楚香凝2014北京行测数量真题解析

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已知13+23+33……+n3=（1+2+3……+n）2，问13+33+53……+193=?    【北京2014】

A.19500     B.19900      C.20300      D.22500

楚香凝解析：

解法一： 由于13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2，则

    13+33+53+……+193=13+23+33+……+193-（23+43+63+……+183）

=（1+2+3+……+19）2-23×（13+23+33+……+93）

=-23×（1+2+3+……+9）2

=-8×

=19900     ，选B

解法二：弃三法，比如53=（2+3）3，根据二项式定理除了第一项23外，其他项都是含有3的，必能被3整除，所以我们可以直接把53看做23，同理把73=(6+1)3看做13，这样类推下去，原式可以转化为13+03+23+13+03+23+13+03+23+13=28,除以3是余1的，选项中只有B各项和19除以3是余1的，选B 

 

拓展:    等差数列级差公式         第n项-第m项=（n-m）*公差  

         项数公式                 项数=[（末项-首项）÷公差]+1

         奇数等差数列求和公式     1+3+5+7+…+（2n-1）=n2

         平方求和公式             12+22+32+42+…+n2= n*（n+1）*（2n+1）/6

 

 

某人乘坐缆车下山，发现每隔半分钟就能看到一架对面上山的缆车。如果所有的缆车速度相同，那么每隔几分钟发一架缆车？    【北京2014】
A、0.25      B、0.5      C、1      D、2
楚香凝解析：每两辆缆车相遇需要半分钟，两辆缆车之间的距离不变设为s，速度不变设为v，相遇问题s=2v*0.5,所以发车间隔s/v=1，选C

 

拓展：等距离间隔发车问题也是一个考查的热点，比如小明以不变的速度回家，公交车的速度也不变，每隔30分钟就有一辆公交车从后面超过小明，每隔20分钟就迎面遇上一辆公交车，则公交车的发车间隔T=2*30*20/(20+30)   

 

汽车和小明的速度比=（30+20）：（30-20）=5：1

在正方形草坪的正中有一个长方形池塘，池塘的周长是草坪的一半，面积是除池塘之外草坪面积的1／3，则池塘的长和宽之比为？   【北京2014】 
A.1:1      B.2:1      C.4:1      D.√2：（2-√2）
楚香凝解析：设长方形面积是1，则正方形面积为4，边长为2，周长为8，则长方形周长为4；设长方形长x宽y，有x*y=1、x+y=2，观察可得x=1、y=1时满足条件，选A

 

某件商品如果打九折销售，利润是原价销售时的2/3；如果打八折后再降价50元销售，利润是原价销售时的1/4。该商品如果打八八折销售，利润是多少元？   【北京2014】
A.240      B.300      C.360      D.480
楚香凝解析：

 

解法一：    设原售价 10x      利润12y    进价10x-12y  ①

              九折后 9x       利润8y     进价9x-8y    ②

            八折降50 8x-50    利润3y     进价8x-50-3y ③

①②得x=4y，②③得x-5y=-50，得到y=50、x=200，所以原售价2000，原利润600，进价为1400，八八折后利润为2000*0.88-1400=360，选C

解法二：设原价销售时利润为3x，则九折时利润为2x，差了一折利润差了x，所以定价为10x、成本为7x，八八折销售时利润为8.8x-7x=1.8x，9因子，选C

点睛：经济利润问题基本是今年各省市行测的必考题型，常见的方法是特值法，设未知数法，十字交叉法，有时需要综合运用

 

 

甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？    【北京2014】
A.400      B.420      C.440      D.460
楚香凝解析：根据后面乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个，设甲每天生产x个的话，两人总共每天生产（3x/2）+20个，所以选项减去20必为3的倍数，选C

 

点睛：工程问题优先考虑和差倍比能否秒杀，如果不能秒杀再考虑特值法、假设法

 

 

某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60公里的速度前进；而在后一半的路程中，以每小时120公里的速度前进。则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少公里？    【北京2014】
A.60      B.80      C.90      D.100
楚香凝解析：等距离求平均速度，利用调和平均数公式：v=2*v1*v2/(v1+v2)=2*60*120/（60+120）=80，选B

 

点睛：利用调和平均数的四类常见题型：①等距离求平均速度   ②等间隔路程求发车时间

 

                                    ③等费用求平均价格   ④等溶质稀释求中间浓度

 
小周买了五件价格不等的服装，总价为2160元。其中最贵的两件衣服总价与其余三件衣服的总价相当，而最便宜的两件衣服的总价比最贵的衣服高100元，比第二贵的衣服高200元。则第三贵的衣服价格是多少元？

【北京2014】

A.300      B.330      C.360      D.390

楚香凝解析：

解法一：按照从高到低设五件服装价格分别为a、b、c、d、e，总价2160，最贵的两件和等于后三件和，所以a+b=c+d+e=1080，最便宜两件比最贵的高100、比第二贵的高200，说明a比b大100，由此可得a=590、b=490，两件最便宜的价格d+e=590+100=690，所以c=1080-690=390元，选D

解法二：按照从高到低设五件服装价格分别为a、b、c、d、e，总价2160，最贵的两件和等于后三件和，所以c+d+e=1080，则c＞（1080÷3=360），选D

 

 
相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？   【北京2014】
A.9      B.12      C.14      D.16
楚香凝解析：错位重排问题，1-5个元素错位重排的种类数分别为0、1、2、9、44，选A

 

 

钟表有一个时针和一个分针，分针每一小时转360度，时针每12小时转360度，则24小时内时针和分针成直角共多少次？  【北京2014】
A.28      B.36      C.44      D.48
楚香凝解析：
解法一：正常情况下，每小时时针和分针都会垂直两次，12小时内应该会垂直24次，但是2点-4点这两个小时内时针和分针垂直3次，8点-10点这两个小时内时针和分针垂直3次，12小时共垂直24-2=22次、24小时共垂直44次，选C
解法二：从0点开始，第一次时针分针垂直时，相当于分针超了时针90度，需要的时间=90/5.5=180/11分钟=3/11小时，此后每经过180/5.5分钟=6/11小时垂直一次，两端植树问题，[12-（3/11）]÷（6/11）+1=22.5，所以12小时内可以垂直22次，则24小时内垂直44次，选C

 

 

拓展：分针与时针24小时内重合22次，成直角44次，成180度角22次。

 

 

某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点的人数的4倍。则需要为这些游客购买多少张景点门票？  【北京2014】
A.48      B.72      C.78      D.84
楚香凝解析：总人数=只参观一个景点人数+至少参观两个景点人数=48，因为只参观一个景点人数=至少参观两个景点人数，可得只参观一个景点人数=至少参观两个景点人数=24，所以参观三个景点人数为24/4=6、只参观两个景点人数为24-6=18，总票数=24+18*2+6*3=78，选C 

 

点睛：牢记三容斥的两个重要公式
包含的容斥原理：总数=A+B+C（符合一个条件）-A∩B- A∩C - B∩C + A∩B∩C+都不符合
不包含的容斥原理：总数=A+B+C(符合一个条件) - 只符合两个条件 - 2*只符合三个条件+都不符合

 

 

小张购买了2个苹果、3根香蕉、4个面包和5块蛋糕，共消费58元。如果四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高可能为多少元？   【北京2014】
A.5      B.6      C.7      D.8
楚香凝解析：要想使蛋糕价格最高，其他物品的总价就要最低；假设苹果单价3元、香蕉单价2元、面包单价1元，三样总钱数为3*2+2*3+1*4=16元，则蛋糕花了58-16=42元，不能被8整除，此时把苹果的单价改成4即可（2个苹果就又多了2元），所以蛋糕单价最高为40/5=8，选D

 

 

某单位五个处室分别有职工5、8、18、21和22人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过15人？   【北京2014】
A.34      B.35      C.36      D.37
楚香凝解析：最不利原则，先从五个处室依次取5、8、7、7、7人，前两个处室的人都被取完了，再任取一个肯定是从另外三个科室里，所以必有两个处室的人数和超过15人，选B

 

拓展：若题目改为16人，则先取5、8、8、8、8然后再取一个，总共是38人。

若题目改为17人，则先取5、8、9、8、8然后再取一个，总共是39人。

若题目改为20人，则先取5、8、10、10、10再取一个，总共是44人。

 

 

点睛：抽屉原理的两种典型表述方式
1. 把多于（n+1）个物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
2. 把多于（m*n）个物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）件。

 

 

用一个饼铛烙煎饼，每次饼铛上最多只能同时放两个煎饼，煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要一分钟。如果需要煎熟15个煎饼，至少需要多少分钟？  【北京2014】
A.14      B.15      C.16      D.30
楚香凝解析：设三个饼Aa、Bb、Dd,大写字母表示正面，小写字母表示反面，第一分钟AB,第二分钟aD,第三分钟bd,这样三分钟刚好可以煎熟三个饼，所以15个饼至少需要15分钟，选B

 

拓展：如果改为煎熟16个煎饼，至少需要多少分钟？
楚香凝解析：两个一组Aa、Bb；第一分钟AB、第二分钟ab，两分钟煎熟两个，16分钟煎熟16个；

 

如果改为煎熟17个煎饼，至少需要多少分钟？
楚香凝解析：前面15个分为三个一组、需要15分钟，最后两个Aa、Bb；第一分钟AB、第二分钟ab，两分钟煎熟，共17分钟；

 

总结：煎熟一个煎饼需要2分钟的时间，其中每煎熟一面需要一分钟。如果需要煎熟x个煎饼，至少需要多少分钟？     
楚香凝解析：①当x=1时，需要2分钟；   ②当x＞1时，需要x分钟；

 

 

某单位组织的羽毛球男单比赛共有48名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最多参加一场比赛，则比赛至少需要举行几天？   【北京2014】
A.4      B.5      C.6      D.7
楚香凝解析：第一天比赛完剩下24名选手，第二天比赛完剩下12名，第三天比赛完剩下6名，第四天比赛完剩下3名，第五天比赛完剩下2名（有一人轮空），第六天可以决出冠军，选C

 

 
 拓展：  n人参赛                         需要的比赛场次

 

淘汰赛需要决出冠亚军                 n-1 （淘汰N-1个队伍就能决出冠亚军）

淘汰赛需要决出前四名                 n

单循环（任两人间打一场比赛）         C（n  2）

双循环（分主客场）                   A（n  2）

 

一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？  【北京2014】
A.34      B.37     C.40     D.43
楚香凝解析：要使得第6名和第15名分差最大，让第六名分数尽可能高、第15名分数尽可能低；构造前五名的成绩分别是100、99、98、97、96分，后五名的成绩分别是51、50、49、48、47，此时第六名95分、第15名52分，分差95-52=43；第7-第14名的总成绩=79*20-（100+95）*3-（52+47）*3=698分，8个人的平均分87.25，显然可以构造出，所以43即为正确答案，选D