作者：@中科大胡不归

知乎上有人问：

数学的本质是什么？

如果说语言是用抽象的方式表达情感、交流思想；物理化学等是建立在可供观测的事实基础上的科学。那么数学呢？

那些一个一个的数字是怎么定义出来的呢？从最基本的加减乘除这样的运算法则开始又是怎么创造出来的呢？

目前自己的理解是从人类最早结绳计数起，渐渐发展完善起来的一套满足人类方便的工具，对客观规律的总结，然后用约定的方法表示出来，以后遇见类似的问题就可以仿着推出来。更高阶的公式定理也是对更复杂规律的表示。世间绝大部分现象和其内在规律都可以藉由数学这套体系这种工具厘清，用数学的方式展现出来。

还只是高中生，可能现在的认识很不成熟，很幼稚。但很喜欢数学的这种感觉。望高人指点讨论。另外有这方面得书籍可以推荐阅读的么？

我的回答：

高中同学思考数学本质，非常好。

从科学工作者的立场看来，数学最明显的本质，就是它是一种先验的真理体系，不是经验科学。物理、化学、生物等科学门类，正确性是由实验来判定的，公认多年的“真理”被进一步的实验证伪是经常发生的事，如牛顿力学被相对论与量子力学否定。数学却跟实验没有关系，你不可能通过数一数，看1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果，来判断1 1是否等于2。

如果你真的数出1个苹果加1个苹果等于3个苹果，人们的结论只会是你数错了，而不是1 1等于3。如果你说1个原子核加另一个原子核会合并成1个原子核，那并不是1 1等于1，而是这里发生了核反应，不同于数学意义上的加法。这是因为当我们做逻辑推理时，必须有一些在逻辑上位于经验事实之前的、可靠性确定无疑的概念和命题作为基础，数学就属于这样的基础。那为什么教儿童算术的时候，会给他们看1个苹果加1个苹果等于2个苹果、1个桔子加1个桔子等于2个桔子？回答是，那不是证明，只是演示，演示的目的是让儿童头脑中产生数的概念。当他们认识到数的概念后，很快就会理解这个概念是独立于苹果、桔子这些具体事物的，无论谈的是苹果、桔子这样实际存在的事物还是神仙、妖怪这样虚构的事物，1 1等于2都同样成立。用庄子的话，这叫做“得鱼忘筌”。这是心理学、教育学的问题，而不是数学、逻辑学的问题。

数学只认公理体系、演绎法，而经验科学的根基是归纳法。为什么会这样？罗素等人认为数学是逻辑学，希尔伯特等人认为数学是形式系统，布劳威尔等人认为数学是心灵的直觉，哥德尔不完备性定理又表明数学比大家理解得还要复杂得多。要追根究底，数学的本质仍然是个悬而未决的问题，但在实用的意义上，对大多数科学工作者和公众而言，“先验的真理体系”这个事实陈述已经足够。

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