从新教材幂函数定义的比较谈幂函数概念的理解 发表于《中数参》2013.9:2-3

中心词：个性的特立独行掩饰不住志同道合的简洁与自然，

求同存异让幂函数群体拥有了同样繁荣与美丽

江苏省海头高级中学   王怀学   222114   15861285105

幂函数是学生进入高中接触到的较早的基本初等函数之一，它内涵丰富、个性十足却也毫不面生，作为一种特殊基本初等函数，它是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是对前面刚刚学习的函数新概念和性质的最直接的应用与幂有关知识的高度升华．它的形式简单内涵丰富，学习起来有一定的难度，高考对幂函数要求有较大降低，直接考查自然不多．但从培养学生的数学思维品质和能力来说，让学生通过简单幂函数的研究，对加深学生对函数概念和性质的理解却也很有必要，既是一个再学习过程，也是一个实践过程．而且教材编写一般都独立成节，有利于考查教师的学法指导的基本功，因此在说课、赛课活动中备受青睐．笔者近日在整理优秀教学设计、审读相关论文时发现不少老师对幂函数定义的把握不够准确，通过对几种版本的新教材的研究，感悟与拙见，仅供参考．

1.教材不同版本对于幂函数的定义的差异

苏教版幂函数定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数（power function），其中 是自变量， 是常数^【1】；

人教新课标A版幂函数定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数^【2】；

人教A版幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α是常数；对于幂函数我们只研究α=1,2,3， ，-1的情形^【3】；

人教新课标B版幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α是常数^【4】；

湘教版幂函数定义：一般 地，当x是自变量而α为非0实数时，函数 叫做（α次）幂函数（power function）^【5】；

沪教版幂函数定义：一般的，函数 （k为常数， ）叫做幂函数（power function ）^【6】；

北师大版幂函数定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即 ，这样的函数称为幂函数．当α为实数时， 仍有意义^【7】．

从各种版本对于幂函数的定义来看，每种定义都在淡化概念，突出本质上下了一番功夫．总体上来讲，都认为幂函数是一个形式定义，都包含三个部分，首先，主体部分是“形如 的函数”；其次是明确“x是自变量”；最后，注明“α是常数”． 当然，它们虽然都强调“α是常数”，但这个常数的取值范围有别，有的版本没作说明，有的规定α为有理数，也有规定为实数的．

2. 幂函数应该是个性鲜明的函数群体

幂函数的定义来自于实践，它同一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等函数一样，也是基本初等函数，它们的定义方式异口同声地采用了“形如”的“形式定义”的口吻进行了定义．从“外貌”上看，凡是形如 的函数都是幂函数，比如 、 、 、 ；换句话说幂函数都能“打扮”成“ ”的样子，都融入了幂函数的遗传基因，因此有时候还需要从本质上进行适当的剖析，因为幂函数更喜欢朴素而简洁的美丽，如 、 、 、 等．

幂函数之所以成为一种函数“群体”，而不是一类单纯的函数，从根本上说还是因为它们来自于不同的家族．如 就来自于反比例函数 ，函数 来自于正比例函数 ，函数 式最简单的二次函数等．反过来，从常量角度进行分类，同样发现这个特点：当α=0，幂函数是 ；当 ，幂函数就是一次函数；当 ，幂函数就是二次函数；当 ，幂函数是反比例函数，等等．也许正是因为幂函数的这个特点，也就造就了幂函数的个性鲜明的特点，如幂函数的定义域、图像、单调性、奇偶性、过定点等性质俊异．

3.幂函数的定义域不该统一

幂函数也是函数，它也应该有定义域，但作为一种不一般的函数，却不像前面或即将学到的对数函数 ，其定义域是 ，指数函数 ，其定义域是 ，后面将要学习的三角函数，如 ，其定义域是 等等那样，它是真的没有统一定义域．

前面已经提到，由于幂函数包含了一些不同性质的函数，可以说它是多种具有相同形式特征的函数的总称，它不能像对数函数、指数函数那样，为了追求定义域的确定性统一性，而不顾大部分幂函数的“感受”，刻意地去把幂函数的家族进行大清洗，难道要顺我者昌，逆我者亡吗？大家都是因为有了一个形如“ ”的外在特征才聚在一起，定义对于定义域的任何限定，都会伤了兄弟感情，最终不欢而散．所以说，在各类版本的幂函数的定义中，都不会对幂函数的定义域作某种规定的，幂函数的定义域不能也无法做到拥有一个统一的定义域，除非这样说：“其定义域是使 有意义的x值的集合”．

4.常数α的范围对定义域的影响最大

我们常见的初等函数，常常对解析式中的字母作出严格的规定，如正比例函数 ，一次函数 为常数），二次函数 为常数），对数函数 等等．和一般函数一样，幂函数的解析式也包含实数字母α，但是幂函数的情况要复杂一些，作为指数，大家的思维习惯上还停留在偶数、奇数等整数范围，稍进一步也就是分数指数幂，负分数指数幂，其中还包括分母为奇数，分子为偶数；分子为奇数，分母为偶数，也就扩大到一般的有理指数幂，实际上无理指数幂也行，就是说字母常数α可以是实数^【8】．鉴于高中阶段学生的接受能力，以及新课标对幂函数的要求的降低，规定高中阶段只讨论α是有理数的情况还是比较合适的．而作为有理数 （ 为偶数， 互质），也会随着 取不同的整数，是奇数还是偶数，正数还是负数的不同，幂函数的定义域相应地发生变化．就是说，幂函数 的定义域和字母常数α之间关系非常不一般，它们既相互关照，又相互制约，相生相克．

5. 幂函数 不该忽略不计

按照新教材幂函数定义，函数 是定义在 上一种幂函数，而且还比较神秘．因定义域的原因，幂函数 存在了先天性的缺陷，说是直线其实被y轴硬是赖去了一个点；因为这个先天缺陷，幂函数 虽为偶函数，其图像关于y轴对称，却不敢经过y轴，即使已经靠近y轴了也只能跳过去；它虽然有修长的身段，却不能拥有自己的单调性，只能平庸一生．

尺有所长，寸有所短．幂函数 虽势单力薄，虽多次被忽略，仍然不屈不挠坚强地显示着自己的存在．也正是因为它的存在，才让幂函数有定义域不能统一，字母α有范围不能说．因为它也不与 、 轴都没有公共点，在研究幂函数 图像时，在研究幂函数 为偶数， 互质）图像时，没有它的存在变得不可能．比如，已知幂函数 与 的图象都与 、 轴都没有公共点，且 的图象关于 轴对称，求 的值．因为 且 ， 为偶函数，且 ，所以 ，你感觉到幂函数 存在了吗？

幂函数这一章节给我们留下了无限的想象空间，也带给我们不少的思索，这个失而复得函数真是个性的特立独行掩饰不住志同道合的简洁与自然，求同存异让幂函数群体拥有了同样繁荣与美丽，值得学习与深思．

【参考文献】

1. 单增，葛军.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1[M] .南京：江苏教育出版社，2012：88-89

2. 钱珮玲.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1 [M] .北京：人民教育出版社， 2004：90-91

3. 钱珮玲.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：77

4. 李建才.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1（B版）[M]. 北京：人民教育出版社，2004：116-117

5. 张景中. 普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1[M].长沙： 湖南教育出版社，2005：108-109

6.袁震东，赵小平.上海高级中学课本数学，高一年级第一学期[M]. 上海： 上海教育出版社，2006： 79-80

7.严士健，王尚志. 普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1[M].北京：师范大学出版社，2010：55-56.

8. 陈重穆.   幂函数  定义域的商榷[J].数学通报 1996，10

9.文卫星.课例：幂函数[J].中学数学教学参考（上旬），2011，5