去繁从简，感悟化归思想

                       ——《比赛场次》课堂实录

                                     执教：晋江市第五实验小学  洪背清

                            

一、开门见山，揭示课题

师：同学们，像我们刚刚看到的张继科和马龙进行的一对一的比赛叫做单打，单打也就是两个人之间进行的一场比赛。

师：如果是3个人，每两个人之间比一场，一共要比多少场？

生：比3场。

师：再来一个人，4个人，还是每两个人之间比一场，一共要比多少场？

生：比6场。

师：3个人比3场，4个人怎么一下子就变成6场呢？看来，比赛人数不同，比赛场次也不同。到底比赛人数和比赛场次有什么关系。这节课我们首先一起来研究“比赛场次”的问题。（板书课题：比赛场次）

二、自主探究，寻找规律

1.制造冲突，寻找方法

师：同学们，如果比赛人数增加到10人，还是每两个人之间比一场，一共要比多少场？

师：想一想，要用什么方法来解决这个问题？

生：画图、列表

师：是呀，画图和列表，是解决问题的好方法。（板书）

师：这样吧，选择自己喜欢的一种方法。我们来比一比，看谁能在1分钟之内解决这个问题。

师：还没开始喔！先等大家准备好纸和笔，再一起开始。

师：比赛开始。时间到。

生：唉！

师：怎么回事，都还没完成。

生1：速度太慢。

生2：线条太多。

师：老师相信如果给你们足够的时间，大家一定能解决这个问题，对吧？

生：是的。

师：刚刚有位同学在1分钟内就解决问题了，你是怎样想的，请你说说。

生：第1个人不能和自己比赛，他就要和其它9个人比；第2个人因为已经和第1个人比赛了，所以只要再和其它8个人比赛；第3个人只要和其它7个人比赛，就可以用9+8+7+6+5+4+3+2+1 。

师：你的表达能力真强，他要用列式的方法来解决问题。到底是不是这个道理呢？我们得想个办法让全班同学都明白。

师：同学们，遇到复杂问题时可以转化成什么样的问题来进行思考。

生：简单的问题。

师：将复杂问题化为简单，我国有个数学家华罗庚是这样认为的：当遇到复杂问题时可以把它退到最原始的状态去研究。

师：最简单是几人的比赛？

生：2人。

师：按照你们的想法，我们就从2个人开始研究。老师为大家准备了一张学习单，看得懂意思吗？

生：（指着表格说）从2位运动员进行比赛，得出场数，再来进行3个人的研究，再4个人、5个人。

师：你善于观察。就按他说的这样，自由选择一种你喜欢的方法，从2个人开始，再分析比赛人数是3个人的情况，依次往下研究。

师：记住喔，当你们找到规律后，就不用再往下画了。开始！

2.自主探究，寻找规律

师：哇，同学们的速度真快呀！已经发现规律的同学可以轻声地与同桌交流你的想法。

师：大家都用端正坐姿来告诉老师你们已经完成任务了。咱们一起来看看同学们的发现。

方法一

师：只研究了4个人就找到规律啦！真了不起！这是哪位同学的作品，掌声欢迎你来给大家说说。

生：比赛人数是2人时，生1和生2比一场。比赛人数是3人时，生1和生2比，生1和生3比，生2和生3也比一场，一共是3场……

师：你的语言表达能力很强。同时老师也非常欣赏全班同学，都有认真倾听的好习惯。

师：她说按顺序连线，这样比较……

生：有顺序。

师：你发现了什么规律。

生：我发现比赛场次只要用人数减1再往下加到1就可以了。

师：结合图进行观察，分析是学习的好方法。其它同学呢？

生：可以用把人数看成n人，然后用n乘（n-1）来表示。

师：喔，你用了一个不一样的方法来解决问题。是不是如你所说呢？这样吧，我们先来把刚刚这位同学发现的规律弄明白，再来分析你的发现，好吗？

师：他刚刚说比赛人数如果是4个人，从哪开始加？

生：从3开始。

师：5个人呢？

生：从4开始。

师：6个人呢？

生：从5开始。

师：还往下说吗？

生：就是说比赛人数减1，开始往下加，一直加到1为止。

师：概括得好。

方法二

师：我们再来看看其它的方法，这是哪位同学的作品，掌声欢迎你来与大家一起交流。

生：运1和运2表示的是两个运动员。我用勾表示比赛的场次。1和1是自己人不用比，1和2比一场，打一个勾，1和3比，1和4比，然后是2和3比，2和4比，3和4比。一共比了6场。再看算式这边，用比赛人数减1再加到1。

师：老师发现，她在介绍时，其它同学不仅认真倾听，还在认真思考，这是一种非常好的学习习惯。

师：从表格中，你发现了什么规律？

生：从表格中我看出了3个人比，增加了2场；4个人比，增加了3场。

师：是呀！从列表中我们能很快看出增加1个人，增加了几场。

师：这里增加的2场是指哪两场呢？

生：1号和3号比，2号和3号比。

师：再来一个人时，4个人时场次增加3场。是哪3场？

师：哇，都会了，请你说！

生：新来的4号要和前面3个人各比一场。

师：再往下，还能说吗？

生：再来一个人，就要增加4场。

生：6个人，就要增加5场。

师：谁能用一句话概括增加的人数和增加的比赛场次的关系。

生：每增加一个人，比赛场次增加的数目是人数少1。

师：谁也来说说。

师：这就是数学的简洁之美。

师：对于她的这个表格，同学们有什么不明白的地方吗？可以大胆地提出你的想法。

生：为什么要有那条斜线？

师：这个问题提得好，真是善于思考的孩子。谁能做出解释？

生：只要是一样的就划掉，因为自己不和自己比。

师：是呀，你和我，跟我和你比是一样的，联系生活来分析，说得好。

师：你有补充，请你说。

生：第1个运动员已经和第2个运动员比完了，第2个运动员就不用再与第1个运动员比了。

生：自己不和自己比，就是重复的不再比。

师：同学们，刚才我们通过画图、列表的方法找到了解决问题的规律。让我们一起来回顾刚刚的研究过程。

3.知识梳理，总结规律

师生交流：人数是2时，场次是1；人数是3时，场次是1+2=3；人数是4时，场次是1+2+3=6……（板书）

师：人数是10时，场次是……

生：1+2+3+……+9=45

师：如果我们全班55人都参赛，一共要比多少场？

生：从1开始连续的自然数加到54。

师：如果全年段有520人都来比。

生：场次就是1连续的自然数加到519。

师：大家不仅找到规律，还会运用规律了。

师：如果是n个人，比赛场次就是——

生：从1开始的连续的数相加，加到（n-1）为止。

方法三：

师：刚刚有个同学说要用n×(n-1)，这要怎么理解呢？

生：n是末项，1是首项，项数是n，再除以2。

师：喔，你用了等差数列的解决办法。这是什么道理呢？我们结合图表来分析。

师：2个人的话，每个人要比几场？

生：1场。

师：每人比1场，那是不是要比2场？

生：不用，因为A和B比，B就不用再和A比了。

师：明白了，重复的不比。那如果是3个人，每个人要比几场？

生：2场。

师：二三得六，一共6场，对吗？

生：要除以2。

师：让你们知道除以2的道理在哪吗？

生：重复的部分。

师：4个人比呢？

生：3×4÷2=6（场）

师：按照你们的发现，10个人呢？

生：9×10÷2=45（场）

师：真妙，从不同的角度，你找到另一个算式来解决问题，这也是个好方法。

三、拓展运用，总结提升

1.策略牵移，解决问题

师：刚刚我们从简单情形开始，通过画图和列表，在算式中找到了解决问题的规律。这也就是华罗庚爷爷告诉我们的解决问题的宝典——“化复杂为简单”。类似的问题还有很多，敢不敢再接受一个挑战。

生：敢！

师：看大家都信心满满的，请看题。

师：明白这种联络方式吗？你说。

生：每人同时通知两个人，每同时通知两人共需1分。

师：真是灵敏的孩子，善于捕捉关键字眼。

师：请大家在学习单上独立解决，记住喔，当你发现了规律就不用再往下写了。

师：看来，大家都找到解决问题的窍门了，速度这么快，就都找到规律了。谁先来分享你的发现。

生1:我发现后一分钟通知到的人数总是前一分钟的2倍。

生2：我也发现，新通知到的人数是前一分钟的2倍。

生3：我发现用前1分钟通知到的人数乘2再加2就是通知到的总人数。

生4：有字母X表示，通知到的人数，1分钟是X的一次方；2分钟是X的1次方加X的2次方；3分钟是X的1次方加X的2次方加X的3次方，依此类推。

师：同学们，听明白他说的意思吗？

生摇头。

师：你能给大家说说这里的X是几吗？

生：就是每次同时通知2个人。

师：老师听出来了，你这里的X其实就是2，对吧。

生点头。

师：按照他的这个规律，大家从简单情形开始去验证一下。

师：可见，同一个问题会有不同的规律。善于观察和思考的孩子，得到的收获会更多。

师：按照大家的发现，如果要通知完126名同学，需要多长时间？

生：6分钟。

2.唤醒旧知，总结提升

师：同学们，这一节课，咱们一起解决比赛场次问题和找出联络方式规律，这两个问题看似没有任何联系，但却用到一个共同的解决问题的策略，是什么呢？

生：遇到复杂问题，从简单的情形开始，通过画图或列表找规律。

师：是的，当我们遇到复杂的或困难的问题时，要学会化复杂为简单，去分析问题、解决问题。

师：其实这种解题策略不是第一次出现，在以前的数学学习过程中，我们就已接触过许多类似的问题。知道有哪些吗？

生：搭配中的学问，等差数列。

师课件点击回顾旧知：鸡兔同笼问题；组合图形的面积；数图形中的规律；点阵中的规律。

生：都是从简单的情形开始寻找规律。

四、总结收获，布置作业

师：正如老子说的：天下难事，必做于易；天下大事，必做于细。

师：其实不仅仅是数学学习上，生活中许许多多的事情都是这样的：当我们遇到难题时，应该学会从简单情形开始，化难为易去寻找解决问题的方法。

师：课后，请你们用今天学到的方法完成这张家庭作业单。