学函数，登高方能望远

初中数学包括四大领域：数与代数、几何与图形、概率与统计、综合与实践。方程、不等式、函数是“数与代数”的主要内容，函数沟通了方程与不等式、代数与图形的联系牢牢居于了枢纽位置。重要意味着重视，教师重视、家长重视、学生也重视。因为重视，所以教师积极研究教法；因为重视，所以学生忙碌于做题改题。重视归重视、操练归操练、忙碌归忙碌，然而，学生的学习兴趣并没有变浓、出现问题并没有变少、学习效果并没有变得多么好。

类似场景并不少见：一次函数、二次函数、三角函数、反比例函数条分缕析之后，辨析函数概念时、分析图像时、运用模型解决问题时无所适从；有情景、有问题、有观察、有讨论、有归纳，抽象出函数概念依然步履维艰；教师讲解原理清晰、寻找方法简明扼要、解题步骤规范完整，然而一旦考试，学生们无不满脸愁容——尴尬，还是尴尬。

“学而不思则罔”，学生们普遍想得不够深刻、不够广才是病因。“对症施治”，让学生思维活起来、视野宽起来，函数教学才能站得高望得远。

结合自己的教学实践和对《2022版义务教育数学课程标准》的认识，笔者认为：坚持高站位，函数才能在学生心目中扎下根。

1.坚持“跨界”，函数形象得以丰满。对现实世界进行加工萃取，或者定性描述或者定量刻画，数学印记于是形成。学数学就是把各种资源进行数学化处理。2022版标准提倡综合，在项目式学习或者主题是研究中体会数学的价值。作为初中数学的枢纽，函数资源随处可见。数学内部的资源。方程、不等式、三角函数、圆，处处有函数的影子。比如伴随着锐角大小的改变，这个角的正弦值也会发生相应的改变，并且有一个角就只有一个值，这叫正弦函数；在一个直角三角形中，一个锐角A是变化的，这个角所对的直角边a不变，但是斜边c会随着锐角A的变化而变化，即C=a•sinA（a是常量）。用函数观点链接数学内容，获得的是深刻；生活里的资源。数学源于生活，但必须高于生活。生活世界，变化是绝对的。比如看电影《长津湖》，全片时长185分钟，伴随着观看时间的增加剩余时间则相应减少，每多看一分钟剩余时间就会减少一分钟，剩余时间就可以看成观看时间的函数，如果用表格和图像去刻画这一关系，时间的感觉就会更清晰了。用函数角度看世界，获得的是清新；跨学科的资源。海纳百川，有容乃大。太太的会客厅，有经济学家有逻辑泰斗有小说家.......汲取不同思维方式，林徽因多领域的成就与此不无关系。睁大眼睛，数学随处可见。路程一定时速度和所用时间的关系，弹簧伸长长度与所挂质量的关系，温度与距离地面高度的关系，变化、一一对应、函数就在身边。用函数来横向把握，获得的是网络化学习；游戏里的资源。唯有“好玩”，学生才能沉浸在数学里。比如滚铁环，铁环半径0.4米，想求出圆心移动长度，需要哪些数据。找到圆心移动长度y与滚动圈数x的关系“y=2*0.4*πX”,答案就一目了然了。用函数揭示游戏秘密，获得的是趣味；哲学视角的资源。培根说，“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，哲学使人深邃，伦理使人庄重，逻辑修辞使人善辩。”运动过程中，两个量不断变化，变化之中却渗透着不变的关系。因此，变与不变、运动和静止悄然达成了统一。函数就是和谐和美的化身。用辩证法统帅函数，获得了理性。强调综合性，学习和课程就要打通壁垒。跨界就是对壁垒的打通。打通意味着融合。就如学习方式，认真听讲，独立思考，动手实践，自主探索，合作交流都重要 ，重点在于选择。该讲授的时候讲授，该独立思考独立思考，该合作就合作，不同的学习方式就融合成为了一个有机的整体。跨界是痛苦的过程，没有程式可以遵循，没有成熟的经验可以借鉴，需要不断的假设、尝试、改进、再探索、再调整、再改进，出现问题也没有关系，每一次改进就是要成功又靠进了一步。寻找可以跨界的点，确定可以跨界的方向，教学就这样走向优质的。

2.做足“过程”，函数形象得以如心。新《标准》提出了核心素养，不管数学的观察、数学思考还是数学的表达都是从不同角度把握知识体现育人价值。比如函数概念的确立。北师大版数学在七年级下册已经介绍了变量，介绍了变量的不同表示方法。承上而启下，函数要把变化过程中的规律性的东西提炼出来、要进一步揭示变量的依存关系、要让变化规律关系更加形象生动。引入函数，教材借助了三个例子：乘坐摩天轮的过程中，随着时间的变化烟酒某一座位离开地面的高度的变化，先给出图象横轴代表运动的时间纵轴代表林子说轮子上某一点的高度“在图中感觉变化”，寻找数据填充表格“感受时间和高度的对应关系”，回顾与思考，如果时间固定高度是否确定，“感性逐步上升成为理性”；摆放圆柱形罐头盒，观察层数的变化以及物体总数的变化，填充表格再次领略对应关系；公式先行，用摄氏温度表示热力学温度“T=t+273”，令t取不同的数值求相应的热力学温度“都在变化，变化是可以表示的，变化是有规律的”，再次提示，“有一个t必然对应着唯一的T”。至此，教材开始有意识的梳理运动中的规律性“对于自变量的每一个值，因变量都对应着唯一的值”。三种表示方法，列表法、关系式法、图象法则更加丰满地指明了函数的本质。够不够？远远不够。学习没有如此简洁，学习没有什么一目了然。透过区区三个案例学生理解不了函数概念的。教学需要做的，教材改进：摩天轮的旋转，观看图象填充表格过后，让学生猜想第57秒、第60秒的时候旋转的高度，有意识注意运动中的不变性；圆柱形物体的摆放，让学生猜想“摆放90、100、102层时提总数”、让学生用总数表示物体总数，猜想变量的对应关系、用解析式刻画变量的对应关系，函数学习上升到了更加理性的层面；回到生动，理性学习只会让人呆板，于十二三岁的学生来讲函数毕竟抽象。生动形象才能引起学生的兴趣。热力和摄式温度的变化，可以让学生列表，在给定坐标系中绘制图像，三种表示方法齐上，概念学习的力度显然就加大了。讨论案例中的共同属性，有学生会注意到其中的不变性，肯定也有学生感觉陌生，不搞一刀切就是要重视差异。教材调整：采用北师大教材的课堂练习，图像法表示温度的变化，温度能否看成时间的函数？这是在辨析概念；给出刹车速度以及滑行距离的公式s=v²/300，判断是否存在函数关系；再次理解函数概念；邮资和信笺质量的对应关系，自变量取值形式变化了，进一步做判断，进一步理解概念。素材增加，判断属于对概念的审视、回顾、再思考，概念的厚度显然叫初次归纳增加了。

教材补充：以坐原点为圆心，以四为半径画圆，横轴记为x，纵轴标为y，判断y是x函数吗？给出关系式y²=x，判断y是x函数吗？学问就是要学会问。砂锅不打不漏，事情越辩越明。引入反例，从相反角度考量函数，概念本质才能更加清晰。运用教材、调整教材、补充教材，三管齐下，函数概念才能入心入脑成为学生自己的经验。重视结果，更重视过程，有文字语言、有符号语言、有图象语言。不同角度成就了高度，“不同路线游览，不同的风景”。在过程上做文章，延长重点概念重点知识的链条，“好雨知时节，润物细无声。”滋润，自然而然得进入思考成为经验，“思维体操”才能既有既名又有其实，认识就是如此“炼”出来的。

3.授之以“渔”，函数学习得以自如。《2012版课程标准》特色之一：“双基”变“四基”，基础知识、基本技能的基础上增加了基本活动经验和基本思想方法。基本思想方法、基本活动经验可以看成数学学习的“渔”。比如解一元二次方程、二元一次方程组、分式方程，撇开“配方法、消元法、降次法、因式分解法”的表面，隐含其中的就是化归思想“由复杂到简单，由未知到已知”，学习的奥秘不过“陌生内容转化学过的内容”罢了。化归法在方程学习中之所以重要，缘于这就是学习之“道”。今后走出校门，遇到新难题解决方法就是靠这个“道”。以“道”为指引，方向明确不知道怎么努力，学习就会由转向盲目理性了。初中阶段要介绍3种函数，一次函数、反比例函数、二次函数。三种函数之间不是割裂的，他们的联系就是我们所说的“道”。讲课，学习，不管是教师还是学生所感兴趣的往往是显性的“一个一个的知识点、一个一个的概念、一个一个的练习”。学生的困惑恰恰在于知识点的孤立，“一叶障目，不识泰山。”“道”，跟单纯讲授不同，需要不断提取、不断渗透、不断明晰。学习一次函数，导语可以这样设计：“我们学习了函数概念，也学习了一元一次方程、根式、三角形，羽翼丰满啊。今天开始研究一次函数。对于新内容，你想知道什么呢？”学生们间接很多，“它和函数有哪些区别、联系”、“它怎么写”、“怎么表示”、“怎么用”....，归纳汇总，这就是学习的脉络“概念、形式、表示方法、应用”。学习起来，一一对照，不断回顾学习轨迹“概念——阅读图象————应用”。提纯，是提取方法，是研究如何学习，是建立目标，是终身学习的需要。一次函数学完后，学习反比例函数、二次函数就按部就班了。学习贵在“元认知的把握”，“道”远胜过零敲碎打，因为整体学习和理性的学习。就像认识地图“脉络——细节”，无论速度、效率、效果都会让局部视图“叹为观止”.挖掘每个内容背后的“道”，要付出精力汗水、短时间也不会见到效果。学习是个漫长的过程，久了，惊喜就来了，“蓦然回首，那人就在灯火阑珊处”。条理性强、思路清晰、站位高，就是对我们付出的回馈，就是学习高度的标志。

华应龙老师的课总是让赞叹不已。比如讲《分数的认识》：“半条被子”红色素材由不得你不“眼前发亮”、“点子纸”的选择由不得你不“激动”、学生“分数的创造”由不得你不“瞠目”。原因在于——选择资源代表着华老师的“用心”、活用资源代表着华老师的“精心”、激活资源代表着华老师的“痴心”——华老师就是数学、华老师已经超越了数学。函数学习，突破细节的琐碎、突破练习的重复、突破学习的茫然，要靠资源的博大、要靠方法的指引、要靠过程的用心，唯如此，站得高看得远才能成就“其大”