管理会计学【049】不完全线性关系下本量利分析

 

农业银行沈阳辽中支行   周桐   学习笔记

 

 

当本量利分析中的诸因素表现为完全线性关系时，本量利分析本身，不论是确定盈亏点还是目标利润，都非难事。比如在图示法中，完全线性关系下的收入线和总成本线均为直线，两条直线的交点就是盈亏临界点，亏损区域与盈利区域由此分开，至多再以公式法予以验证。但是，如果上述因素表现为不完全的线性关系，情况就复杂了，收入线和总成本线就表现为一条折线，两条折线的交点（即盈亏临界点）可能不止一个，而且图中的数值就会变得更加模糊；亏损区域与盈利区域可能不止一个，区域界限也会变得模糊。

【例】设某企业为生产和销售单一产品的企业，产销可以做到基本平衡。假定通过对有关数据的收集、整理分析和预测，所提供的可用于本量利分析的产量、收入、变动成本和固定成本等有关数据如下表：

生产能力利用率（%）	产量（件）	单价（元）	销售收入（元）	单位变动成本 （元）	变动成本总额（元）	固定成本（元）	总成本（元）
0	0	0	0	0	0	20 000	20 000
10	20	700	14 000	500	10 000	20 000	30 000
20	40	700	28 000	500	20 000	20 000	40 000
30	60	700	42 000	500	30 000	20 000	50 000
40	80	700	56 000	430	34 400	20 000	54 400
50-	100	700	70 000	410	41 000	20 000	61 000
50+	100	700	70 000	410	41 000	40 000	81 000
60	120	700	84 000	390	46 800	40 000	86 800
70	140	700	98 000	380	53 200	40 000	93 200
80	160	700	112 000	360	57 600	40 000	97 600
90	180	700	126 000	360	64 800	40 000	104 800
100	200	650	130 000	350	70 000	40 000	110 000
110	220	650	143 000	430	94 600	40 000	134 600

 

显然，上述诸因素并非完全线性关系，简单地描述产量与收入、成本之间的关系是不可能的。如果以X轴表示生产能力的利用率（表示产量也一样），以Y轴表示收入和成本，将表中数据标入直角坐标系中，可以近似地描述本量利关系。

可以看出，固定成本线、变动成本线、收入线以及固定成本线和变动成本线所决定的决成本线都是折线，而且不宜近似地看成直线，它们具有如下特征。

就固定成本来说，当企业的生产能力的利用率达到50%时，其数额从原来的20 000地铁跳跃式地增加到了40 000元。

就变动成本线而言，它在生产能力利用率分别达到30%和100%时发生了较大的黑白。单位变动成本变化通常有这样一个规律：产量很低时，由于难以获取采购和生产环节的批量效益，所以单位变动成本较高；随着产量逐步提高，批量效益开始呈现并不断提高，音准变动成本也逐渐降低；而且产量超出合理界限后，各种不经济的因素开始出现，单位变动成本会上升，而且上升的幅度可能还比较大。

收入线在企业生产能力利用率达到90%以前是一条直线，即单位销售价格可以一直保持在700元。在达到90%以后，收入线发生了转折。通常，在不考虑产品质量、性能发生变化的情况下，扩大销量有两个途径可以选择：降低价格或增加广告支出。本例中收入线的转折可能就是降价所致致。

可以通过划分小分析范围的方式，将原本在整个业务量范围内表现为不完全线性关系的收入与业务量、成本与业务量之间的关系，描述为完全的线性关系，并建立一个相应的、线性的本量利分析模型，进而运用相关方法进行盈亏临界点和实现目标利润分析。不完全线性关系下的本量利分析就是将一个复杂的问题分解若干个较为简单的问题，关用简单的方法进行本量利分析。

1.生产能力利用率在30%以下的区间

该区间的收入、成本与业务量之间呈现完全线性关系。其中，SP=700元，VC=500元/件，FC=20 000元，则该区间的本量利分析模型为：

P=（SP-VC）.V-FC=200V-20 000

由于该区间V的值最大为60件而小于100件，所以该区间为亏损区。

2.生产能力利用率在30%~50%的区间

该区间的SP仍为700元，收入与业务量之间呈完全线性关系，而成本与业务量之间已不再是完全线性关系，成本线只是近似地描述为一条直线。用分解成本的高低点法来确定VC与FC，即有：

VC=（61 000-50 000）/（100-60）=275元/件

FC=50 000-60×275=33 500元

或FC=61 000-100×275=33 500元

则该区间的本量利分析模型为：

P=（SP-VC）.V-FC=（700-275）V-33 500=425V-33 500

令P＝０，则盈亏临界点的产销量为：

V＝33 500/425=79件

也就是说，当企业生产利用率接近40%（对应的产量是80件）时，会第一次出现不盈不亏状态。

3.生产能力利用率在50%~90%的区间

该区间的SP值为700元，收入线仍为直线，而固定成本上升了20 000元（为40 000元），成本与业务量之间也不是完全线性关系，但可以近似地认为是一种完全线性关系，以高低点法确定VC和FC。

VC=（104 800-81 000）/（180-80）=297.50元/件

FC=104 800-180×297.50=51 250元

该区间的本量利分析模型为：

P=（SP-VC）V-FC=（700-297.50）V-51 250=402.50V-51 250

令P=0，则盈亏临界点的产销量为：

V=51 250/402.50=127件

这就是说，当生产能力利用率略高于60%（对应的产量是120件）时，企业会第二次出现不盈不亏状态，而当生产能力为90%时，企业预计可实现利润21 200元（180×402.50-51 250）。

4.生产能力利有率在90%~100%的区间

由于收入线在生产能力利用率达到90%时发生转折，该区间收入线的延长线不再通过坐标原点，所以也要采用高低点法确定收入线的线性方程。

设收入线TR=a+bV

b=(130 000-126 000)/(200-180)=200

a=130 000-200×200=90 000

即有：TR=90 000+200V

该区间的VC和FC值分别为：

VC＝（110 000-104 800）/（200-180）=260元/件

FC=110 000-200×260=58 000元

 则该区间的本量利分析模型为：

P＝TR－V.VC－FC＝90 000+200V-260V-58 000=32 000-60V

由于V最大值为200件，所以该区间无盈亏临界点，即全部为盈利区。假定V=190件（即 生产能力利用率为95%），则预计可实现利润为：

P=32 000-60×190=20 600元

5.生产能力利用率在100%以上的区间

如设生产量在200件以上（即生产能力利用率在100%以上）时，销售价格可维持在650元，则该区间收入线的线性方程为TR=650V。

分别取生产能力利用率为100%和110%的总成本数 ，以确定VC和FC，即有：

VC=（134 600-110 000）/（220-200）=1 230元/件

FC=136 000-220×1 230=-136 000元

该区间的本量利分析模型为：

P=TR-V.VC-FC=650V-1 230V-（-136 000）=-580V+136 000

上式中，V的系数为负值，表明在该区间内，由于企业各项经济资源的效率降低甚至恶化，产量的增加反而会导致利润下降或亏损增加。该区间的盈亏临界点为：

V=136 000/580=234件

这表明当企业的产销量达到234件（即生产能力利用率达到117%左右）时，将再次出现不盈不亏的状态。此时，诸如人工费、设备维修费等会大幅度增加，设备也会出现高度磨损，此时的盈亏临界点分析也就变得毫无意义。

资料来源：

孙茂竹，支晓强，戴璐.管理会计学.北京：清华大学出版社.2018（8）:70-74.