的一半，或者，这种特殊的直角三角形可以继续分割，成等边三角形和直角三角形两部分。30度角所对的直角边的长度等于斜边长度一半，是截长或者补短的结果，是步行或者分割的结果，是原有经验的价值体现。教亦有道，学习亦有道。推理，提起有用的已知信息，注重每个步骤的依据，得到的结论才会真实可信。“暮然回首，那人却在灯火阑珊处”。推理的灵感，就在等腰等边的演变过程中。全方位审视，无疑就是后续学习的源头。【见附件4】

3.重视表达，学习成果达成内化。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。不管是研究空间形式还是数量关系，流利、完整、清晰、准确的表达才是数学素养素养的标志。有哑巴英语，也有哑巴数学。试卷、练习、考试，绝不是学数学的全部。数学表达，兼顾学科特色和观点展示才能称得上完美。结合课堂观察，以等边三角形的学习为例，有3点思考。第一，准确运用术语不可回避，常有类似“直角边的平方加直角边的平方等于斜边的平方，这样的三角形是直角三角形”，“平方加平方”我们称之为“平方和” 叙述显然繁琐，“未有鸡，哪有鸡蛋？”，没有直角三角形，怎么会有直角边和斜边的说法？语言规范，然后才有课堂的数学味道；第二，逻辑才是表达的魂，推理讲究“有条有理，步步有据”，表达也是如此。“30度角直角三角形的性质”探索，有这样的推理片段【见附件5】

教材编排重视“螺旋化上升”，螺旋化上升并非不要逻辑，“中垂线的性质”在直角三角形学习之后，显然不能作为此时推理的依据，依据盲目扩大化只会造成逻辑混乱，强调认知基础表达才会有清晰基础；第三，合理使用思维工具表达才有根，比如上述思考，可以借用思维导图来辅助。【见附件6】

工欲善其事，必先利其器，以思维导图引领，问题解决轨迹一目了然，“从哪里出发到何处去？”、“需要什么依据，能够得到哪些结论？”、“未知和已知的连接点”尽在其中。环节完整，不会遗失也不会重复；思路清晰，不会中断也不会走偏。用语规范，逻辑清晰，工具辅助，学习才能成为自己的独特经验，学习也能变成展示自我实力的舞台。

百度百科解释：“观察，是有目的、有计划的知觉活动，是知觉的一种高级形式。观，指看、听等感知行为，察即分析思考，即观察不止是视觉过程，是以视觉为主，融其他感觉为一体的综合感知，而且观察包含着积极的思维活动，因此称之为知觉的高级形式。”有目的、有计划、有层次、全方位观察，数学才能从“冰美人”的阴影中走出来，真正走进生活、走进经验、走进思想。多种感知一起发力，阅读、猜想、发现、归纳、验证、推广，丰富多彩的活动才能真正赋予数学学习“美人”的风采。