关于数学基本概念和基本定理的理解

在学习数学的过程中，人们常说“基本知识很重要”，这里的基础知识包括基本概念和基本定理两方面。很多学生对基础知识的理解和掌握存在误区，这与老师的教学方法和教育理念不无关系。当前教学中存在弱化过程强化结果的倾向，造成学生打减省、抄近道、心浮气躁，无视解题的过程性、规范性和严谨性，既失去了数学本身的美感，也因为学生无法体验到这种美感而对数学学习缺乏兴趣。离开对基本概念和基本定理的深入理解和熟练掌握，再谈数学解题的过程性、规范性和严谨性无异于是无源之水、无本之木。下面就如何理解数学的基本概念和基本定理一点粗略看法，以期抛砖引玉。

数学是一门以形式逻辑为纽带、以公理化体系为基础、以符号系统为语言的研究数量关系及其形态结构的科学。我们常说的逻辑其实分为亚里士多德为代表的形式逻辑和以柏拉图为代表的辩证逻辑。

形式逻辑满足三大公理：

矛盾律： a ≠ 非a( a 不等于非 a ) ；

同一律：a = a ( a等于 a ) ；

排中律： a 不能同时既等于 a 又不等于a。

辩证逻辑就是“矛盾定律”，它分为对立统一律、量变质变律、否定之否定律。以此构建为中心，可以推演，辩证逻辑满足“1—2—8定律”，即

元的含几性（对立统一律）；

元的信息性、运化性；

元的多义性、同态性、层次性、边界性、几变性、稳定性、随机性、约束性 

从上面的阐述可以看出形式逻辑是从事物的“静态量”出发进行研究，辩证逻辑是事物的“动态质”为基点进行研究。前者强调稳定态，后者强调变化态。数学中即使研究“变化”，也是利用一个一个的“静态量”的罗列来体现的。

从形式逻辑满足的三大公理可以看出，数学研究的边界绝对清晰、对象绝对准确，不存在任何含糊其辞的表述。这些“绝对清晰”和“绝对准确”不是自然界自动给出的，而是人们按照“自然常理”建立了“公理化体系”，并以该体系为标准产生的结果。

数学中的绝对准确性是由形式逻辑的矛盾律决定的；数学研究中始终离不开“=”，是由形式逻辑的同一律决定的；研究变量的函数中，任何自变量只能唯一对应一个因变量，则是由形式逻辑的排中律决定的。数学中的不等式，也是根据等式的概念，再结合数轴的意义进行界定的。

正因为数学的这些本质特征，使得人们对数学的相关概念表述时，只会从形式上进行定义，不会从内在的“质”上进行阐述。

比如，何谓自然数？教材的定义是：我们把0，1，2，3，4，……叫做自然数。

学生们会想，为什么这些数不叫“非自然数”，而叫自然数呢？根据数学的研究的精神，书中的这种“约定”当然没有问题，但是作为灵性动物的人有人文情怀和精神内涵，如果老师不把这个概念背后的人文内涵挖掘出来，学生们就觉得不踏实、口服而心不服，只能“死记硬背”。假如我们告诉学生：自然界本身存在某种事物，在自然界的某个范围内要么“无”要么“有”。如果“无”就是零个；如果“有”，一定是一个、或者两个、或者三个、…，在没有“人为”改变的情况下，不可能是小数个或者分数个，所以0、1、2、3、4、…，这些数描绘了自然界事物的数量特征，因此我们把它们叫做自然数。这样以来，学生们就会把“自然”与“数”0、1、2、3、4、…紧密地联系在起来，形成“自然数”。

再如，人们经常把“大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数”，由此定义正负数。但是老师在阐述这个概念的时候，必须强调正负数意义的相对性，即当我们研究某事物的数量特征时，如果按照我们选定的“意义”规定这个数是正数（或负数），那么与这个“意义”相反的数就应该是负数（或正数）。有了这样的解读，再结合数轴的意义，学生们就会十分轻松地理解“有理数的乘法法则”。

任何一个“静态数”的背后都有其人文场景，以下利用行程问题来理解乘法法则。数轴上的“0”可以理解为“现在所处的位置”。原因是：“现在”表示经历的时间为零，路程当然为零。

3*2可以理解为一个物体以3米/秒的速度行驶，“3”是正数，由于数轴向右为正，所以该物体以3米/秒的速度向右行驶，既然“现在在原点”，那么2秒钟以后应该在数轴上“6”的位置，则3*2=6；

-3*2可以理解为一个物体以-3米/秒的速度行驶，“-3”是负数，由于数轴向右为正，所以该物体以3米/秒的速度向左行驶，既然“现在在原点”，2秒钟以后应该在数轴上“-6”的位置，则-3*2=-6；

3*（-2）可以理解为一个物体以3米/秒的速度行驶，“3”是正数，由于数轴向右为正，所以该物体以3米/秒的速度向右行驶，由于2秒表述2秒钟以后，那么-2秒钟应该表示2秒钟以前，既然“现在在原点”，则2秒钟以前应该在数轴上“-6”的位置，

则3*（-2）=-6；

-3*（-2）可以理解为一个物体以—3米/秒的速度行驶，“-3”是负数，由于数轴向右为正，所以该物体以3米/秒的速度向左行驶，由于2秒表述两秒钟以后，那么-2秒钟应该表示两秒钟以前，既然“现在在原点”，则2秒钟以前应该在数轴上“6”的位置，

则-3*（-2）=6。

在解读的时候，也可以把语文中记叙文的“时间、地点、人物、事件”四要素与数学行程问题中物体运动所对应的时间和空间关系的一致性联系起来，既增强学生对于有理数的认识、培养学生对所学知识一丝不苟的探索精神、欣赏数学中所蕴涵的人文景观，又能够引导学生形成文理贯通的系统大思维。归根到底，就是有效提升同学们的数学素养，也是素质教育在教学中的体现。

遗憾的是，有些老师在给孩子讲解这个内容的时候，直接告诉孩子记住 “同号得正、异号得负”就行了，这种“记死公式”的教育方法就是囫囵吞枣哇。

最后，我想简单讲一讲对基本概念和基本定理掌握的要求：

了解各概念产生的学科背景、承载的学科责任和解决的学科问题；

能够准确记忆各个概念的内含和外延，对每一个概念都能从正反两个方面举出三个以上的例子；

能用规范简洁的概念语言完整地表述解题过程，使解题过程形成优美严密的逻辑链，由此将各概念深度地融入到解题的整个思维过程中，形成概念思维；

能够准确掌握各种基本定理成立的条件和得出的结论，能够熟练地运用相关概念和命题完成各定理的证明；

重视每一种具有本原性解题方法的“简单题”，能够准确地运用基本概念和基本定理进行规范推进，因为这种的解题过程和方法将成为对大题难题进行庖丁解牛的思维范式和“类方法”。

解题时不是依赖于“套题型”，而是在“题目就是说明书、概念就是指南针”的理念指引下，参考相应“类方法”进行有序推进。

解题时，必须弄清楚题目中每一个条件所起的作用；做完题后，必须弄清楚老师布置这道题的目的。这样就把自己从解题的“奴隶”变成了赏析的“主人”了。

很多孩子成绩不好，不是因为脑子笨，而是因为他们的学习理念和学习方法出了严重偏差。所以人们常说“态度决定一切，细节决定成败”，这里的态度主要指的是理念。按照这样的方法学习，即便是学渣也可以在极短时间以内嬗变为学霸。

                                                                           山水和声（微信xiezk1688）