折叠在生活中的应用

折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。

一、从三角形纸片中折出菱形

 

O

图1

例1、将一张三角形的纸片ABC按照如下的折叠步骤进行折叠：

（1）将三角形的纸片ABC沿过B点的某条直线折叠，使BC与BA重合，得到折痕与AC的交点D。

（2）再将三角形的纸片ABC沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与BA、BC的交点E、F。

则四边形EBFD是菱形。

分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。本题说明四边形EBFD是菱形的方法很多，下面一一予以说明。

解：由第一步折叠可知：∠ABD=∠CBD，由第二步折叠可知：EF垂直平分BD，∴BE=DE，DF=BF，OD=OB，

∴∠ABD=∠EDB．

∴∠EDB=∠CBD．

又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF．

∴ BE=DE=DF=BF．

∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．

二、从矩形纸片中折出菱形

例2、把一张矩形的纸ABCD按照如下的折叠步骤进行折叠：

将矩形的纸片ABCD沿某条直线折叠，使点B与点D重合，得到折痕与AD、BC的交点E、F。

则四边形EBFD是菱形。

分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多，下面只选一种予以说明。

 

图2

O

解：由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BE=DE，DF=BF，OD=OB，

∴∠EBD=∠EDB．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠FBD，又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB，∴DE=BF．

 

O

O

∴ BE=DE=DF=BF．

∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．

二、折叠矩形中的计算

折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。

解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。

解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理，供同学们参考。

一、    角度的计算

例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50⁰，求∠AEF的度数。

分析：因为EF为折痕，所以它就是对称轴，由此可得，对应角∠BFE=∠2，

利用∠1的度数求出∠BFE的度数，再利用AD∥BC，就可求出∠AEF的度数。

解：由题意得，对应角∠BFE=∠2 

∵∠1=50⁰　　　　　∴∠BFE=∠2=

又∵四边形ABCD为矩形    ∴AD∥BC          ∴

 

答：∠AEF的度数为115⁰。

二、边长的计算

例2、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。

分析：因为折痕AE是对称轴，所以⊿AEF≌⊿AED，此时AD=AF，DE=FE。

先利用⊿ABF的面积求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，然后在

Rt⊿ECF中，利用勾股定理就构建起方程，从而求出EC的长。

解：由题意可得⊿AEF≌⊿AED，   ∴DE=FE，AD=AF=BC

∵⊿ABF的面积为24   ∴    即       解得，BF=6

在Rt⊿ABF中，        ∴CF=BC－BF=4

设EC=x，    则DE=EF=DC－DE=8－x      

在Rt⊿EFC中，      ∴EF²=FC²+EC²     即(8－x)² = 4²＋x²    解得x=3

答：EC的长是3。

例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。按下列步骤折叠：将其对折，使AB落在AD上，折痕为AE，再将⊿ABE以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则CF的长是(  )

A.0.5           B.0.75             C.1                   D.1.25

 

                                                          

 

 

 

 

解析：第一次折叠，AE为折痕，所以可得AB=BE=1.5， BD=CE=1，即⊿ABE为等腰直角三角形，得到∠AEB=45⁰；第二次折叠，BE为折痕，得到∠CEF=45⁰，所以⊿CEF为等腰直角三角形，于是可得CE=CF=1。

故选C

三、折痕的计算

例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。现按如图4所示的方法作折纸游戏，将它折叠使B点与D点重合，求折痕EF的长。

点拨：本题中折痕EF为对称轴，点B与点D为对应点。若连结BD，

则BD被EF垂直平分，可得OB=OD，进而证得OE=OF。在Rt⊿ABE中，

利用勾股定理建立起方程，求出BE的长，再在Rt⊿BEO中，利用勾股定

理就可求出OE的长。

解：连结BD交EF于O点，连结BE

∵EF为对称轴，点B与点D为对应点  ∴EF垂直平分BD，∴OB=OD，DE=BE，

由此可得, ⊿DOE≌⊿BOF   ∴OE=OF

设DE=xcm，则AE=AD－DE=(8－x)cm

在Rt⊿ABE中，∵BE²=AB²＋AE²  ∴x²=6²＋(8－x)²   解得，x=

在Rt⊿ABD中, ，∴OB=

在Rt⊿BEO中,

∴EF=2OE=

答：折痕EF的长是 。

四、面积的计算

例5、如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点 处， 交AD于E。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。

分析：因为∠A=90⁰，所以⊿BDE的面积= ，AB的长已知，求DE的长就是本题的突破口了。根据折叠的特性可得 ，进而可证得⊿BDE为等腰三角形，得到BE=DE，在Rt⊿ 中，利用勾股定理建立方程，就可求出DE的长。

解：由题意可知⊿BDC≌⊿BD

∴ = =90⁰            

又∵AD∥BC       ∴∠1=∠3    ∴∠2=∠3        即EB=ED

在Rt⊿D E中,  设DE=x,  则

∴     即       解得x =5

∴⊿BDE的面积= =

答：⊿BDE的面积是10。

 

 

 

实战练习：                                                

1、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长。

2、在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。

①求EF的长;

②求梯形ABCE的面积.

 

 

 

                                                                                                                                         

 

 

参考答案

1、5.8cm。点拨：折痕EF为对称轴,点B与点D是对应点，所以DE=BE。在Rt⊿ADE中，设DE=x cm，则AE=(10－x )cm，根据勾股定理得，x²=4²＋(10－x)²，解得x=5.8(cm)；

2、①EF=3；②梯形ABCE的面积是39。

提示：①设EF=x，由题意得，∵⊿CDE≌⊿CFE，∴DE=EF=x，CF=CD=6。在Rt⊿ABC中， ，∴AF=AC－CF=4      AE=AD－DE=8－x

在Rt⊿AEF中，∵AE²=AF²＋EF²      ∴ (8－x)² = 4²＋x ²         解得x=3

∴AE=8－3=5