在数学哲学和逻辑中，直觉主义（直观主义），或者新直觉主义，是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。

       任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和古典的方法不同，因为根据古典方法，一个实体的存在可以通过否定它的不存在来证明。对直觉主义者来说，这是不正确的：不存在的否定不表示可能找到存在的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种，但它不是唯一的一类。

       直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来。如果数学对象纯粹是精神上的构造，还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢（如同直觉主义者会争论的一样）？这意味着直觉主义者对一个数学命题的含义，可能与古典的数学家有不同理解。例如，说A或B，对于一个直觉主义者，是宣称A或是 B可以被“证明”，而非两者之一“为真”。值得一提的是，只允许A或非A的排中律，在直觉主义逻辑中是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题 A或它的否定命题。

       直觉主义也拒绝承认实无穷的抽象概念，也就是说，它不把像所有自然数的集合或任意有理数的序列这样的无穷当作实体来考虑。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分析。

       在数学哲学中，结构主义（构造主义）认为要证明一个数学对象存在就必须把它构造出来。如果假设一个对象不存在并从该假设推导出一个矛盾，对于结构主义者来说不足以证明该对象存在。

       结构主义常常和直觉主义混淆，实际上，直觉主义只是结构主义的一种。直觉主义强调数学的基础建立在数学家们个人的直觉上，这样就把数学在本质上作为一种主观活动。结构主义不这样强调，并和对数学的客观看法保持一致。

       构造主义者的数学使用构造性逻辑，该逻辑将真实性和证明等同起来。要构造性的证明，我们必须证明或，或两者同时成立。

       构造主义同时拒绝采用无穷对象，例如无穷集合和序列。

       在经典实分析中，实数构造的方法之一是把它作为有理数的柯西列对。这个构造在构造主义数学中不成立，因为序列是无穷的。

       作为替换，把实数表示为一个算法，它取一个正整数然后输出一对有理数。

       这个定义和采用柯西列的经典定义相关，除了要求序列是构造式的，也就是说，有个计算第个序列中的元素的算法，所以有一个计算任意精确的对的有理数近似的算法。

       注意构造性要求使得上述定义和通常非构造主义的实数定义不相容:因为每个算法必须是一个有限指令集上的有限序列，存在一个双射函数。所以所有算法的集合和所有自然数的集合有同样的基数。当使用一个非构造式的定义时，康托对角线论证证明实数比自然数有更高的基数。

       传统上，数学家对于数学构造主义曾经持怀疑态度，如果不是完全反对的话，很大程度上这是因为它对构造分析的限制．

      这些观点希尔伯特在1928年曾有强烈表示．他在《数学基础》中写道：“把排中律从数学家那里拿走，就像把望远镜从天文学家那里拿走，或是从拳击手那里把拳头拿走一样”（排中律在构造性逻辑中不成立）。

       Errett Bishop，在他1967年的著作《构造性分析学基础》，作了很多驱散这种恐怖，他的办法是用构造性的框架中发展出传统的分析学的大部分。

       但是，不是所有数学家都认为Bishop非常成功，因为他的书必须比经典分析教科书更复杂。

       无论如何，多数数学家不认为应该把自己限制到构造主义方式，甚至当可以这样做时。

       结构主义常常和直觉主义混淆，实际上，直觉主义只是结构主义的一种。 直觉主义强调数学的基础建立在数学家们个人的直觉上，这样就把数学在本质上作为一种主观活动。 结构主义不这样强调，并和对数学的客观看法保持一致。

       逻辑主义是数学哲学中的一门学派，其理论推测数学是逻辑的延伸，甚至认为一切的数学皆可视为逻辑的原型。

       创始者为弗雷格，罗素和怀海德在理论提出后拥戴此论。弗雷格在罗素提出罗素悖论后放弃了产生矛盾的朴素集合论。罗素和怀海德将此有关概念著于《数学原理》一书。哥德尔不完全定理有时被声称妨碍了此计划的目的，它亦为二十世纪分析哲学的重要指标。

       在数学基础中，形式主义与几种最精确的数学方法有关。普遍来说，形式主义就是在特定的、局限的范围中，纳入形式制度的努力；所有纳入形式制度中的问题，或在一些“可形式化”的范围中，都可以形式化地讨论。完全角式化，则多数在计算机科学的范畴中找到。

       形式主义也是数学哲学中一个特定的流派，着重通过希尔伯特的理论证明数学逻辑。所以在数学哲学的范畴中，一个形式主义者，就是指传自希尔伯特的数学哲学——形式主义流派当中的一员。

       20世纪60年代，在数学基础的研究中又出现了经验主义。经验主义者认为，大半个世纪的数学基础研究表明，企图沿着形式化道路，借助证明论的方法，在形式系统内部解决数学的真理性问题是不可能的，数学基础的问题应该回到经验中去解决。