教乘方：核心素养做根

于《乘方》的教学要求，《义务教育数学课程标准》（2022年版）只用了3点：理解乘方的意义；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方以及简单的混合运算；了解乘方与开方互为逆运算。

了解、理解、掌握，尽在要求之内。《标准》指出：了解，要能够从具体实例中找到或者分析乘方的特征；理解，描述乘方的由来内涵和特征，能够将乘方与相关概念进行联系；把握，要多角度理解和把握乘方的本质，能够把乘方用于新的问题情境。

《金太阳导学案》将标准进行了细化：能通过具体的现实背景，认识有理数乘方的意义，知道乘方、幂、指数，底数等概念；能根据有理数乘方的意义将有理数的乘方转化为有理数的乘法，并能熟练的进行有理数的乘方运算。“能”，意味着各项要求都认定在了掌握层面。

乘方，n个相同因数a的积的运算。学数学的过程，生活问题数学化的过程。放眼周边世界，因数相同的积的运算委实不少：复利计算、抻拉面过程中面条的根数、原子弹爆炸铀原子核的裂变、国民生产总值的表示等等。

“井蛙不可语海”。唯有在生活实际中发现所学的影子，学生才能体会出学习和现实世界的联系，才能感受到知识的力量。北师大教材选取的素材是细胞的分裂：某种细胞每过30分钟便可由一个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由一个能分裂成多少个？生物学与数学浑然成了一体：生物学之中蕴含着数学。

素材不妨做如下调整：经过5小时，这种细胞由一个能分裂成多少个？经过10小时呢，20小时呢，n小时呢？5小时的分裂结果，资料在先，问题解决完全交给学生“猜想、画图表示、推演、列式计算（乘法或者简略形式）”只要能够讲出道理就行；问题解决评价，侧重模式化比如乘法算式；10小时、20小时的分裂推导再次交给学生，次数越多算式所占优势就会越突出；给学生思考，同属乘法，分裂的算术表示特殊性的体现；回忆平方、立方概念，讨论10个2相乘、20个2相乘、n个2相乘的写法。

培养核心素养，首先就是数学地观察。身边的现象和事物能够和乘方相联系的有哪些，最能吸引学生最能体现数学特色要怎样筛选；现象事物和已经具备的经验基础有怎样的关系，比如和细胞分裂如何能够数据化、问题化；在实际背景中发现新的问题，问题不断放大，“分裂两次、10次、20次、n次该怎样表示”，不断从不同数学角度“画一画、想一想、试一试、算一算”去深入观察。细胞分裂本是生物学现象，加以抽象，用数字和符号去表示和链接纳入到了数学学习的范畴，学科壁垒的打通是对学生数学视野的打开。好奇心和想象力就是从这里开始的。学数学要靠魅力来影响，提升学习境界应该算作引爆点。

“数学是思维的体操”，发展思维才是硬道理。提升思维水平，重点在于问题解决的高质量引领。乘方属于运算范畴，把握概念的本质（相同因数的乘法），从不同维度观察、理解、言说，推理意识才能成为自觉。

数学思维要合乎逻辑，合乎法则。乘方概念的建立，从2¹⁰到2²⁰再到2⁴⁰，尝试代表着对分裂次数（正整数）普适性的认可、代表着次数有特殊值到赋值一般化的深入，直到2ⁿ的出世，代数思想（字母替代具体数字）就自然而然地被学生接纳了；底数替代，3¹⁰、3²⁰、5⁴⁰......a^b，最终乘方实现了普遍性的处理；学生说乘方，一个说全班听找同学解释（示范）、组内互相说倾听、对比、再认识（全员互动）、设置新问题(-5)⁴、-5⁴“底数、指数、结果是正还是负、两个式子的区别”。概念形成、理解、运用，环环紧扣：有倾听、有讨论、有对比、有分析，学生思维始终会处于活跃状态。

数学思维的培养，一要注意思维的独立性，比如一个细胞分裂十次的结果获得，学生通过画图、猜想、列式但凡有道理都可以，我们千万不要急于干涉；二要重视道理，比如(-5)⁴、-5⁴计算结果的分析，可以直接计算(-5)⁴=-5*（-5）*（-5）*（-5）、-5⁴=-（5*5*5*5），也可以用法则分析，前者是四个负数相乘结果当然是正的，后者是四个正数相乘然后前面填写一个负号结果必然是负的。独立思考、有根据的思考，最终才能养成理性。学数学不是知识的堆积，而是理性的思考。靠理性影响引导学生，数学学习才能以学科特色吸引人。

学数学就是学习对现实世界的描述、交流与表达。以描述、交流和表达体会以数学语言的特色，感受数学的价值。课程标准提倡应用意识，也就是用数学独有的语言符号化的表示数量关系和空间形式从而深化应用意识。

数学语言是简洁的，数学可以简洁地表达思考过程。比如细胞分裂，1个细胞分裂10次，可以写作2*2*2*2*2*2*2*2*2*2，也可以写成2¹⁰，所要表达的意思一样，当然用乘方来描述更简洁，简练、干脆而洁净。由繁到简，乘方代表着数学的进步：特殊的乘法，特殊的研究方式，这是更高层次的抽象。抽象，同样源于模型思想的建立。比如细胞分裂10次，20次乃至40次，其结果通过画图想象也能够获得，但是伴随着分裂次数的增加而增加了难度。乘方模型则提供了一种新的话语方式。不断以巧破千斤，学生的应用意识也能够上升一个层次。

数学表达，还在于更高站位地看待数学结构。“泰山凌绝顶，一览众山小。”数学难是共识，难就难在“一叶障目，不识泰山。”综合性是学习的大方向。比如(-5)⁷与-5⁷的辨析，可以紧紧结合乘方概念“前者底数-5，后者底数+5”，可以展开观察算式“前者-5*（-5）*（-5）*（-5）*（-5）*（-5）*（-5），后者-（5*5*5*5*5*5*5），可以结合原有概念“后者是5的7次方的相反数、前者是5的相反数的7次方”，如果“语文的”比较则形象而生动——前者读作“负5（一气呵成）的7次方”、后者读作“负的（停顿）5的7次方”。熟练而准确的表达，数学才能有外在的而成为内在的。数学出自学生之口，稚嫩或者有偏差都无妨，因为那才是他们自己的数学。数学学习之美，是生活问题数学化，是数学的发现和表达。构建数学学习的美，唯有符号语言形成风景。让学生爱上数学“以学科特色氛围来熏陶”，这才是长久之计。

“学然后知不足，教然后知困。”核心素养并非新事物。叶圣陶先生说，“语文教材无非是个例子，凭这个例子，要使学生能够举一反三，掌握阅读和写作的技巧。”数学教学也是如此。通过问题发现猜想验证，感受身边的数学，善于用已经具备基础去求解新问题，在交流表达中，深化对数学知识的理解。早已有之的经验，核心素养不过整理归纳而已。

分数之争愈演愈烈，刷题成为了数学学习的法门。于是，问题情景淡化了、学习过程淡化了、学习趣味淡化了。“我们走的太远，以至于忘了为何出发。”调动学生热情，激发学习兴趣，无论何时何地都需仅仅遵循。注重数学的看、数学的想、数学的说，核心素养才能真正贯穿于教学的每一个细节、真正成为教师的每一个关注、真正落实在学生的每一个瞬间。数学教学本就应该伴随着学生的笑声、掌声、惊叹声，繁荣景象回归了，我们才能欣慰“因为教学有了根基”。