小学数与代数领域渗透模型思想的案例与思考

罗  英（陕西省旬阳县城关镇刘湾小学）

数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，具有鲜明的阶段性、初始性特点，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”在此基础上，初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

下面是几例关于在教学中渗透模型思想的教学片段及自己的思考。

【“5-2=3”教学片段】

出示情境图。

师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？

生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。

师：第二幅图呢？

生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。

师：你能把两幅图的意思连起来说吗？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。

师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？

生（齐）：3个。

师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？

（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）

师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）

生齐读：5减2等于3。

师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？

……

师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。

生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。

生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。

……

【思考】

除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。

【“认识一位小数”教学片段】

在小学阶段，学生认识小数时主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。按照螺旋上升的教材编排原则，上述内容大多分解在三、四年级分两次学完，三年级先认识一位小数。如何在三年级初步认识一位小数时就体现出“建模”的思想呢，我进行了如下教学：

课始，教师出示到超市购买的一些物品和相应的价钱：水彩笔12元、美工刀3元5角、铅笔0.4元。当“0.4元”出现后，教师提问：

师：知道“0.4元”到底是多少钱吗？

生：0.4元就是4角钱。

（板书4角=0.4元）

师：4角钱有没有1元多？

生：没有。

师：看来，和1元相比，0.4元只能算是一个“零头”了。如果我们用这样的一个长方形来表示1元（出示图1），你能把它分一分、涂一涂，将0.4元表示出来吗？

图1 图2

（学生拿出练习纸画画涂涂，把自己的想法表示出来。交流时，寻找共性特点：平均分成10份，涂出其中的4份）

师：为什么这样就将“0.4元”表示出来了呢？

生：因为1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。

师：看着大家画出的图示，让我想起以前咱们学什么时，也是这样子平均分一分、涂一涂？

生：分数！

师：那0.4元如果用分数表示，如何表示呢？

生：十分之四元。

师：数学真是有趣，原来0.4元也就是我们熟悉的十分之四元。

（出示图2）

师：老师购买了一块橡皮，它的价钱是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少钱？

生：0.8元就是8角

师：又是一个不足1元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示1元，那0.8元又该怎么表示呢？

学生模仿者刚才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”（见右图）。接着，老师给学生提供一个空白的平均分成10份的长方形，任意涂出其中一部分，表示出一个小数和相应的分数。几个学生自由展示后，组织梳理，从0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……

师：接下来我们再来看看笔记本的价格，我给你一个图示（见下图），你知道它的价钱了吗？

生：笔记本的价格是1.2

师：刚才的小数都是“零点几”，现在怎么变成“一点几”了？

生：现在有两个长方形了，第一个涂满了颜色，表示整1元。第二个平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角钱，0.2元，合起来就是1.2元了。

师：我买的钢笔的价钱是8.6元，如果让你画一幅图来表示它的价钱，你准备怎样画呢？

生：我准备先画9个大小一样的长方形，然后把前面8个涂满颜色，第9个长方形平均分成10份，涂出其中的6份。

……

【思考】

上述教学过程抓住了知识间的联系（小数和十进分数的关系）而展开，但又不是停留在教师直接的讲解和“告诉”，而是让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”（长方形等分、涂色）。这种形象的“直观模型”既搭起了小数和分数之间的桥梁，也具有强大的“扩展”功能，对后面学习两位小数、三位小数（同样的长方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小数的意义”具有统摄作用。

 【“简单的分数加减法”教学片断】

师：咱们今天要研究的都是同分母的分数加减法。你们会计算这样的同分母分数加法吗？接下来咱们再来一组抢答题：看谁算得又对又快！

课件逐个呈现：

1/△+3/△ ○/5+□/5 ○/△+□/△

（直至 ，学生都能够很快地说出答案，而且情绪非常高涨。）

师：数据这么大，也能算得又对又快，你们一定有自己的“绝招”。

生：分母不动，分子相加作分子就行了！

师：继续抢答：1/△+3/△

生：4/△。

师：你们还会吗？

生：○/5+□/5=（○+□）/5

生：○/△+□/△=（○+□）/△

师：其实这不就是用符号把大家刚才发明的“绝招”给表示出来了吗？

○/△+□/△=（○+□）/△

师：看着大家发明的这个绝招，老师真的很佩服大家。可是我还有个疑问：为什么“分母就不要变，分子却必须相加”呢？有同学已经明白了，更多的同学还在思考。咱们带着这个问题再看一组练习，边练边想。第一题：。

生： 。

师：能说说你是怎么想的吗？

学生阐述，课件同时呈现：2个 加上3个 等于5个 。

师：第二题： 。

生： 。

课件同时呈现：2个（ ）加上3个（ ）等于5个（ ），学生填空。

师：几个 加上几个 还表示几个 ，所以分母还是9呀！

师：第三题：

课件呈现：2个（ ）加上3个（ ）等于5个（ ），学生填空。

生：是2个加上3个所以等于5个，分子必须得加起来。

师：这些分数加法其实都是在计算2个几分之一加上3个几分之一等于5个几分之一。学习就得学会联系，如果我们联系过去学过的整数加法来想20+30=50，不也是在计算2个加3个吗？

课件呈现：2个（10）加上3个（10）等于5个（10），学生填空。

师：2+3=5，不就是2个1加上3个1等于5个1吗？

课件呈现：2个（1）加上3个（1）等于5个（1），学生填空。

师：由此可见咱们的分数加法和整数加法，其实都是在计算几个加上几个等于几个，只是咱们过去学的加法是几个一加几个一，几个十加几个十，而今天学的是几个几分之一加几个几分之一罢了。

【思考】

归纳同分母分数加法的共同特点，诱导学生用数据较大的同分母分数加法题进行快速抢答，其间由分母而至分数渐次抽象，用符号表达数量关系，演绎同分母分数加法的算法模型，促使学生生成和体悟“分母不变，分子相加”的算法“绝招”。这里的计算法则其实就可以看作是一种算法模型，借助符号化的方法将模型进行抽象的建构。数学家欧拉解决“七桥问题”，“七桥问题”是“一笔画”的现实原型，“一笔画”则是“七桥问题”的符号化呈现。悟出算法后，教学并不能满足于“知其然”，继续带领学生由算法而探究算理，追究其中的“所以然”。把分数单位与整数中的“一”、“十”的计数单位建立起有机的联系，让学生悟出同分母加法的法则，实质上就像“几个十”加“几个十”，“几个一”加“几个一”一样，也是“几个几分之一”加“几个几分之一”，从而一步步地跃升思考的跨度。算法作为一种方法型数学模型不能仅仅满足于形式化地将它揭示出来，更要知晓其背后的原理，这也许就是大家常说的算法与算理的统一吧。

【“鸡兔同笼问题”教学片断】

师：日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？

生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。

师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？

（鸭猫问题、猪鹅问题……）

师：看来鸡兔同笼问题中的鸡不仅仅代表鸡，兔也不仅仅是指兔！这儿还有一首民谣，我们一起来读一读：

（课件出示： 一队猎人一队狗，两队并成一队走。

数头一共是十二，数脚一共四十二。 ）

师：读了这则民谣，你有没有什么话想说?

生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。

（课件出示：猎人————鸡 两条腿 狗————兔 四条腿 ）

师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。

（学生练习，老师巡视指导）

师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和狗，仍然是鸡兔同笼问题，“鸡”“兔”同笼其实只是这类问题的一个模型！

师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？

（学生感觉有些困惑。）

师：接下来咱们再做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。老师这儿有一个信封，这信封里放了7张纸币，有5元的和2元的，共29元，你们能猜出信封里放了几张2元纸币，几张5元纸币吗？

生：假设全是2元的就是14元，而现在有29元，还多15元，我们就把2元的换成5元的，每换一张就多3元，这样就要换5张5元的，还剩2张2元的。

师：是这个意思吗？

（课件动态演示：换纸币的过程）

师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？

生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2元纸币就相当于鸡有两只脚，而5元纸币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！

师：（故作神秘状）是这个意思？

（课件动态演示：将二元纸币换成鸡，将五元纸币换成五只脚的“怪兔”）

（大家一看“怪兔”的模样，都乐了）

师：看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔，又进一步逼近了问题的本质！

【思考】

通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质----数量之间的结构关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的“数学形式”及其解题策略体系，初步建构关于鸡兔同笼问题的数学模型。“猜一猜”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的策略把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象、提炼。指导学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。鸡兔同笼可以看作是这一类问题的结构型模型，模型只有与变式相伴才显活力和魅力，也才能彰显其意义。

 【“认识方程”教学片断】

师：老师带来一个谜语，请同学们猜猜看。

课件呈现：一个瘦高个，肩上挑副担，如果担不平，头偏心不甘。

生：天平。

课件呈现：

天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（两端都有物品）。

生：指针指在刻度的中间，天平是平衡的。

师：天平平衡又说明什么？

生：说明天平两边的物品质量相等。

师：相等用什么数学符号表示？

生：用等于号。

师：小明在天平的两边放上砝码，你能用式子表示左右两边的质量关系吗？（天平的左边放两个50克的砝码，右边放一个100克的砝码。）

（50＋50＝100，50×2＝100）

师：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。

师：如果从天平的左边拿走一个砝码，这时候还能用等式表示两边的质量关系吗？

生：天平不平衡，不能用等式表示，可以表示为50＜100，或者100＞50。

师：为了让天平达到平衡，小宇准备在天平的左边放这样一个物体，这个物体的质量不知道怎么办呢？ （出示一个物体）

生：咱们就用x来表示。

师：以前学的用字母表示数，这里就能应用了！这里的x代表的数咱们事先不知道，这样的数我们就把它叫做未知数。

师：如果把这个物体放下来，猜一猜，天平两边物体的质量关系又会是怎样的呢？把你的猜测用式子表示出来。

（X +50＜100，X +50＞100，X +50＝100）

师：请看大屏幕，现在你也能用式子表示天平两边物体的质量关系吗？

（左边放两个一样的砝码，右边放一个200克的砝码天平平衡。）

生：2X＝200。

（学生交流的过程中，老师在黑板上呈现相应的算式：

50＋50=100、50×2=100、50﹤100、100﹥50

X+50＞100、X+50＜100、X+50＝100、2X＝200 ）

师：你能将这些式子分分类吗？

（学生活动，汇报交流。）

师：实际上就是这样的四类：①没有未知数也不是等式；②有未知数但不是等式；③没有未知数但是等式；④含有未知数而且是等式。像50＜100、100＞50 和50+50=100、50×2=100这两类式子大家都比较熟悉，而X +50>100、X+50﹤100这类式子比较复杂，我们到中学会更深入地了解它。像X+50=100、2X=200这样含有未知数的等式就是我们今天要重点研究的方程。

【思考】

在这个片断的教学中我借助天平帮助学生体悟等式和方程的含义，为抽象的方程找到了直观的生活原型：天平。天平两边平衡，表示两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量不相等，让学生在天平平衡的已有经验中体悟等式的含义，既突出了教学的重点，又克服了学生已有的“算术思想”对方程概念的建立所带来的干扰。引导学生将旧知进行迁移和提升，很自然地解决了“代数思想”的第一个关键问题——用字母代替不知道的量（未知数），帮助学生积累了鲜活的方程的表象。方程其实就是一种模型，是一种概念型数学模型，很多这样的模型都是基于现实的生活情境作出适度抽象后的产物，在小学许多数学教学内容本身就是一种模型：分数是平均分派物品的数学模型；小数的生活原型就可以看作是元、角、分；自然数是表述有限集合“数数”过程的数学模型；400人的工厂里一定有两个人同一天过生日，其数学模型就叫抽屉原理。

 

 

从上述的例子中可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。