教无理数，莫要止于“了解”

“数（shù）源于数（sh），数（sh）又源于用”。这里的数指的是自然数。学习自然数，需要利用不同情景、不同活动、不同角度、不同机会鼓励学生有意识地去数数。自然数到整数再到分数，学习素材都能在学生身边找到。而，有理数到无理数的扩张则是解决数学内部危机的结果。以抽象程度衡量，学生学习无理数要比有理数困难很多。

关于无理数的学业要求，《义务教育数学课程标准（2022年版》有如下表述：了解无理数和实数，知道实数是由无理数和有理数组成，感悟数的扩充；初步认识数轴上的点与实数具有一一对应的关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数；能比较实数的大小；能用有理数，估计一个无理数的大致范围；会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。

了解、初步认识、知道，最低层级的要求，能区分有理数和无理数能说出几个具体的无理数就可以了；会、认识、感悟，要求有所拔高，能够阐述无理数的由来能够用不同的角度表示无理数就够了；能、会用，属于掌握层级的要求，比如在运算背景下看待无理数。研究《标准》，很难发现无理数教学的“高姿态”。

事实上，学生们学习无理数过程中出现的问题却是为数可观——以为-2/13、π/3是无理数，概念模糊；计算结果写成“-7倍的根号下8”，“最简”意识淡薄；比较4倍的根号下5与9的大小，无可奈何，估算能力薄弱。概念、计算都有了漏洞，而无理数又是学习公式法解一元二次方程、特殊角三角函数的必备内容，引起重视并且调整教学目标和教学策略就成了不可回避的课题。

多维度触摸无理数，我认为概念教学要求应该提升到“理解”；为运算赋予“场”，在新情境中体会算理，从法则出发也可以探索新的事实，此时的无理数教学应该定位在“运用”。《标准》提出了“三会”：用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达，站在核心素养高度审视无理数，比如“为学生提供了观察世界的新视角”，课堂教学方能具有新意、有诗意。

我认为：以概念源头、思想高度、计算角度把握无理数，学习才能变得好玩。

1.回到“原点”学无理数。数学史上的第一次危机，就是无理数的出现。毕达哥拉斯学派认为，“万物皆数”也就也就是说宇宙间一切现象都可以归结为整数或整数之比。在此背景之下，一个边长为1正方形对角线的长度成了大问题。利用计算器或者电脑和学生一起研究，哪一个数的平方等于2；网络搜索，平方近似为2的数字，精确到100位、200位直到1000位【见附图1】，清理无限不循环；数学阅读，《无理数的发现》（北师大版数学2014年版八年级上册24页阅读材料），数学史、代数推理的高度认识无理数。发现无理数，希伯索斯曾付出了宝贵的生命，探索的艰辛、研究的智慧感染着学生。从事实和命题出发，立足有理数的概念、逆向思考，反面验证出根号二是有理数的矛盾。无理数并不无理，他和有理数一样是对现实世界量化描述。亲历动手操作、资源搜集、数学阅读的过程，学生世界的无理数由虚无缥缈到具有了初步表象;

2.用数形结合引领无理数的学习。通过数学学习，学生不仅要获得基础知识和基本技能，更要在基本思想、基本活动经验上有所收获。华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。数与形结合起来，用图形语言看待无理数，概念的本质会进一步澄清、概念的研究路径会进一步明晰。某直角三角形，直角边长度分别为2和1求斜边长度，线段的长度也能用无理数表示；在数轴上，寻找表示负根号下5的点，无理数也能够用数轴上的点表示；运用网格纸，画一个直角三角形使三边都是有理数，画一个直角三角形使三边都是无理数【见附图2、3】。属于计算维度，两条直角边的长度给了，求出斜边长度，无理数是算出来的。负的根号下五在先，需要借助一的铺垫想象无理数的构造，需要在数轴上构造直角三角形，需要用圆规将表示无理数的线段迁移到数轴上去，无理数是先设计后施工的。设计任务构造直角三角形，边长是有要求的无理数或者有理数，背景变化了，尝试、尝试、调整再尝试是肯定的。无理数是枯燥的，一旦化做活生生的线段、三角形立刻就新鲜灵动了。拒绝僵死概念，打造并欣赏数学的美，学习的过程才会变成好玩儿的过程；

3.辩证地看待无理数和有理数。任何事情都是辩证的，矛盾是对立的也是统一的。有理数，有限小数或者无限循环小数。无理数，无限不循环小数。貌似对立，“老死不相往来”。数学计算看来，两个概念的联系却密切得很。带根号的数，不一定是无理数也不一定是有理数；能否开方开得尽，不是判断无理数和有理数的标准，因为有的数字根本就不能开方，比如—4、—π；无理数的因数能是有理数，有理数也可以由无理数构造，比如根号8等于2和根号2之积“一个有理数和一个无理数却打造了一个无理数”；两个无理数相加相减相乘相除的结果，未必是无理数，比如—π与π的和就是有理数0.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目只缘在此山中”。学习无理数却不知无理数为何物，往往是一叶障目不识泰山。“世界这么大，我想去看看。”跳出无理数去看无理数，高度和角度的变化方能豁然开朗。数学计算是推理的范畴，所谓推理就是利用原有的知识推出新知识的能力。无理数与有理数的冰水交融注定会让学生感慨，原来数学就是用不同的角度去思考、再思考，无理数和有理数的学习都如此。

数学素养的提升，就是对数学观念的不断深化。两个数的平方和并不足为奇，结果中底数的研究催生了新的运算“开平方”就会使人眼前一亮。而开平方计算，有的能够得到准确结果有的则不能，于是无理数和有理数的分家。法则之下的推理，无理数能够回到有理数、有理数也能回到无理数，二者又密不可分了。就像《三国演义》的开篇，“合久必分，分久必合”。数的概念，伴随着学习实现了螺旋式深化。学习具有阶段性，今天的问题明天就不见得是问题了。同样，现在无理数的要求仅仅限于“了解”，随着经验增多、视野扩大，以后的要求岂能“了解”说得明白呢！

教师的职责，不是教书，而是用教材教；指导教学的，不只是课标，还有经验，更有学生成长的需要。这就是我调整无理数教学的依据。

图1