温州中通国际学校校本研训活动记录表第  1  次

(项目负责人填写)

工作单位： 九年级数学  组

项目名称	基于“学-教-评”一致性的单元整体教学的集体备课	项目负责人	熊小林
活动时间	2023年8月20日	活动地点	七（1）班
活动主题	主题一:聚焦九上《二次函数》内容，开展“单元一课时”整体教学设计，落实“模型观念” 主题二:研究 2023 年浙江省初中学业水平考试数学试卷	主讲人	熊小林
参加对象签到	熊小林，陈仕良，甘小林，蔡奔隆	申请学时
活动内容 及进程	任务安排： 甘小林：安排教学计划 熊小林，陈仕良：研究 2023 年浙江省初中学业水平考试数学试卷 蔡奔隆：聚焦九上《二次函数》内容，开展“单元一课时”整体教学设计，落实“模型观念” 组内成员对各项任务进行了明确的分工安排，明确了各项任务的大致实施流程及进度，并共同商讨两个主题的研究方向
活动反思 与建议
过程确定

 

教材解读：二次函数是浙教版《数学》九年级上册第一章，函数是数学的核心概念之一，学习函数所涉及的思想方法贯穿整个数学学习过程。在学习二次函数之前，学生已经学习了一次函数和反比例函数，二次函数的学习是对函数及其应用学习的深化和提高，起到一个承上启下的作用。本章的内容主要包括二次函数的概念，二次函数的图象，二次函数的性质和二次函数的应用，整体学习过程与前面的函数学习类似，可以培养学生类比学习的能力，同时，二次函数在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数形结合等数学思想的重要素材。

 

 

 

 

 

 

 

学情分析：学生在之前已经学习了一次函数与反比例函数，对函数的基本探索过程已经有所了解，已经具备初步的数形结合思想和建模观念。但二次函数表达式较为复杂，性质繁杂，相较于前两种函数难度有了较大的提升，同时与生活实际联系紧密，要求学生具备较高的抽象建模能力，这是学生目前还十分欠缺的。

教学策略：本章的学习我们将用一个具体的生活实例来贯穿整章的教学，让整个二次函数的学习具有一个整体连贯性，让学生能将二次函数的重要知识点一一串联，形成一个完整的知识体系。教学过程尽量放手让学生自主探索，学生主体，教师主导，让学生在亲身实践的过程中，主动发掘二次函数图象特点以及所具备的性质。让学生从实际生活层面出发，抽象数学模型进行探究，感受生活中的数学，培养模型观念。

教学计划：

 

 

 

 

 

 

情境1：如图是两座拱桥，一座是著名的赵州桥，一座是北京颐和园的玉带桥。

问1：大家观察一下这两座拱桥有什么异同点，能不能从中抽象出几何模型？

 

 

 

 

 

 

异：桥拱坡度不同

同：桥拱都是呈抛物线的几何形状，轴对称，有最高点，从左至右先上升后下降

几何模型：

 

问2：我们知道直线是一次函数的图象，双曲线是反比例函数的图象，那么抛物线是什么函数的图象呢？

二次函数

问3：函数表达式的一般形式？一次函数的一般形式？那么猜想二次函数？

y=ax²+bx+c（a≠0）

练习：1. 对系数的判断2. 简单几何例子，练习待定系数法

情境2：学习兴趣小组想对赵州桥进行进一步研究，就想，既然拱桥的几何模型——抛物线是二次函数的图象，那么一定和其他函数图象一样，能在平面直角坐标系中将其绘制出来，那要想大致描绘一个函数的图象，学习小组想到了描点法，所以在这之前，他们进行了一次实地考察，测量结果如下（以下长度已做近似处理）：

 

 

 

 

 

 

 

 

在测量过程中发现，当距左侧岸边水平距离为20米时，测量者达到最高点，测得石拱最高点距离水面8米

任务：根据上述测量数据，在网格图中建立合适的平面直角坐标系，用你觉得适当的方式，通过描点法画出两座桥所对应的函数图象。

 

画法1：以石拱最高点为原点，并对测量数据进行了再处理，转化成了坐标系中点的坐标，分别为

 

 

 

 

 

画法2：以石拱最左端为原点，并对测量数据进行了再处理，转化成了坐标系中点的坐标，分别为

 

画法3：以湖面中心为原点，并对测量数据进行了再处理，转化成了坐标系中点的坐标，分别为

 

预测会出现其他不同画法，这里就不一一举出

对于画法1的函数表达式，老师可让学生通过待定系数法得到，余下图象的函数表达式老师可直接给出

 

 

 

 

任务1：老师选取赵州桥的画法1并请同学们观察，该函数图象具有哪些基本的特征？从对称轴，顶点坐标，位置，开口方向，最值五个角度出发开展探究活动

 

学生作答完成，教师总结完毕后，老师继续设计情景，

问：我们可以发现，在这美丽的照片中，大家有没有发现赵州桥在水中清晰的倒影，那么这个倒影，和赵州桥本身是什么关系呢？

答：轴对称

此时教师可以运用几何画板对倒影的图象进行绘制，并给出对应的解析式

对应的图象如下：

 

结合函数图象，总结出在一般情形下，y=ax²与y=-ax²之间的关系

引导学生并对形如y=ax²的二次函数图象的特征进行总结

 

情境：老师通过几何软件在同一个坐标系中绘制出学生得到的几个典型的函数图象，组织学习小组讨论各个函数图象之间的位置关系，并引导学生结合其对应表达式探索函数图象的平移与函数表达式之间的联系

 

汇总各个小组的探究成果，派代表进行汇报，教师做最后的总结归纳

 

 

经过上节课的学习，我们发现，形如y=a(x+m)²+k形式的二次函数表达式，我们可以快速地从中找到二次函数图象的顶点坐标，那如果是y=ax²+bx+c这样以一般形式呈现的二次函数，我们又该怎么去寻找其顶点坐标呢？

在之前课上用描点法画函数图象的课堂教学中，应该会出现一些一般情形的绘图方式，比方说如下形式：

 

 

问：那么我们其实会发现，单看这条表达式，我们是无法直接判断出其顶点坐标的，那么将该二次函数转化成何种形式，我们就能快速读出其顶点坐标和对称轴了呢？

答：通过配方法转化成顶点式

对该表达式进行配方操作，并带领学生完成y=ax²+bx+c的配方过程，得到对称轴，顶点坐标，最值与系数a，b，c之间的关系

 

 

二次函数的性质这一节还是按照传统的方式进行授课，与实际情境不好结合，当然在教学过程中也必须保证其连贯性，下面是大致的授课流程：

结合上一节课的知识，我们已经将一般式的对称轴和顶点坐标用系数表示，那么这节课跟随上节课的脚步，来继续探索二次函数的性质

教师给出几个问题，由学习小组来进行探讨，得出结论

1. 还是利用上节课的函数，并给出图象

 

完成任务确定顶点坐标确定对称轴判断增减性确定当x为何值时，函数取到最大值组内成员选择不同的x的取值范围，确定函数值的取值范围，并总结规律（与对称轴的距离，区间是否包含对称轴）

2. 当函数表达式为y=ax²+bx+c时，此时a的正负性未知，根据以下表格总结二次函数的性质

a的范围	a>0	a<0
顶点坐标
对称轴
增减性
最值

 

探究函数的性质，当然少不了函数图象与坐标轴的关系，接下来一起探究二次函数图象与坐标轴交点特征

问1：二次函数图象与y轴的交点怎么求？以为例

问2：推广到一般形式y=ax²+bx+c呢？你发现了什么？

问3：请求出与x轴交点坐标

问4：二次函数图象与x轴一定有交点吗？如有交点，又会有哪些情况？如何判断？结合问3的解答过程，探究抛物线y=ax²+bx+c(a¹0)与x轴交点个数与一元二次方程ax²+bx+c=0(a¹0)的根的判别式b²-4ac关系。

得到抛物线y=ax²+bx+c(a¹0)与x轴交点个数抛物线y=ax²+bx+c(a¹0)当y=0时，x的值一元二次方程ax²+bx+c=0(a¹0)的根  三者之间的联系

问5：当抛物线与x轴有两个交点时，两个交点与对称轴的关系

问6：当抛物线上x₁与x₂对应的函数值均为m时，根据抛物线的对称性，能否得到对称轴？与一元二次方程ax²+bx+c=m(a¹0)又有什么关系？

最后，通过一张表格对二次函数的重要性质进行总结

 

引出二次函数的交点式，通过具体二次函数表达式，由特殊到一般，得出二次函数的交点式的一般形式

目前已经学习了二次函数的三种表达形式，可对这三种表达式的待定系数法进行针对性练习

 

 

 

 

二次函数的应用

1．根据以下素材，探索完成任务．