在数学领域中，尤其是对动态系统的研究中，庞加莱映射，或第一次回归映射是连续动力系统的状态空间中的周期轨道与确定的低维子空间的横向交点，其中的低维子空间被称作庞加莱截面。更精确的说，对于具有初值位于庞加莱截面上的周期轨道，轨道第一次回到庞加莱截面上的交点就定义了初值的庞加莱映射，这就是第一次回归映射的由来。

任何粒子在经历一个漫长的时间之后必然能回到其无限接近其初始位置的位置（但是不能回到原来位置，只能无限接近），尽管这个时间的长度远远超出我们所能想象，但是它必然会实现，这样一个周期就称为一个庞加莱回归。

自然界的微观粒子无时不刻在进行着随机运动，并在运动中消耗能量。根据热力学第二定律，封闭系统的熵恒增加。克劳修斯认为任何系统都是由有序向无序发展，粒子的运动也将趋于复杂。更可怕的是，随着时光之箭的飞逝，宇宙将会走向热寂。依照惯例，客观真理都是肯定的表述，热力学第二定律因其个性让科学家们感到不舒服，并被称为科学史上最令人绝望痛苦的公设。

在麦克斯韦之后更有科学家对热力学第二定律本身产生质疑，但是却苦于找不出熵恒增（熵恒增定律）的破绽。1895年，庞加莱历史性地证明了庞加莱回归。

热力学第二定律的诞生轰动一时，熵的提出改变了人们的宇宙观。在这之前，人们普遍认为能是自然界的决定性因素，任何其他因素都不能违背。但是现在有了一个强有力的挑战者——熵，这一度引发了“能熵孰执牛耳”的论战，由于熵增加的不可逆转性，革命派科学家们更倾向于后者。然而正当他们为热力学第一定律让位欢呼雀跃时，庞加莱回归的提出无疑给了这些人当头一棒。

庞加莱回归帮助热力学第一定律复辟，热力学第二定律在亚原子世界没有立足之地，热力学第二定律只适用于宏观领域。只有热力学第一定律（能量守恒定律）才是在宏观和微观领域普遍有效的自然界的基本规律。

庞加莱是全能的数学家，在数论、代数、几何和数学分析四个数学领域的研究成果都是第一流的，成功地解决了太阳、地球、月亮间相互运动的三体问题；他是现代物理的两大支柱——相对论和量子力学的思想先驱，他研究科学哲学提出的“约定论”着重分析了人类理性认识的基本法则，日益受到当代科学家的重视。庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的建立有一定的贡献。他从1899年开始研究电子理论，最先认识到洛伦兹变换构成群。

庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。

罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是庞加莱。“当我最近在盖吕萨街庞加莱通风的休息处拜访他时，我的舌头一下子失去了功能，直到我用了一些时间(可能有两、三分钟)仔细端详和承受了可谓他思想的外部形式的年轻面貌时，我才发现自己能够开始说话了。”

这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、预示了柯西的一个后继者的到来。这是英国数学家西尔维斯特于1885年见到庞加莱的心情写照。

法国数学家阿达马认为，庞加莱“整个地改变了数学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”

庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理学等的许多重要领域。