这是一件很有趣的事情。

19世纪末到20世纪初，集合论研究热火朝天。正当数学家弗雷格快要完成自己的集合论总结性著作之际，罗素提出了一个理发师悖论。弗雷格无法解决这个悖论，对此非常沮丧，他说：“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”但弗雷格还是出版了自己的著作。

罗素将理发师悖论一般化，则是这样一个集合S:S由一切不属于自身元素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给的集合,问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就属于S。无论如何都是矛盾的。

罗素所定义的“理发师”是一个空集，他问一个不可能存在的理发师是否给自己刮胡子，就等于问火星人是否有三头六臂。这是无法回答的问题——怎么答都是错。于是罗素就说这里存在悖论。“不属于自身元素的集合”可以组成一个集合。但“一切不属于自身元素的集合”也是一个空集。一个空集是不是自身的元素，集合论如果一定要回答这个问题，实际上完全看如何定义“空集”。如果集合论定义的“空集”一定会导致悖论，这个理论就一定有问题。

无论如何，罗素制造的悖论刺激了数学家，他们开发出各种复杂的集合论理论以对付罗素制造的悖论。这些理论是否正确，这是数学家考虑的问题。

语义悖论不是集合悖论，语义悖论是逻辑学问题。逻辑学家有没有像集合论数学家一样想方设法消除这个悖论？有。但讽刺的是，逻辑学家的努力方向是叫做“真理论”的东西。这个理论简单说就一句话，不矛盾规则有例外，有些命题既为真又为假。这也叫理论？还有的人显然看到这不可能是一个理论，于是进一步指出，其实任何一个命题都是既为真亦为假。不矛盾规则就是一个假命题。这样的理论显然是假理论，他们的意思是说，虽然我这个理论是假理论，但它也是真理论；虽然1+1=2是真命题，但它也是假命题。真就是假，假就是真。是不是进入了佛教的层次？真假何必执着？弗雷格又何必沮丧？

虽然逻辑学家并非都认同“真矛盾”理论，但实际上逻辑学家都认同这个理论的结论：尽管不矛盾规则存在一个真实的反例，但不矛盾规则依然为真。

逻辑学家以为：“逻辑方法的解释权归逻辑学家”。

集合论出现悖论，集合论理论必须重写；逻辑学出现悖论，逻辑学理论也必须重写。找不到悖论发生的原因就将悖论合法化，逻辑学家不如弗雷格。

集合论中存在一个集合悖论，集合论的理论基础就崩溃了。同理，逻辑学中存在一个“逻辑悖论”，逻辑学的理论基础也就崩溃了。集合论数学家一直在开发新理论来消除悖论；逻辑学家不仅任由这个悖论存在，而且还开发了一个“真命题就是假命题”的理论将悖论合法化。数学家认为数学的逻辑基础还没有找到，这是数学的一个重大缺陷。逻辑学中存在一个悖论，这是逻辑学的重大缺陷。逻辑学家把这个悖论的产生归咎于逻辑本身的缺陷，这就好比数学家自己的理论存在缺陷就归咎于数学本身有缺陷一样，既荒唐又不负责任。

正如逻辑学家都知道的简单原理，如果一个理论体系中存在一个悖论，则一定会出现多个悖论。我们不知道逻辑学中到底有多少个悖论，但我们可以列举几个。

例如，逻辑学家认为逻辑学的任务就是证明逻辑规则。

逻辑学家要证明逻辑规则，用什么来证明呢？伟大的数学家希尔伯特说，数理逻辑的研究对象就是逻辑，所以数理逻辑公理体系中的定理证明不能使用逻辑方法，只能使用重言式来做规则使用。当逻辑学家用这些重言式命题做规则证明了无数重言式命题之后，逻辑学家又说，其实逻辑规则就是重言式命题且重言式命题都可以做逻辑规则使用。在命题逻辑公理体系中做演算规则使用的重言式命题到底是不是逻辑规则，逻辑学又陷入了一个悖论。

这个悖论出生于逻辑学家要证明逻辑规则。逻辑学家只要证明逻辑规则就必然会陷入一个悖论：既不能用逻辑规则证明逻辑规则，又不能不使用逻辑规则做逻辑论证。

如果逻辑规则是不可证的命题，这个悖论就消失了。

可证命题可以作为规则使用，但规则不一定是可证命题。a=a，如何证明？它不需要证明，我们只需要如此定义 “=”，a=a就可以作为规则使用：F(x)=∑a_ix_i,熟悉这个符号语言的人一看就知道是什么意思。1+1=2还是1+1=10？这没有关系，定义1+1=2,1+1=2即为真；定义1+1=10,1+1=10即为真。这两个定义都可以作为规则使用，使用哪一个定义完全看哪一个定义更方便。用后一个定义做算术，所需要的规则更少，使用电脑计算才有可能；用前一个定义做算术，会计才不容易看错。

现代逻辑学家受算术符号体系的启发，认为将复合语句也用符号连接起来，就可以找到可重复使用的简单演算规则来计算命题真伪。但实际上这是做不到的。

数学家建立了不同的符号演算体系，演算不同的数学命题，证明不同的数学定理。有时候专门为证明某一个数学定理建立一个符号体系也不是不可能。逻辑学家要建立一个符号演算体系，论证所有的命题真伪，证明所有的定理。这在逻辑上就存在基本困难。

现代形式逻辑的发展和数学逻辑基础的建立几乎同步进行的，有些数学家同时在两个领域做研究并获得重大成就。这些数学家甚至没有尝试过将自己所发明的逻辑演算规则应用于为数学建立逻辑基础的工作中，却宣布自己所建立的逻辑演算规则可以算出任何一个命题的真伪。数学家为数学建立逻辑基础的工作并未圆满成功，但奇特的是，作为逻辑学家，他们竟然宣布他们已经找到了可以演算任何命题真伪的逻辑演算符号体系和逻辑演算规则。

逻辑学研究一直存在问题，到19世纪末20世纪初由于数学家的关注这些问题才被重新提出。现代逻辑学的兴起告诉我们，在此之前的逻辑学存在重大缺陷。逻辑学的理论缺陷并不影响数学的进步，我们当前在科学领域所经常使用的数学工具，实际上大都是在19世纪之前建立的。我们对逻辑可靠性的信心实际上建立在数学家的伟大成就，以及这些成就在科学领域和现实生活中的成功应用的基础之上。逻辑方法的可靠性也不是用逻辑方法可以证明的。方法不可论证，实践是检验方法的标准。

逻辑方法被使用不同形式语言的数学家和科学家所使用，逻辑方法也被医生和侦探所使用，逻辑方法还被无数的普通人在日常生活中所使用。这种方法一定适用于各种不同的语言。逻辑学家说，我们使用的是我们的逻辑直觉而不是逻辑规则。可见，逻辑规则简单到连逻辑学家都没有能够识别。无数领域中的专业人士和无数的非专业人士都认为自己的思维是“逻辑思维”，自己的理论“符合逻辑”。由于没人知道自己所使用的逻辑规则是什么，于是绝大多数人（包括逻辑学家）都认为“逻辑思维”不必使用逻辑规则。

这就是为什么当逻辑学家要用一个公理体系来证明逻辑规则的时候，我们轻而易举就相信了他们。由于我们所见过的公理体系都建立在严格的逻辑规则的基础之上（即便我们甚至不知道逻辑是什么），我们就想当然地认为只要模仿一个公理体系就一定是合乎逻辑的。我们很容易忽略一件事：

用一个公理体系来证明逻辑规则，一定是违反逻辑的。

“雪是白的”。这是逻辑学家经常使用的一个真命题的例子。但是，使用现代逻辑学的逻辑演算规则，一定算不出这个命题的真伪。