《相交线和平行线》：几何学习的范例

《相交线和平行线》，这是学生在初中阶段第3次接触几何内容。第1次，七年级上册第一章《丰富多彩的图形世界》；第2次，七年级上册第四章《几何知识初步》。相对于前两次，于“相交线和平行线”的触摸，几何学习的味道更正更纯。

《图形世界》的学习，注重的是感受，采用的渠道是动手操作。展开、折叠、截图、从不同角度观察立体图形，体验平面图形和立体图形的关系，在过程里享受图形转化之美。图形来源于生活世界，平面立体的转换实现于手中，此次学习首要目的在于“产生兴趣、激发热情”。

学习《几何初步知识》，直线、射线、线段和角，采用的渠道：直观感受基本图形——简单比较基本图形的关系——用度量的方法或者常识认识基本图形。引入基本图形，几何系统学习的奠基。“有且只有、确定、直线a直线b相交于点c”，图形与语言结合，简洁与生动的统一。学习开端，重点在于，体会几何内容的独特。

“图形与几何”的学习，要涉及如下领域：图形的认识与测量、图形的位置与运动、图形的性质、图形的变化、图形与坐标。2022版义务教育《初中数学课程标准》指出，“初中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及对基于概念的图形性质关系变化规律的理解”。前两次的学习可以看成衔接，《相交线和平行线》才是几何学习的真正开始。

1.以关系的角度来学习。数学的研究对象，一是数量关系，二是图形关系。直线、射线、线段为基础，借助画图、图形运动或者对生活元素的抽象，两条直线有公共点则称作相交，一个点和两条直线就有了关系；两条直线永不相交，如果共面称之为直线平行，如果不在同一平面内则成为异面直线；三条直线，一条直线和两条平行线相交的情形，同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角，线的位置和角的数量也产生了对应关系。完全可以说，简单图形的关系构成了几何学习的恢弘开端。

2.以思维的角度来学习。波利亚说，“数学是思维的体操”。引领思维不断走向灵活、完善才是数学学习的第一目标。相交线和平行线的学习，虽是开端，却做足了思维的文章：概念为先行，比如严谨的给出了“对顶角，余角和补角”的概念，概念是思维的最基本的细胞，于是思辨的意识就形成了；观察做保证，看图形的特征、猜图形的数量关系，作为合情推理的一部分，观察猜想发现，谈不到多么严谨却是演绎思维的源头；验证做后盾，观察猜想未必可靠，演绎之后才具有普遍性，把握关系从已知出发直至靠拢结论，严谨性和条理性才是思维高度的表征；推广是力量，有用的知识才有价值，价值代表着知识的力量，亲身经历新经验的拓展，这才是最迷人的享受。以“对顶角的性质”为例。“两条直线相交，具有公共端点，两边互为反向延长线，具有这种位置关系的角叫做对顶角”，这是介绍概念，满足哪些条件的两个角方能称为对顶角；“如图【见附件1】AB与CD相交于点O,那么∠1和∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？”，基于位置和数量两大关系，这是对图形的细致观察，在观察的基础上，进而对两个角的大小关系进行猜测；因为“∠1和∠2都和∠3互补，即∠1=180⁰-∠3，∠2=180⁰-∠3，所以∠1和∠2相等”，当然也可利用∠4，发现两个对顶角和同一个叫具有相同的关系，猜想成立结论达成，于有理有据的体会尽在验证的过程里；“两条直线互相垂直，四个角的大小有什么关系，能够用刚刚得到的知识来说明吗？”，这是拓展阶段，所谓垂直“有一个交角为90度”比如∠1【见附件2】，由对顶角相等∠2等于90⁰，∠3与∠2为补角于是“∠3=180⁰-∠2=90⁰”，由对顶角相等∠4等于90⁰.文思看山，思维波澜一个接一个，观察、猜想、验证、推广层层递进，学习的过程就是展现思维轨迹的过程。

3.以能力的角度来学习。问题才是数学的核心。问题解决有4个要素：发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。拒绝机械记忆，在经验基础的“四能”是数学学习的创新举措。比如教材有这样一个活动“绘制同一条直线平行的两条直线”：直观感觉，这两条直线是平行的；屡次尝试，结论大体相同，于是可以提出“平行于同一条直线的两条直线也平行”；联想所学内容，两条平行线的判别需要构造三线八角，可以画第4条线“同时，平行于前面三条直线”；可以标注3个角，由前面得到的两个平行能够得到两组相等的角，进而可以得到，又一组相等的同位角，问题显然解决；新的经验形成，如果发现两条平行线都和同一条线平行就可以得到一组新的平行线，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直会怎么样呢......学习的过程就是解决问题的过程，新问题出现于是有了新的矛盾，找到新旧情境的契合点，从已有经验和已知条件出发，不断克服困难，最终解决问题。原有认知——解决新问题——扩大认知——再解决新问题，能力就是如此锻造出来的。

叶圣陶先生说，语文教材，例子而已。其实数学教材也是就是个例子 ，通过例子形成学习习惯，达到不需要教的目的。几何学习，就是通过各种渠道，包括几何图形、几何语言、几何推理，达到对图形学学习的整体感知。从这个角度看，《相交线和平行线》几何学习根正苗红：算作范例，当之无愧。