逻辑学悖论之二：逻辑公理体系

现代逻辑学至少有两个公理体系。这两个公理体系分别证明了一组专用的规则不可用于另一个公理体系。这两组规则都被称为“逻辑规则”。将亚里士多德三段论用形式语言表示，这是第三组逻辑规则。除了在三组逻辑规则之外，现代逻辑学认为还有模态逻辑，又是一组逻辑规则。这些逻辑规则足够了吗？不一定，逻辑学家还在创造更多的“XX逻辑”。到底有多少组相互不可交换使用的逻辑规则？连逻辑学家都不知道。数学中也许还有更多的公理体系，它们分别使用不同是形式语言，各自也有自己的演算规则。这些数学公理体系中的演算规则和被称为“逻辑公理体系”中的演算规则同样不可交替使用。逻辑学家有什么理由认为仅仅适用于无数公理体系中的某一个公理体系的演算规则是“逻辑规则”，而同样是适用于某特定符号演算体系的那些规则不是逻辑规则？

逻辑方法适用于所有的数学公理体系，但逻辑学家所说的逻辑规则仅仅适用于某一特定的符号演算体系。于是逻辑学理论又出现了悖论。

这里讨论“真值函项理论”或者叫做“命题逻辑公理体系”。所谓“命题逻辑公理体系”其实就是布尔演算体系。布尔演算体系和其它数学公理体系一样，都使用逻辑方法，即使用逻辑规则。布尔演算体系也和其它数学公理体系一样，都不是“逻辑公理体系”。

希尔伯特说的很清楚，所谓命题逻辑公理体系是用重言式命题作公理，并以重言式命题作演算规则来证明一个命题是不是重言式命题的公理体系。

这个公理体系非常可疑。

首先这个公理体系本身是一个自我循环的公理体系。不同的逻辑学家为这同一个公理体系设立的公理完全不同，原因非常简单，因为这些所谓的公理其实也都是可证命题。换句话说，这个所谓公理体系的公理是任意的，且公理和定理是可以相互替换的。这一定是一个假公理体系，因为这些公理不可能满足“独立性条件”。不满足独立性条件的命题集合不可能构成一组公理，这也就是为什么逻辑学家要证明自己的公理“满足独立性条件”且宣布自己已经证明了这些公理满足独立性条件。但这是不可能的。

在这个以重言式命题为公理证明重言式命题的公理体系中，所有的重言式命题都是可证命题。这显然有违哥德尔定理。哥德尔定理说的是，一个公理体系中，必有不可证的真命题。现代逻辑学建立了一个连公理都是可证命题的公理体系，于是哥德尔定理出现了一个反例，是哥德尔错了还是逻辑学家错了？

其次，现代逻辑学最重要的理论结论在该公理体系中并非可证命题，这个结论就是：所有的有效论证都是重言式，且所有的重言式都是有效论证。由于这个结论本身并不是重言式，所以它不可能是在该公理体系中的可证命题。逻辑学家也从未用一个重言式论证来论证这个命题。这个结论被数学家所接受，但不被科学家所接受。即便如此，数学家也没有因此使用重言式论证来论证数学定理。所谓重言式不过是就同义反复，重言式论证也就是“循环论证”。数学家不接受循环论证。

逻辑学家为什么会得出这么奇怪的结论？因为逻辑学有一个历史悠久的信念，认为“肯定前件式”是有效论证形式，而“肯定前件式”又是一个可证的重言式。于是逻辑学家“举一反三”，从一个单称命题得出了一个全称命题的结论，认为想必所有的有效论证形式也是重言式。这是显然违反逻辑规则的无效论证。除此之外，我们找不到“所有的有效论证都是重言式”这个信念的任何其它来源。“举一反三”是一个启发式。启发式对理论创新很重要，但启发式不是有效论证。归纳法、类比法都是启发式，但都不是有效论证形式。

肯定前件式（（p→q）∧p）→q也可以写成（p→q）→（p→q）的形式，这是如假包换的循环论证。实际上所有的重言式最终都可以化约为p→p的形式。使用重言式判断命题真伪是不可能的，因为重言式的意思就是无论其中原子语句是否为真，该复合语句总是为真，例如ｐ→ｐ。使用这样的论证方式永远不能判断p的真伪，即便p→p总是为真。这原本是常识，逻辑学要颠覆这个常识，但实际上颠覆这个常识的逻辑学理论是错的。

现代逻辑学从代数学受到启发，认为将日常语言符号化有可能将逻辑论证通过符号演算来完成。但如果我们对比一下代数演算方法，就可以发现二者的差别。在代数演算中a=a是一个恒真式，但a=b不是恒真式，a + b=c也不是恒真式。代数证明是证明一个偶真式是否为真，而不是证明一个算式是不是恒真式，如果所有的代数式都是恒真式，代数根本就没有意义。 等式和恒真式不是一回事，逻辑学家在这里将两个概念混淆了。同时，“1+1=2总是为真”和“a=a总是为真”也不是一回事。布尔代数中存在和a=a对应的恒真式，但没有与1+1=2对应的等式；如果一定要将布尔等式理解为与1+1=2对应，那么布尔代数中就没有与a=a对应的恒真式了。

代数可以这样演算：如果a+b=12，且a=9；则b=3。在所谓的真值函项理论中，模仿这个代数演算的就是肯定前件式：如果p→q为真，且p为真；则q为真。但这个演算不成立。在真实生活中，在未知a、b值的情况下已知a+b的值是可能的，例如把一个西瓜和一个土豆一起称是可能的。已知二者的总重量且已知其中一个的重量，另一个的重量就可以知道了。但在真值函项理论中，未知p和q的真值不可能知道p→q的真值。所以用肯定前件式来判断q的真伪在一般情况下是做不到的 [1] 。

代数演算可以给一个符号赋值：如果a+b=12，则b=12-a；如果a=9，则b=12-9=3。3就是符号b的赋值。而真值函项理论虽然使用了“函项”这个术语，但该理论的演算不能算出q=T(T是“真”)这样的赋值。这两种“演算”完全没有任何可比性。

所谓真值函项理论不仅算不出任何原子命题是否为真，也算不出任何像p→q这样的偶真命题是否为真。它只能用来证明一个复合语句是不是恒真式。也就是说，它只能算出“p

是真命题”和“p不是假命题”是逻辑等价的，这两句话相互替代不会犯错误；以及于此类似的结果。这样的演算并不是毫无用处，但和逻辑学家所宣称它可以达到的目的相去甚远。

认为将日常语言符号化就一定可以建立一个演算命题真伪的演算体系，有这种想法并不奇怪。但奇怪的是，逻辑学家在从未用这种演算方法算出一个原子命题真伪情况下就认为自己发明了一个计算命题真伪的演算体系。

肯定前件式告诉我们的是，如果我们知道了p→q为真，那么只要我们知道了p为真，就足以判断q为真。剩下的问题就是，如何判断p→q是否为真？

从有逻辑学家将逻辑论证写成p→q的形式以来，逻辑学家就不知道如何判断p→q的真伪，除非逻辑学家已经知道了p和q的真伪。如果我们只能在已知p和q的真伪的情况下判断ｐ→ｑ的真伪，我们用肯定前件式计算什么？“如果雪是白的，则2+2=4”。这是逻辑学家常用的例子，逻辑学家如何证明这个命题为真？这是下一篇讨论的问题。

这里说的是，逻辑学家认为在一个公理体系中可证并使用的演算规则就是判断所有命题是否为真的演算规则，这本身也是一个悖论。如果这个设想是可能的，所有的公理体系就都可以纳入这个公理体系，因为不同的公理体系要做的事情无非也是判断某个命题是否为真。而要把所有的公理体系都纳入一个公理体系，对稍有数学常识的人来说，这显然是荒谬的。

布尔代数作为一个符号演算体系，最多和其它的符号演算体系一样，都是基于逻辑方法的演算体系，而不是关于逻辑方法的演算体系。使用布尔演算算不出逻辑规则。