两年前对豪斯医生剧情的吐槽，因某个人的批评而引发了热议，被@eprom激将，我去搜狐微博开了“剃刀的小号”，与@unknownc4 @嵌段共聚物_科学公园 两位博士进行了几天激烈的争论，现总结小文，作为一篇概率科普。

有个人买彩票中了两次头奖，当听到这个说法时，您的第一反应肯定是不可能，一个人中一次头奖的概率按10万分之1计算，连中2次的概率就是100亿分之1，这怎么可能真的发生呢？很遗憾，您的理解是错误的，问题的关键在于“有个人”，而不是“随机指定一个人”。

如果在大街上随便拦住一个人，他中了两次头奖的概率的确是100亿分之1，但“有个人”的情况就不同了。可以想象，有史以来全世界各国搞的彩票抽奖真在太多了，我们随便估个数字，就算是8万次吧，那就会有8万个头奖获得者。在这8万个幸运儿当中，至少有一名再次获得头奖的概率是多少呢？

很明显，8万人全都不再获头奖的概率是（1-1/100000）^80000=0.45，即至少有一名再获头奖的概率是0.55，如此大的概率是不是令您非常震惊呢？这就是非常奇妙的概率直觉错误。

为什么会这样呢？聪明的您一定有所察觉了，这个8万次方是个关键，本来某个人不主头奖的概率高达0.99999，但8万个都不中的概率就会锐减到0.45了，反过来说，至少有一位再中的概率就高达0.55了。

美剧《豪斯医生》中的主角豪斯是个非常厉害的诊断专家，难诊断的罕见病患者纷纷被送到他的诊室，有一天他的医疗团队发现有个病人的症状符合两种不同罕见病，难道一个人居然同时得了两种罕见病？假设两种罕见病的发病率都是万分之1，同时发病的概率不就是亿分之1吗？这怎么可能？

通过上面的彩票例子，您可能隐隐地觉得不能这样算，是的！不能这样算。首先，被送到豪斯诊室的病人几乎100%是某个万分之1罕见病的患者，您可能抬扛说不是100%，并提出一个新的数字，例如85%，为了计算方便，我们就假定100%吧，仅仅是因为概率为1比较好计算。

问题转化为这个已经得了某种罕见病的患者，他再得另一种罕见病的概率是多少？当然是万分之1，而不是亿分之1，因为“被豪斯医生收治”这个条件，大大影响了这个概率。等等，这还没完......

从更大的范围去看，在豪斯医生诊断过的100个罕见病患者当中，其中至少有1个身患两种罕见病的概率是多少呢？继续按上面彩票的算法来分析，100个患者全都没患第二种罕见病的概率是(1-1/10000)^100=0.99，即至少出现1位身患两种罕见病的概率是百分之1，这比您的想象大得多吧？这次您一定发现了“100个患者”是关键所在，这个数越大，则至少出现1位身患两种罕见病的概率就越高。

有个博士质问我，100个患者和1个患者，结果能一样吗？结果当然不一样，我特别指定了这个100，就跟彩票例子中指定的8万人一样，是想通过指数运算得到一个产生更大直觉偏差的结果，从而令被科普者感到震惊并引发思考。

为什么会出现这种直觉错误呢？原因是先验概率的极端不平衡，先验概率是通过统计得出的结果，例如某种病在普通人群中的发病率是万分之1，这就是先验概率，它是不受某个特定案例而改变的非条件概率。

例如在结核病院住院的患者，他患结核病的概率当然远大于社会上的普通人群，这并不意味着“先验概率”变了，而是“在结核病院住院”这个条件使得他结核病的概率，变成了一个条件概率。（这段有点绕，您可以忽略，目的是为了纠正某个曾跟我争辩过的另一位博士的错误。）

万分之1这样极端不平衡的概率，把我们的直觉搞懵了，如果没有受过严格的数学训练，头脑的确会绕不过这个弯子。我给学生讲课时，经常会讲一个例子：我是医学盲，对罕见病的诊断一无所知，而你是罕见病诊断专家，误诊率低至1%，在大街上随便抓一个人，我俩分别诊断他是否患了一种发病率为万分之1的罕见病，你动用了所有豪华的检验设备，而我就闭着眼睛判断他没病，那谁的诊断结果更准确呢？我比你准确大约100倍！

当然，我的所谓“诊断”是耍滑头的，把极端不平衡的先验概率转化为非常低的误诊率，但这种诊断没有排除任何不确定性，是毫无意义的。而你筛查1万个人，大约会找出1百个人，其中可能只有1个是真有病的，但多筛几次就能把患者找出来了，你的检查才有意义。

作为大学工科教师，通过多年的教育实践，发现了一个现象：绝大多数同学的《概率论》都通过了，但其中大多数人并没有真正学明白，有趣的是自以为明白的人却很多，而且在头脑中构建了一整套似是而非的模型，很难打破，甚至包括很多名校的毕业生。

这两天跟几位名校毕业的博士争论由“豪斯诊断”引发的概率问题，如果我说他们的基础概念都是错的，可能会令网友们震惊，会认为我在狂妄地说大话，但事实就是如此，这同样也令我感到非常遗憾。

另：对概率话题感兴趣的网友，可以看看我曾写过的另一篇文章，《记者为什么也要学点数学?》，在网上一搜便得。