“数与代数”知识梳理与交流

沙流河镇张庄子小学   赵雪娥

在过去一段时间里，老师们对于课标的学习是孤立的，缺乏对教材的整体把握，为了更好的实现读课标、读教材、读教参，结合我校实际，在通读课标、教材、教参之后，针对数与代数领域知识内容进行了专项梳理，按照教研室名师工作室要求，在王艳慧名师工作室老师的指导下，带领我校教师对于这一领域的内容把握进行了交流、研讨：

“数与代数”是义务阶段最基本的课程内容之一，掌握“数与代数”的基础知识与基本技能，建立良好的数感，形成初步的代数思想，是进一步学习其他数学知识的重要前提。小学阶段是从数的认识和数的运算开始的，“数与代数”的内容贯穿小学阶段的始终。“数与代数”的主线是：从数及数的运算到代数及其运算，再到方程和解方程，函数……。在数的认识中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；体会两个抽象：表示方法的抽象和运算的逐步抽象。《课标》在第一、第二学段，较为系统地设计了“数与代数”的内容，包括数的认识、数的运算、常见的量、式与方程以及正比例和反比例的内容。

下面对小学阶段的“数与代数”内容进行分析：

数的认识和运算包括：整数、小数和分数的认识和运算。

一、            整数的认识和运算

整数的认识和运算是小学数学课程的核心内容之一，理解和掌握有关整数概念的内容与运算，是学生数学知识与技能发展 需要，也是进一步学习小数、分数概念与计算的必要准备。通过对这部分内容的学习，学生要能正确理解数的意义与运算，而这也是学生数感逐步建立起来的标志。

（一）整数的认识

“整数的认识”主要集中在第一学段（1-3年级），第二学段（4-6年级）主要包括以下几个方面：

第一：理解数的意义，能认数、读数、写数；

第二：会表示数的大小比较；

第三：理解数的表示，了解十进制计数法；

第四：在生活或现实情境中感受大数的意义，了解数在日常生活中的作用。

在第一学段，“万以内数的认识”是“整数的认识”的主要内容。学生要理解上的意义和数的表示，认识数位和数位上的值。在实际教学中，一般将“万以内数的认识”分为几个阶段：“20以内数的认识”----“百以内数的认识”----“万以内数的认识”等。

在“整数的认识”内容中理解数的意义和数的表示是核心内容，在此基础上了解数的大小、感受大数，为以后学习数的运算奠定基础。

（二）、整数的运算

     运算是数学的重要内容，不仅是“数与代数”的重要内容，也是学习其他内容的基础，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，成为不可或缺的内容。运算对实现课程目标发挥着重要的作用，如：获得四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力都与计算学习有关。

     学习整数运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质。比如：学习加法时，要使学生理解加一个正数比原来的数大的道理；减法是加法的逆运算，减一个正数就比原来的数小；乘法是加法的简便运算，是求相同加数的和，这是乘法的本质特征；除法是乘法的逆运算等。

对于运算的难度和熟练程度，《课标》针对不同的内容提出了明确的要求。淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到结果，比运算的熟练程度更重要。重视学生是否理解算理，是否能准确地得出计算结果，而不是单纯地看运算的速度。如：加、减法提高准确度，可以让学生选择自己喜欢的方法：

一、两位数进位加法的加数变整十法

例：46+27=46+30-3=73

二、 两位数退位减法的减数变整十法

例：73-38=73-40+2=35

三、两位数退位减法的减数个位变同法

例：73-38=73-33-5=35：

四、两位数进位加法的加数个位凑十法

例：46+27=46+24+3=73

在计算过程中，为了避免学生加法忘记进位、减法忘记退位可以采用如下方法：方法 1. 两位数加两位数的进位加法： 口诀：加9要减1，加8要减2，加7要减3，加6要减4，加5要减5，加4要减6，加3要减7，加2要减8，加1要减9（注：口决中的加几都是说个位上的数）。 例：26+38=64 解 :加8要减2，谁减2？26上的6减2。38里十位上的3要进4。（注：后一个两位数上的十位怎么进位，是1我进2，是2我进3，是3我进4，依次类推。那朝什么地方进位呢，进在第一个两位数上十位上。如本次是3我进4，就是第一个两位数里的2+4=6。）这里的26+38=64就是6-2=4写在个位上，是3进4加2就等于6写在十位上。再如42+29=71。就用加9要减1这句口决，2-1=1，把1写在个位上，是2我进3，4+3=7，把7写在十位上即得71。

两位数加两位数不进位加的就直接写得数就行，如25+34=59，个位加个位写在等号后的个位上5+4=9，十位加十位写在十位上即可2+3=5，即59。不必列竖式计算。

方法2.两位数减两位数的退位减法。口诀：减9要加1，减8要加2，减7要加3，减 6要加4，减 5要加5，减4要加6，减 3要加7，减 2要加8，减 1要加9。（注：口决中的减几都是说减个位上的数）。例：73-46=27，解：减6要加4，谁加4？3加4等于7写在个位上，减数的十位是4我退5，谁退5？7退5，即27。（注：如何退位？减数的十位是1你退2，是2你退3，是3你退4，依次类推，但必须是个位减个位不够减的情况才能这样退，够减就直接个位减个位，十位减十位直接定出得数即可。）

整数乘法分的计算比加减法要显复杂，这是因为乘法的计算要将数字分成好几个部分,这种分配性在乘法计算中是非常重要的，如：25×6，有的学生会把25分成20和5分别与6相乘，再加起来得到答案，学生在学乘法时要发展这样的概念，才能把乘法学好，同时这也是后面乘法分配律的基本。

二、            小数的认识和运算

（一）小数的认识

小数的学习分为两个学段，第一学段是小数的初步认识，第二学段是小数的再认识----小数的意义。两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也有所区别。

第一学段小数的初步认识主要从实际情境中具体地了解小数，重在对现实情境的选择和运用。

第二学段小数的意义的学习是借助学生的生活经验和已有知识，探究、理解一位小数的意义，并通过类推，掌握两位小数和三位小数的意义。

（二）小数的运算

《课标》要求：第一学段：会进行一位小数的加减运算；第二学段：能分别进行简单的小数加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。运算的难易程度与参与运算的数的单位有关，在整数运算中，整数各数位上的数都是十进制关系，处理好对应数位上的数就可以正确计算，尽管小数也是十进制，但因为有一个小数点的处理，所以小数的运算比整数运算要复杂。

三、            分数的认识与运算

（一）分数的认识

分数的意义是多层的，可以从两个基本维度和四个具体方面进行理解。两个维度一个是比，一个是数；四个具体方面是比率、度量、运作、商。

第一、“比率”是部分与整体的关系和部分与部分的关系。如：把一个圆平均分成三份，每一份是整体的1/3，这是部分与整体的关系；小红有5个苹果，小丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的5/3倍，这是部分与部分的关系，1、约分等相关知识。

第二、“度量”将分数理解为分数单位的累积。如：3/4里有3个1/4，就是用分数1/4作为单位度量3次的结果。

第三、“运作”主要是把对分数的认识转化为运算的过程。如：6张纸的2/3是多少张纸？学生理解为将整体6张纸平均分成3份，取其中的2份，可以列式为：6÷3×2，也就是6×2/3.

第四：“商”主要指分数转化为除法之后的运算结果。

（二）分数的运算

《课标》要求：第一学段：会进行同分母分数的加减运算。第二学段：能进行简单的分数加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。

   分数乘法分为三个层次：分数乘整数、分数乘分数和学习混合运算。使学生理解整数相乘运算定律与运算顺序对分数运算同样适用，并会运用乘法运算定律进行分数的简便运算。分数乘法计算方法比较简单，算法也比较直观，但要说明算理并不容易，所谓说明就是要说明分数相乘为什么以分子、分母分别相乘的结果作为积的分子和分母等。

   分数除法是学生学习的一个难点内容，之所以难不是学生记不住法则，不会按法则算，而是算理理解起来比较困难。这是因为：分数除法实现了除法向乘法的转化。由于分数除法运算需要颠倒相乘，使除法不再是一种独立的运算。学生很难理解为什么要颠倒相乘。所以分数的编排顺序是：认识倒数，然后掌握分数除法的计算，内容由易到难，由简单到复杂，逐步提升。

四、            式与方程、正反比例的认识

小学阶段“代数初步”的内容包括式与方程和正、反比例，而式与方程中又包括字母表示数和方程两部分。从数到代数是数学表征的又一次飞跃，数对于它所代表的具体来事物说是抽象的，而用字母表示数是又一次抽象。在第一学段教学中应从具体的情境中使学生感知字母表示数的含义，并了解这种表示方法的作用；进而，初步体验符号在数学表示中的作用，初步建立符号意识。第二学段开始正式引入字母表示数和简易方程，这是学生数学学习的又一次抽象。《课标》对“代数初步”这方面的要求如下：

第一、在具体情境中能用字母表示数；

第二、结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示；

第三、能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用；

第四、了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

     （一）从字母表示的“数”这个对象来看，字母是数的化身，但从本质上看，字母又不同于数。字母符号含有丰富的语言性质：它可以是已知数，也可以是未知数，也可以是变化的数；可以表示具体意义的数，也可以是一般意义的数。

（二） 方程是含有未知数的等式。学习方程不仅是知道这个定义，更要会用方程解决问题，并且学会运用代数的方法思考问题，培养学生代数思维能力。方程思想有很丰富的含义，其核心体现在：建模思想、转化思想。

（三）正比例、反比例

正比例和反比例是一类常用的数量关系，这部分是函数思想在小学的体现，《课标》要求如下：

第一、在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。

第二、通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。

第三、会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。

第四、能找出生活找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。

正反比例的关系本质上是函数的关系，从教材中可以看出小学阶段并不出现函数的概念，而是让学生具体感知两个量之间的关系，如：总价与数量、圆柱的底面积与高。学生在应用正比例、反比例解决问题的过程中往往存在着两个问题：一是体会不到运用正比例、反比例解决问题的优越性，认为还不如用算术方法简单；二是不会分辨是正比例还是反比例，在解题过程中生搬硬套，导致解题错误。教学中可以注意以下方面：一、帮助学生理解变化的量及变量之间的关系；二、加强正比例、反比例解决问题中对“变”的关注；三、运用图像理解正比例、反比例；四、在教学中渗透函数思想。

五、            常见的量与探索规律

（一）常见的量

《课标》中“常见的量”包括如下内容：

1、在现实情境中，认识元、角、分，并了解他们之间的关系；

2、能认识钟表，了解24时计时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短；

3、认识年、月、日，了解它们之间的关系。

4、在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算；

5、能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。

（二）探索规律

两个学段的“探索规律”的内容与要求是有差异的。第一学段是“发现给的事物中隐含的简单规律”；第二学段“探索规律”的要求比第一学段高，要求“探索给定事物中隐含的规律或变化趋势”。在大量同类现象背后隐藏着共同的规律，“找规律”重在“找”，找的过程是“找规律”的教学着力点。在教学中可以关注以下两个方面：

1、在观察中找方法，体验规律的形成；

2、学生是探索规律的主体。

      以上是整个小学阶段数与代数知识领域的梳理，为什么要进行梳理，目的在于使教师把握整个学段教学间的联系，明确学段教学的侧重点，适时开展有针对性的数学思维能力训练，改变传统教学模式，扭转侧重机械记忆、重复训练；忽视数学思维能力的训练局面。