范畴（category）理论是现代数学中的一个基本概念，下面我们就来对它做一个相对比较深入的讨论，主要介绍Abel范畴、三角范畴与导出范畴的基本概念。

 

    所谓范畴C，主要是由下列数据组成：

    （1）对象Ob（C）

    （2）对象之间的态射Hom（X，Y），X，Y∈Ob（C）

    （3）态射的复合Hom（X，Y）×Hom（Y，Z）→Hom（X，Z），（f，g）→g·f

它们满足下列关系：

    （a）态射的复合是可结合的

    （b）对任何X∈Ob（C），存在单位态射id_X∈Hom（X，X）,使得对任何f∈Hom（X，Y），f·id_X=f；对任何g∈Hom（Y，X），id_X·g=g.

    我们可以在代数中找到比较典型的范畴，比如说群范畴与交换环R上的R-模范畴。在群范畴（或R-模范畴）中，对象就是所有的群（或R-模）——它们不构成集合，而态射就是群同态（或R-模同态）。

    范畴主要意义就是不仅考虑对象，而且还要考虑其内部结构，这样的结构是以态射的形式表现的。我们常说Z-模就是Abel群，用范畴的语言就是Z-模范畴等同于Abel群范畴，此时不仅是Z-模等同于Abel群，而且连Z-模同态也等同于Abel群同态。事实上，态射要比对象更加基本一些，我们可以把对象视为态射的头与尾，下文出现的范畴局部化主要就是对态射定义的。

    从范畴C到范畴D我们还可以定义（共变）函子F，它包含下列数据：

    （1）映射F：Ob（C）→Ob（D）

    （2）对任何X，Y∈Ob（C），F：Hom（X，Y）→Hom（F（X），F（Y））

满足下列关系：

    （a）F（id_X）= id_F（X）

    （b）F（f·g）= F（f）·F（g）

     类似地，我们还可以定义范畴C到范畴D的反变函子，它可以视为C的反范畴C°到D的共变函子，这里反范畴的定义是：Ob（C°）=Ob（C）；对X，Y∈Ob（C），Hom_(C)（X，Y）= Hom_(C°)（Y，X）；复合法则自然。

 

    范畴C是准加法范畴（pre-additive category），若在它的态射中可以定义加法，使其构成一个Abel群，满足下面的线性条件：

    （a）对任何X，Y∈Ob（C）, f,f'∈Hom（X，Y），g,g'∈Hom（Y，X），则

           （g+g'）（f+f'）=gf+gf'+g'f+g'f'

    准加法范畴的主要福利就是下面关于有限积的完整结构。设C是准加法范畴，X，Y，Z∈Ob（C），则下列条件等价：

    （1）C是A与B的积

    （2）C是A与B的上积

    （3）存在态射p_1：C→A，p_2：C→B，q_1：A→C，q_2：A→B，使得p_1q_1=1_A，p_2q_2=1_B，q_1p_1+q_2p_2=1_C

    在此等价条件下，我们一般称C为A与B的双积，记作A⊙B. 请注意，准加法范畴的双积依赖于有限积的存在性，但未必就一定存在有限积，所以我们需要对范畴做进一步的扩充。

    范畴C称为加法范畴（additive category），若它存在有限积与零对象。

    设C与D是（准）加法范畴，若函子T；C→D满足条件：

    （a）对任何X，Y∈Ob（C）, f,g∈Hom（X，Y），则

            T（f+g）=T（f）+T（g）

则函子T称为加法函子（additive functor）

    双积的概念在（准）加法范畴中处在中心地位，对此可以看下面的命题：若T是加法范畴到（准）加法范畴的函子，则T是加法函子 iff T保持双积。

 

    Abel范畴就是保持核与余核良好性质的加法范畴，为此先在加法范畴内定义核与余核的概念，因为范畴中没有元素的概念，这里的定义要稍微复杂一些。

    态射i：A→B是f：B→C的核，记作Ker（f），若它满足：

    （1）基本关系：fi=0

    （2）万有性质：对任何满足fi'=0的态射i'：A'→B，存在唯一的u：A'→A，使得i'=iu.

对偶地，可以定义态射f的余核Coker（f）.

    Abel范畴就是保持核与余核良好性质的加法范畴，范畴C是Abel范畴，若它是满足下列条件的加法范畴：

    （1）C的任何映射都有核与余核

    （2）C内的任何单射都是其余核的核

    （3）C内的任何满射都是其核的余核

    Abel范畴可以视为模范畴的抽象形式，它保持着很多模范畴内的良好性质：

    （1）f是单射 iff Ker（f）=0

    （2）f是满射 iff Coker（f）=0  

进一步，我们在Abel范畴内定义正合列的概念，证明5-引理等图表定理，甚至还可以定义伪元素的概念（参见【1】），完全模范模范畴的形式进行处理。

    在泛函分析中，我们有一个加法范畴但不是Abel范畴的天然实例，那就是复Banach空间的范畴。对于复Banach空间的态射f：X→Y，其余核就是Y/cl（Im（f）），这样对于稠值域但非满射的态射f，它就不满足上述性质（2）.由此这个例子出发，可以引出约化与非约化的l^2上同调。

 

    下面我们来看同伦范畴的概念，它是用范畴的观点来模拟代数拓扑的一些结构。在Abel范畴（或加法范畴）C内，我们可以像模范畴中那样定义链复形与链映射，它们构成了C的链复形范畴C（C）. 若C是Abel的，则C（C）也是Abel的。

    在链复形范畴内，我们可以定义态射之间的同伦关系与上同调群，记Ht（X，Y）为Hom_(C（C）)（X，Y）的同伦于零的态射构成。

    同伦范畴K（C）定义为：

    （1）Ob（K（C））= Ob（C（C））

    （2）Hom_(K（C）)（X，Y）= Hom_(C（C）)（X，Y）/Ht（X，Y）

    K（C）内的三角可以定义为态射列：X→Y→Z→X[1]，这里X[1]_n=X_(n+1). 我们可以类似链复形定义三角态射，进而得到三角同构的概念。某个三角称为特异三角（distinguished triangle），若它同构于三角 X→Y→M（f）→X[1]，其中M（f）是f：X→Y的映射锥（map cone）.

    同伦范畴K（C）内的特异三角满足下列基本关系：

    （TR0 ) 同构于特异三角的三角的特异的

    （TR1）对任何X∈Ob（K（C）），X→X→0→X[1]是特异三角，其中第一个箭头是恒同映射

    （TR2）K（C）内的任何态射f：X→Y均可嵌入某个特异三角X→Y→Z→X[1]

    （TR3）X→Y→Z→X[1]是特异三角 iff Y→Z→X[1]→Y[1]是特异三角，其中f：X→Y诱导-f[1]：X[1]→Y[1]，其余映射相同。

    （TR4）给定两个特异三角X→Y→Z→X[1]与X'→Y'→Z'→X'[1]，关于X→Y和X'→Y'是态射可以扩展为整个三角的态射。

    （TR5）给定三角X→Y→Z'→X[1]，Y→Z→X'→Y[1]与X→Z→Y'→X[1]，其中X→Z是X→Y与Y→Z的复合，存在特异三角Z'→Y'→X'→Z[1]，使得下列图表交换（图片出自【3】）

   
   

    把上面的性质（TR0）-（TR5）上升为公理，我们就可以得到三角范畴（triangulated category）的概念。具体来说，三角范畴C由下列数据组成：

    （1）带自同构T：C→C的加法范畴C

    （2）称为特异三角的三角族

它们满足上述公理（TR0）→（TR5），这里令X[1]=T（X）.

    这个三角范畴看似复杂，实际上体现的是三分法无限延伸的思想。为什么不用“二角范畴”呢？因为B→A[1]与A→B会产生一些纠葛，而A→B→C→A[1]就自由了，可以一直循环到任意的A[n]→B[n]→C[n]→A[n+1]→B[n+1]→….

   三角范畴内，我们可以定义上同调函子的概念。F：C→D是上同调函子，指对任何C内的特异三角X→Y→Z→T（X），有F（X）→F（Y）→F（Z）是正合的。对上同调函子F，若记F^k=F·T^k，则有长正合列：

         …→F^(k-1)（Z）→F^k（X）→F^k（Y）→F^k（Z）→F^(k+1)（Z）→…

在三角范畴内，Hom（W，-）与Hom（-，W）都是上同调函子。

   在两个特异三角X→Y→Z→T（X）与X'→Y'→Z'→T（X'）的态射（f，g，h）中，若f：X→X'与g：Y→Y'都是同构，则T（f）：T（X）→T（X'）也是同构，进而可以通过同调函子Hom（W，-）的作用，得到对应h：Z→Z'也是同构。

   三角范畴的另一个自然的例子源于算子代数K-理论，当我们把Kasparov的KK-群解释为C*-代数上的函子之后，也同样可以构成三角范畴（参见【8】）

 

    下面我们准备进入导出范畴的领域，在此之前先讨论一下范畴的局部化，对此我们可以先给一个“目的论”的定义。

    设C是一个范畴，S是C内的态射族，S通过C的局部化包含下列数据：

    （1）范畴C_S

    （2）函子Q：C→C_S

满足下列条件：

    （a）对所有s∈S，Q（s）是同构

    （b）对任何范畴A与使得F（s）是同构，s∈S的函子F：C→A，总存在函子F_S：C_S→A使得F≌C_S·Q

    （c）若F，G是C_S到A的两个函子，则自然映射Hom（F，G）→Hom（F·Q，G·Q）是双射，即C_S→A到C→A的函子·Q是完全忠实的。

    显然，这样的局部化范畴C_S若存在必唯一，但对于“目的论”的定义，必须要验证一下它的存在性。下面我们来建立它的具体构造，类比于交换环局部化理论中的乘性子集，可以定义范畴中乘法系（multiplicative system）的概念。

    设C是一个范畴，C内的态射族S称为C的乘法系，若它满足下列条件：

    （S1）对任何X∈Ob（C），id_X∈S

    （S2）对任何g，f∈S，若g·f存在，则g·f∈S

    （S3）任何图f：X→Y，g：Z→Y，g∈S，均可由W→Z与h：W→X完成为交换图，其中h∈S

    （S4）若f，g∈Hom（X，Y），则下列条件等价：

    （i）存在t：Y→Y'，t∈S，使得t·f=t·g

    （ii）存在s：X'→X，s∈S，使得f·s=g·s

    这样我们可以定义范畴C通过S的局部化C_S为：

            Ob（C_S）=Ob（C）

            Hom_C_S（X，Y）={（s，Z，f）；Z∈Ob（C），s∈S，s：Z→X，f：Z→Y}/R

这里的等价关系R定义为（s，Z，f）~（t，Z'，g），若W∈Ob（C），存在W→Z，W→Z'以及u：W→X满足u∈S，使得它与原先的箭头组成的图标交换（建议读者自己画图）。

    我们还可以定义态射复合为：对（s，Z，f）∈ Hom_C_S（X，Y），（t，W，g）∈Hom_C_S（Y，Z），有r：V→Z，h：V→W构成交换图（建议读者自己画图），定义

          （s，Z，f）·（t，W，g）=（s·r，V，g·h）

    在这样的条件下，我们可以取局部化函子Q：C→C_S为：

           Q（X）=X，对任何X∈Ob（C）

           Q（f）=（X，id_X，f），对任何f∈Hom_C（X，Y）

换句话说，只要能够找到乘法性，那么我们就可以通过局部化定义相应的导出范畴。

   

    对于三角范畴而言，可以通过零系（null system）来处理。设C是三角范畴，N是Ob（C）的子族，N称为零系若它满足下列条件：

    （N1）0∈N

    （N2）X∈N iff X[1]∈N

    （N3）若X→Y→Z→X[1]是特异三角，X，Y∈N，则Z∈N

   由零系N，我们可以定义对应的乘法系为：

        S（N）= {f：X→Y；f可嵌入特异三角X→Y→Z→T（X），其中Z∈N}    

这样可以可以得到范畴C对于S（N）的局部化，一般以商的形式记作C/N.

    下面我们继续回到同伦范畴K（C），起局部环总是存在的，我们取零系为

        N={X∈Ob（K（C））；H^n（X）=0，对任何n}

这样对应的乘法系S（N）实际上就是K（C）.

    我们可以定义：D（C）=K（C）/N，称为范畴C的导出范畴（derived category）。对正链复形范畴K^+（C），有界链复形范畴K^b（C），我们也有相应的导出范畴D^+（C），D^b（C）.

 

    在导出范畴的基础上，我们还可以定义导出函子（derived  functor）的概念。设F：C→C'是两个Abel范畴之间的加法函子，其对应导出函子包含下列数据：

    （1）三角范畴的函子T：D^+（C）→D^+（C'）

    （2）函子态射s：Q·K^+（F）→T·Q

满足对任何三角范畴的函子G：D^+（C）→D^+（C'），有同构

             Hom（T，G）→Hom（Q·K^+（F），G·Q）

这样的（T，s）就称为F的右导出函子，记作RF.  同时定义F的n阶右到处函子为：R^nF=H^n·RF.

    下面我们来看导出函子的存在条件，为此要先定义F-内射集的概念。范畴C的完全可加子范畴J称为F-内射的，若它满足下列条件：

    （a）对任何X∈Ob（C），存在Y∈Ob（J）与正合列0→X→Y

    （b）设0→Y→X→Z→0是C内的正合列，若Y，X∈Ob（J），则Z∈Ob（J）

    （c）设0→Y→X→Z→0是C内的正合列，若Y，X，Z∈Ob（J），则序列0→F（Y）→F（X）→F（Z）→0是正合的。

    现在假设F是左正合函子，若范畴C存在F-内射子范畴J，那么函子F：C→C'就有导出函子：D^+（C）→D^+（C'），它是由K^+（J）→K^+（C'）→D^+（C'）通过K^+（C'）/N∩Ob（K^+（J））≌D^+（C）因子化得到的。

    换句话说，内射F-子范畴的存在性就是左正合函子有（右）导出函子的条件，这个条件有个不依赖于F的常见的情形。若范畴有足够多的内射对象，即它满足上述条件（a），那么其内射对象构成的完全子范畴对任何左正合函子F都是F-内射的，因此对应的（右）导出函子总是存在的。

    这里的导出函子与所谓的经典导出函子（比如初级同调代数中Ext函子）是有差别的，它先在导出范畴中确定了拟同构意义上唯一性，然后通过与上同调函子的复合生成经典导出函子。

    若Abel范畴C有足够多的内射对象，则有到Abel群范畴Ab上的双函子

          RHom：D（C°） ×D^+（C）→D（Ab）

若C有足够多的投射对象，则有双函子

          RHom：D^-（C°）×D（C）→D（Ab）

若C有足够多的内射对象与投射对象，则对任何A，B∈Ob（C）

          Ext^n（A，B）=H^n（RHom（A，B））

    导出函子具有良好的复合性质，更多导出函子的应用需要在层范畴内体现（详见【2】与【3】），可以在层范畴态射或同构的函子左边加上导出函子R，得到对应导出范畴内的态射或同构，对此本文就不再详细讨论了。

     

    扩展阅读：

   【1】范畴论[M]. 科学出版社, 2006. （难得的范畴论中文书，可惜叙述形式化且内容偏少）

   【2】Kashiwara M, Schapira P. Sheaves on manifolds[M]. Springer Science & Business Media, 1990. （非常经典的层论参考书，前两章对范畴与层论基础做精要的概括，本文主要参考书）

   【3】Kashiwara M, Schapira P. Categories and sheaves[M]. Springer Science & Business Media, 2005. （专门介绍范畴与层论的著作，很多内容都是【2】的前两章的详细展开）

   【4】Schapira P. Categories and homological algebra[M]. Société mathétique de France, 1994. （从范畴基础到导出范畴，可以视为【3】的精要小结，适合学过初级范畴论的人学习导出范畴）

   【5】Weibel C A. An introduction to homological algebra[M]. Cambridge university press, 1995. （在同调代数的参考书中能够包括从Abel范畴到导出范畴的所有内容，实在是一件相当难得的事情）

   【6】Mac Lane S. Categories for the working mathematician[M]. Springer Science & Business Media, 1978. （主要侧重于范畴论在数学各分支中的应用，有一定的深度与趣味性，但没有涉及三角范畴之后的内容）

   【7】Simmons H. An introduction to category theory[M]. Cambridge University Press, 2011. （范畴论的初级课程参考书，初学者入门推荐）

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    学好范畴与层之后可以研究D-模理论，请看博文：纯代数观点下的D-模理论概要