小学数学数与代数领域模型思想的建立及应用策略

罗  英（陕西省旬阳县城关镇刘湾小学）

摘要：小学数学数与代数领域模型思想的建立及应用四步骤：精选问题，塑造模型；发现共性，构建模型；深层探究，求解模型；变换应用，检验模型。不同类型的数学知识，建模的方法不同，概念型数学用生活原型建模；方法型数学用符号化思想建模；结构型数学用变式理论建模。

关键字：数学模型思想；建模；用模；概念型；方法型；结构型

数学模型思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结到一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。数学模型思想是用数学知识去解决实际问题的一座桥梁。模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增的核心概念。新课标将“模型思想”列入10个核心概念之一，可见在数学教学渗透模型思想，引导学会建立数学模型，并利用建立的数学模型解决问题是十分必要的。因此，在数学教学的过程中，应该根据教学实际，将其列入课堂教学的目标，与教学内容紧密联系起来。

怎样在小学数学课堂上有意识地去引导、去培养学生的数学模型思想，进而引导学生“建模”“用模”是值得我们广大小学教师思考的问题。

在小学数学数与代数领域中的模型（如下表）。

知识领域	知识点	应用举例
数与代数	数的表示	自然数列：0,1,2,…
		用数轴表示数
	数的运算	a+b=c c－a =b, c－b＝a a×b＝c(a≠0,b≠0) c÷a=b, c÷b＝a
	运算定律	加法交换律：a+b=b+a
		加法结合律：a+b+c=a+(b+c)
		乘法交换律：ab=ba
		乘法结合律：(ab)c=a(bc)
		乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
	方程	ax+b=c
	数量关系	时间、速度和路程：s=vt
		数量、单价和总价：a=np
		正比例关系：y/x=k
		反比例关系：xy=k
		用表格表示数量间的关系
		用图象表示数量间的关系

在小学阶段，数学模型有以下两个主要特点：

其一，它是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构。
比方说，我们经常会提问“这道题实际上就是要求什么”引导学从具体的问题中提炼出数学关系，如：“兰兰、丽丽一起踢毽子，兰兰踢了6个。丽丽踢的个数是兰兰的3倍，丽丽踢了多少个？”就是求一个数的几倍是多少；

其二，它一般能借助数学符号来表示，并能进行数学推演。比方说，很多题目通过一段文字叙述出来时，看上去非常繁杂、无从下手。但当我们将大段的文字转化为数学表达式之后，就显得简单明晰得多，并且更便于在数学表达式的基础上进行数学的推演。如：

通过一年多对小学数与代数领域的研究，我们总结出小学数学数与代数领域模型思想的建立及应用策略四步骤。下面以《乘法分配率》为例谈谈四步骤是如何实现的。

一、精选问题，塑造模型

数学模型的建立以具体问题为载体，而且学生在建模的过程中要接触多侧面、多层次的丰富的现实问题模型。所以，选择的问题要能激发学生建模的兴趣，要典型，有代表性。小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型，其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。因此，教师有目的、有意识地创设能激发学生创造意识的各种情境，能促使学生产生质疑问题、探索求解的学习动机，从而使“事理”上升为“数理”，体现一个模型化的过程。

（第一环节）刘湾小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。扩建后的操场面积有多大？

1、独立思考，尝试解决。              

2、组织交流，分析比较。

生1：我先算扩建后操场的宽，再算扩建后操场的面积。60×（30＋10）= 60×40 = 2400（平方米）。

生2：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算扩建后操场的面积。60×30＋60×10 = 1800＋600 = 2400（平方米）。

根据学生回答，教师板书以上两种算法。

在这一环节中，当教师提出问题后，让学生明确问题解决的目标，激发问题解决的动机，充分发挥教师的引导作用。同时，问题的提出要针对学生实际，问题的引入应力求趣味、新奇、有针对性，能够诱导、启发、激活学生头脑中潜在的知识，使之服务于问题的解决，最大限度地调动学生的求知欲。

二、发现共性，构建模型

只有组织学生在充分感知大量感性材料的基础上，经历观察、比照、操作等活动，逐步发现问题的共性，才能建立起数学模型。在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简,然后用不完全归纳法构建数学模型。这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。

（第二环节）师：刚才同学们用了两种不同的方法解决了同一个问题。现在请让我们回头来看一看，60×（30＋10）=2400，60×30＋60×10=2400，计算结果相等，我们是否可用“=”把这两个式子连接起来？

生：可以！

教师随即板书：60×（30＋10）= 60×30＋60×10。

师：你会读这个等式吗？

生：60乘30与10的和，等于60乘30的积加60乘10的积。

 

扩建后的面积 算法1： 算法2： 结论：

师：现在你能自己决定宽增加的米数，再写一些这样的等式吗？课件呈现“形”，（如左下图），让学生看形思数，完成“自主学习单1”。                                

在组织交流时，教师有选择性地板书，并提问:观察一下，这些等式有什么特点？和同桌悄悄地说一说。

然后课件展示如下:

         ×（      +      ）=      ×      +      × 

师：请你根据自己的猜测将数据填入下面的面积模型中（如下图），并对自己的猜测进行验证，即完成“自主学习单2”。

 

我的猜测：  ×（  +  ）=   ×  +  ×      验证： 结论：

学生在自主完成“自主学习单2”后，交流讨论：

生1：我的猜测是70×（3＋2）=70×3＋70×2，然后通过验证，得出70×（3＋2）=70×5=350，70×3＋70×2=210＋140=350，因为他们的结果相等，所以我的结论是：一个数乘两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两个积加起来。

……

生4：假如用字母表示，我认为可以这样表示：a×（b＋c）=a×b＋a×c。

师：在数学上，我们把这个规律叫做“乘法分配律”。（板书课题）

教师引导是构建模型的前提。从导思、导议、导练入手，结合学生心理特征和认知水平提出的启发性问题，不宜过于简单，也不能超过学生的实际水平。同时，老师要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、现象的、感性的问题上升到理性并纳入到所要达到的教学目标的轨道上来，从而形成集体求索的态势。另外，当提出一个或几个问题之后，要给学生思考的时间。要让学生独自在课堂教学“这棵大树下”思考一会儿，静静想一想，如何“跳”才能“摘到果子”。这样，他们解决问题的能力才会更强些。只有当学生经过独立思考之后，在随后的小组交流中才会有话想说、有话可说，这样小组交流的质量才能提高。

三、深层探究，求解模型

教师在引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层探究，求解数学问题。这一环节要让学生叙述解决数学问题的过程，交流解决问题的经验，从而达到解决问题、形成解决问题策略的目的，同时还可拓展模型，引领学生走向数学更深的本源。

（第三环节）简便计算：37×7＋37×3        48×19＋52×19        102×17

1.学生独立计算。

2.反馈交流。在校对完答案之后，教师引导学生展开想象。

师：联系长方形面积模型，这些算式可以想象成求什么？

生1：第一个算式可以看作求两个长是37，宽分别是7和3的长方形面积之和。因为它们的长相等，所以，可以把这两个长方形沿着长拼起来，变成一个长方形。这时长方形的长仍是37，宽是7＋3=10。

师：大家能想象他所说的长方形是怎么样的吗？请你把它画在纸上。

学生开始动笔画，教师提示只需画草图就行。然后选一张展示。

师：第二个算式呢？

生2：第二个算式可以看作长分别是48和52，宽都是19的两个长方形面积之和。因为它们的宽相等，所以，可以把这两个长方形沿着宽拼起来，变成一个长方形。这时长方形的长是48＋52=100，宽是19。

师：那么第三个算式又怎么解释？

生3：把一个长方形分成了两个长方形，也就是把长分成了100和2，然后剪开。但是把这两个长方形的面积加起来，仍旧等于原先一个长方形的面积。

师：大家能想象吗？

生意会地点点头。

这一环节以学生交流讨论为主，交流讨论的目的在于抓重点、明思路、排难点、解疙瘩、澄疑点、解迷惑，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。学生交流讨论的过程是学生之间、师生之间的多边互动的过程，应最大限度地调动学生的积极性，提高学生的参与程度，尤其是思维参与程度。在这里，教师的作用是指导问题求解的策略，要组织好交流活动，使学生尽情地交流求解问题的经验，相互补充，完善表述，形成策略。同时要把握好“收”与“放”的关系，放开以各抒己见，收拢以达到相对统一的认识，使学生的认识系列化、规范化。

四、变换应用，检验模型

求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果。通过深层探究，求得数学结果已是教师与学生的共识，但结合实际、检验结果，是教学时常忽视的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已经过加工、合理的素材，缺乏检验的必要性。因此关键在于教师的引导和重视。

（第四环节）师：学习了乘法分配律，你认为有什么作用？

生1：可以使一些计算简便。比如计算38×32＋38×68，就可用38×（32＋68）=38×100=3800。

生2：解决应用题时，可以用两种方法解答。

……

师：那你能解决这个问题吗？

课件出示：

希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。增加的部分比原来的面积少多少？

生1：我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算增加的面积比原来的面积少多少。60×30－60×10 = 1800－600 = 1200（平方米）。

生2：：要求增加的部分比原来的面积少多少，可以想象成把两个长方形沿着一条长重叠起来。因此，我只要先算出增加部分的宽比原来的宽少几米，再和长相乘，就可以算出增加的部分比原来的面积少多少。60×（30－10）= 60×20 = 1200（平方米）。

根据学生回答，教师板书以上两种算法。

师：结果相等，是否也可以把这两个算式用“﹦”连接起来？

生同意地点了点头，教师随即板书：60×（30－10）﹦60×30－60×10。

师：那么你能用字母公式表示这个新规律吗？

生：（a-b）×c=a×c-b×c 。

在以上的教学过程中，教师不仅引导学生结合实际去检验结果，同时也不断地引导学生发现新的数学知识。用“计算结果相等的两个式子也相等”，发现乘法分配律同样适用于两个数的差等。这是一个不断探索与发现的过程，体现了数学学习是学生用数学知识解决问题和发现新的数学知识的过程，同时还拓展了数学模型，引领学生走向数学更深的本源。

总之，小学生数学模型思想的建立需要一个过程，这不仅是一个主动学习、构建模型的过程，更是一个创新学习的过程，是学生渐渐形成自己的数学知识结构（知识模型）的过程。

数学模型根据不同的标准有很多分法，在小学数与代数领域出现的数学模型一般大致有三类，即概念型、方法型、结构型。不同了类型的数学模型在建模的过程中，方法也有所不同。

一、概念型数学用生活原型建模

例如在“认识方程”的教学中我们借助天平帮助学生体悟等式和方程的含义，为抽象的方程找到了直观的生活原型：天平。天平两边平衡，表示两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量不相等，让学生在天平平衡的已有经验中体悟等式的含义，既突出了教学的重点，又克服了学生已有的“算术思想”对方程概念的建立所带来的干扰。引导学生将旧知进行迁移和提升，很自然地解决了“代数思想”的第一个关键问题——用字母代替不知道的量（未知数），帮助学生积累了鲜活的方程的表象。方程其实就是一种模型，是一种概念型数学模型，很多这样的模型都是基于现实的生活情境作出适度抽象后的产物，在小学许多数学教学内容本身就是一种模型：分数是平均分派物品的数学模型；小数的生活原型就可以看作是元、角、分；自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型；400人的工厂里一定有两个人同一天过生日，其数学模型就叫抽屉原理。

二、方法型数学用符号化思想建模

例如：在学习“同分母分数加减法”时，当学生归纳同分母分数加法的共同特点，诱导学生用数据较大的同分母分数加法题进行快速抢答，然后又出示“1/△+3/△ ○/5+□/5 ○/△+□/△”的习题，由分母而至分数渐次抽象，用符号表达数量关系，演绎同分母分数加法的算法模型，促使学生生成和体悟“分母不变，分子相加”的算法“绝招”。这里的计算法则其实就可以看作是一种算法模型，借助符号化的方法将模型进行抽象的建构。数学家欧拉解决“七桥问题”，“七桥问题”是“一笔画”的现实原型，“一笔画”则是“七桥问题”的符号化呈现。悟出算法后，教学并不能满足于“知其然”，继续带领学生由算法而探究算理，追究其中的“所以然”。把分数单位与整数中的“一”、“十”的计数单位建立起有机的联系，让学生悟出同分母加法的法则，实质上就像“几个十”加“几个十”，“几个一”加“几个一”一样，也是“几个几分之一”加“几个几分之一”，从而一步步地跃升思考的跨度。算法作为一种方法型数学模型不能仅仅满足于形式化地将它揭示出来，更要知晓其背后的原理，这也许就是大家常说的算法与算理的统一吧。

三、结构型数学用变式理论建模

例如在教学“鸡兔同笼”时，通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。指导学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。鸡兔同笼可以看作是这一类问题的结构型模型，模型只有与变式相伴才显活力和魅力，也才能彰显其意义。

总之在实际数学建模中，无论用哪种方法，都应把握以下六点：建模的主体是学生；建模的重点是“经历”；建模的形式是多种多样的，不同的学生可以建立不同的模型；模型的价值取向是简洁实用；建模的要求不能太高；突出教师在建模中的指导作用。

参考文献：

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[2] 《义务教育课程标准（2011年版）小学数学案例式解读》  教育科学出版社  2012年3月

[3] 小学数学教学概论[M].北京：开明出版社，1998年4月：200-226.

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[5] 王丽兵.让智慧的光芒在课堂中闪耀——谈小学数学课堂中模型思想的培养[J].

教学月刊（小学版），2008.8上.

[6] 许卫兵．磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教

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