———“鸟儿捉鱼”问题蕴含的定理

11 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边生长了两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺，两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都有一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞下去抓鱼，它们的速度相同并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方与比较高的棕榈树之间的距离有多远？

解析：首先应将题目抽象成数学问题，画出图形．如图1，AB、CD分别表示矮树和高树，AC表示两树之间的距离，点E表示鸟儿抓鱼的地方，AB=20，CD=30，AC=50．由于两只鸟同时看见并去抓鱼，它们的速度相同并且同时到达目标，所以BE=DE．设CE=x，则AE=50-x．

在Rt△ABE中，由勾股定理，得20²+(50-x)²=BE²，

在Rt△CDE中，由勾股定理，得30²+x²=DE²．

因为BE=DE，所以20²+(50-x)²=30²+x²．

化简整理，得100x=2000，即x=20(肘尺)．                       图1

所以鱼出现的地方与比较高的棕榈树之间的距离有20肘尺．

做到这里，你是否觉得问题已经圆满解决，可以松一口气．如果做到这里就此止步，你将错失一次发现问题的好机会！观察计算结果不难发现：AE=CD，CE=AB，为什么这些线段会相等呢？注意到AB+CD=20+30=50，AC=AE+CE=50，即AB+CD=AE+CE．于是我们可以猜想：如果AB+CD=AE+CE，那么必有AE=CD，AB=CE．这个猜想是否正确，让我们一起探究：

为了叙述问题方便，不妨设AB=m，CD=n(其中m＜n)，则AC=m+n．

由勾股定理，得AE²+m²=CE²+n²，即AE²-CE²=n²-m²．

即(AE-CE)(AE+CE)=(n-m)(n+m)．

由AE+CE=AC=m+n，得AE-CE=n-m．

所以 ．解方程组得 ．所以AE=CD=n，AB=CE=m．

因此我们的猜想正确．而由AE=CD，AB=CE易证Rt△ABE≌Rt△CED，由此我们得到一个直角三角形全等的判定定理：

定理1  如果两个直角三角形的斜边相等，且其中一个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的一条直角边的和与另外两条直角边的和相等，那么这两个直角三角形全等．

如图2，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC+EF=BC+DF，那么Rt△ABC≌Rt△DEF．

同学们可以模仿“鸟儿捉鱼”问题的解决方法进行证明．

注意到定理中的条件“AC+EF=BC+DF”可变形为“AC-DF =BC-EF”，由此我们又可以得到直角三角形全等的判定定理的一个推论：                                                          图2

推论1  如果两个直角三角形的斜边相等，且它们的其中一条直角边的差与另一条直角边的差相等，那么这两个直角三角形全等．

注意到定理中的条件“AC+EF=BC+DF”还可变形为“AC-BC=DF-EF”，由此我们又可以得到直角三角形全等的判定定理的一个推论：

推论2  如果两个直角三角形的斜边相等，且其中一个直角三角形的两条直角边的差与另一个直角三角形的两条直角边的差相等，那么这两个直角三角形全等．

对于等式AC-BC=DF-EF，

由完全平方公式可得，(AC-BC)²=AC²+BC²-2AC·BC，(DF-EF)²=DF²+EF²-2DF·EF，而AC-BC=DF-EF，所以AC²+BC²-2AC·BC=DF²+EF²-2DF·EF．

又由勾股定理，得AC²+BC²=AB²，DF²+EF²=DE²．

而AB=DE，所以AC²+BC²=DF²+EF²．

所以-2AC·BC=-2DF·EF，即AC·BC=DF·EF．

反之，我们又可由AC·BC=DF·EF推出AC-BC=DF-EF或AC-BC=EF-DF，两种情况都可以推出两个直角三角形全等，由此我们又可以得到直角三角形全等的判定定理的一个推论：

推论3  如果两个直角三角形的斜边相等，且其中一个直角三角形的两条直角边的积与另一个直角三角形的两条直角边的积相等，那么这两个直角三角形全等．

由AC·BC=DF·EF，得2AC·BC=2DF·EF．

又AC²+BC²=DF²+EF²，所以AC²+BC²+2AC·BC=DF²+EF²+2DF·EF．

即(AC+BC)²=(DF+EF)²．所以AC+BC=DF+EF．

反之，我们也可由AC+BC=DF+EF推出AC·BC=DF·EF，由此我们又得到直角三角形全等的判定定理的一个推论：

推论4  如果两个直角三角形的斜边相等，且其中一个直角三角形的两条直角边的和与另一个直角三角形的两条直角边的和相等，那么这两个直角三角形全等．

如果再能注意到直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半，而S_Rt△ABC= AC·BC，S_Rt△DEF= DF·EF．由AC·BC=DF·EF，得S_Rt△ABC=S_Rt△DEF．

反之，我们也可由S_Rt△ABC=S_Rt△DEF推出AC·BC=DF·EF，由此我们又得到直角三角形全等的判定定理的一个推论：

推论5  如果两个直角三角形的斜边和面积都相等，那么这两个直角三角形全等．

若设Rt△ABC斜边上的高为h₁，Rt△DEF斜边上的高为h₂，则S_Rt△ABC= AB·h₁，S_Rt△DEF= DE·h₂，由S_Rt△ABC=S_Rt△DEF，AB=DE，得h₁=h₂．

反之，我们也可由h₁=h₂推出S_Rt△ABC=S_Rt△DEF，由此我们又得到直角三角形全等的判定定理的一个推论：

推论6  如果两个直角三角形的斜边和斜边上的高都相等，那么这两个直角三角形全等．

面积是三角形的重要性质，周长也是三角形的重要性质．由推论4我们又可以得到一个重要的推论：

推论7  如果两个直角三角形的斜边和周长都相等，那么这两个直角三角形全等．

综合上述直角三角形全等的判定定理和7个推论，我们可以得到判定直角三角形全等的定理：

定理  如果两个直角三角形的斜边和两条直角边的和(差或积)或两个直角三角形的周长(或面积或斜边上的高)对应相等，那么这两个直角三角形全等．

数学家坦普·倍尔有句名言：“数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序”．我想，从“鸟儿捉鱼问题”中发现直角三角形全等的判定定理，透过数学现象揭示数学规律和数学本质正是我们要做的．

 

 

周末活动班“趣味数学”教材（2）

———李白买酒中的“玄机”

我国古代宋、元时期的著名数学家朱世杰在他著的《四元玉鉴》一书中有这样一首诗：

我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮斗酒．店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当有多少酒？

这首诗是一道数学题，为了题意更清楚，后来有人将它改编为下面的形式：

李白无事街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问壶中原有多少酒？

这道题的意思是：李白的壶中原来就有酒，他提着酒壶在街上走，先遇到一家酒店，便进店买酒，将壶中的酒增加一倍，接着李白看到了花，见花生情，便饮酒作诗，喝去了一斗(斗是古代酒器，一斗相当于一大杯)﹒这样反复经过三次，最后将壶中酒全部喝完了﹒问李白的壶中原有多少斗酒？

这实际上是一个关于一元一次方程的问题，若设壶中原有酒x斗，第一次遇到酒店后壶中有酒2x斗，看到花后壶中有酒(2x-1)斗，第二次遇到酒店后壶中有酒2(2x-1)斗，看到花后壶中有酒2(2x-1)-1斗，第三次遇到酒店后壶中有酒2[2(2x-1)-1]斗，看到花后壶中有酒2[2(2x-1)-1]-1斗，根据题意，得2[2(2x-1)-1]-1=0﹒解得﹒所以李白壶中原来有酒 斗﹒

这种做法有点麻烦，反过来考虑，问题就简单多了﹒下面我们用逆推法求出壶中原有多少酒：

第三次看到花之后喝光壶中酒→第三次看到花之前有酒1斗→第三次遇到酒店之前有酒 斗→第二次看到花之前有酒 斗→第二次遇到酒店之前有酒 斗→第一次看到花之前有酒 斗→第一次遇到酒店之前有酒 斗，即壶中原来有酒 斗﹒

逆推过程可列成下表：

	第三次看到花之后	第三次看到花之前	第三次遇到酒店之前	第二次看到花之前	第二次遇到酒店之前	第一次看到花之前	第一次遇到酒店之前
壶中有酒(斗)	0	0+1=1

通过比较两种解法，可以发现运用逆推法来解答本题，十分简捷，甚至可以口算出答案．

逆推法能给我们什么启发呢？

大部分同学在解方程2[2(2x-1)-1]-1=0时，一般是按照先去小括号，再去中括号的顺序，最后将方程左边化简得8x-7=0，即x= ﹒这样解有点麻烦，而且解法也不具有创造性．受逆推法的启发，我们想到这样来解方程2[2(2x-1)-1]-1=0：

2[2(2x-1)-1]=1﹒

2(2x-1)-1= ．

2(2x-1)=1+ ，即2(2x-1)= ．

2x-1= ÷2，即2x-1= ．

2x=1+ ，即2x= ﹒

x= ÷2，即x= ﹒

这种解法采用分步换元法，即分别将2(2x-1)-1，2x-1看作一个未知数，表面上看这样解比较麻烦，其实却蕴含着极大的简便，尤其是括号比较多时，更能显示这种解法的优越性．

诗歌中的已知条件是“三遇店和花，喝光壶中酒”，联系到逆推法，我们自然会提出这样一个问题：如果“一遇店和花，喝光壶中酒”，那么壶中原有多少酒呢？“二遇店和花，喝光壶中酒”，那么壶中原有多少酒呢？四遇店和花，五遇店和花呢？……，n遇店和花呢？

继续采用逆推法，不难求出一遇店和花，二遇店和花，四遇店和花，五遇店和花时，壶中分别有酒 斗， 斗， 斗， 斗．只要给出遇店和花的具体次数，我们总可以采用逆推法求出壶中原有的酒数．当所给出的遇店和花的次数不是一个具体数值，而是一个字母，如n遇店和花，又该怎样求出壶中原有的酒数呢？我们还是从已有的数据出发，看看能有什么发现．通过分析，我们发现：遇店和花的次数与壶中原有酒的斗数关系如下：

遇店和花的次数 壶中原有酒(斗)	1	2	3	4	5
	=1-	= + =1-	= + + =1-	= + + + =1-

根据上面的表格，不难推测，如果“n遇店和花，喝光壶中酒”，那么壶中的酒的斗数S= + + + +…+ =1- ．这是“李白买酒”这首诗隐藏的一个玄机．

注意到 ， ， ， ，…， 是一列特殊的数，其中后面的一个数都是与它相邻的前一个数的 ，这是在高中将要学习的等比数列．而 + + + +…+ 表示这个等比数列前n项的和．我们通过对遇店和花的次数和壶中的酒的斗数的分析归纳出了这个和为1- ．你还能用其它方法求出这个和吗？答案是肯定的，下面介绍三种方法：

方法1：根据分数特点，构造方程

根据“相邻的两个分数中前面的分数是后面分数的2倍”这个特点，可设

S= + + + +…+ ，

则2S=1+ + + +…+ ．

以上两式相减，得S=1- ，即 + + + +…+ =1- ．

说明：也可将S= + + + +…+ 的两边同时乘以 求出S的值，过程留给读者自己完成．

方法2：根据分数特点，巧添零

观察各个分数，我们发现相邻的两个分数中前面的分数是后面分数的2倍，所以后面的分数都可以写成前面的分数与后面的分数的差的形式，于是可得

+ + + +…+

=(1- )+( - )+( - )+…+( - )+( - )

=1- + - + - +…+ - + - =1- ．

方法3：根据分数特点，构造图形

如图1，作一个边长为1的正方形，并依次进行等分，这样就可以得到矩形、正方形、矩形、正方形、矩形……，这些图形的面积依次为 ， ， ，…， ，从而可得 + + + +…+ =1- ．

 

 

 

 

 

图1            图2             图3           图4             图5

 

 

 

 

图 6                      图7             图8                图9

说明：这种解法将抽象的数字转化成具体的图形，通过图形的面积巧妙求出原式的值，渗透了一种“数形结合”的思想方法．当然，在对图形进行分割时，分割方式是多种多样的，如图1～图4是对正方形的不同分割方式．不仅可以对正方形进行分割，还可以对平行四边形、三角形、甚至对圆进行分割，如图5～图9．

我们甚至可以根据一些生活事实来求解，公元前300年左右，中国有位杰出的学者庄子，在他的文章《天下篇》中写道：

一尺之棰，日取其半，万世不竭．

意思是，一尺长的木棍，每天截掉一半，千年万载也不截不完！

事实上， + + +… 表示所有被截掉的木棍长度之和，此时剩下的木棍之长为 ，显然有 + + +… =1- ．

上面我们运用逆推法求出了一遇店和花，二遇店和花，四遇店和花，五遇店和花，……，n遇店和花时壶中的酒的斗数，当然仍可以用列方程的方法求各种情形下酒的斗数，即一遇店和花时，2x-1=0，x= =1- ；

二遇店和花时，2(2x-1)-1=0，x= =1- ；

三遇店和花时，2[2(2x-1)-1]-1=0，x= =1- ；

四遇店和花时，2【2[2(2x-1)-1]-1】-1=0，x= =1- ；

五遇店和花时所列方程为2{2【2[2(2x-1)-1]-1】-1}-1=0，x= =1- ．

从上面这些方程的解的情况你又会有什么发现呢？或者说方程的解与其中的常数有什么关系呢？那就是形如2…{2【2[2(2x-1)-1]-1】-1}-1…=0(其中2和-1的个数都为n)的方程的解为x=1- ．这是“李白买酒”这首诗隐藏的另一个玄机．

数学家坦普·倍尔有句名言：“数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序”．我想，从“李白买酒”问题中发现其中蕴含的数学玄机，透过数学现象揭示数学规律和数学本质，这才是我们要做的．

 

 

解：应选（C）．