《平面图形的周长和面积整理与复习》教学实录

教学内容：六年级下册87页《平面图形的周长和面积》。

教学目标：

1、引导学生回忆整理平面图形的周长和面积的计算公式及推导过程，并能熟练的应用公式进行计算。
    2、引导学生探索知识间的相互联系，构建知识网络，从而加深对知识的理解。

3、渗透“事物之间是相互联系”的辨证唯物主义观点，渗透“转化”的数学思想，体验数学与生活的联系。
教学重点：复习计算公式及推导过程，并能熟练的应用公式进行计算。
教学难点：探索计算公式间的内在联系，构建知识网络。
教学准备：

1、六个平面图形的纸片，关于面积计算公式推导的多媒体课件。
    2、学生课前画好知识树，准备汇报各种图形面积公式的推导过程。

教学过程：

一、揭示课题

今天，我们将一起来复习平面图形的周长和面积。（板书课题）

二、回忆整理

1、明确概念

师：首先请大家回忆一下，我们认识了哪些平面图形的周长和面积呢？

生回答：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形

师把图片贴到黑板上。

师：谁能结合黑板上的图形，说一说什么是周长，什么是面积呢？

生指着图说。

师追问：那谁能总结一下什么是周长和面积呢？

明确：围成封闭图形的一周的长度就是这个图形的周长。

物体的表面或围成的平面图形的大小，就是它的面积。

2、组内交流

师：xx同学说的很清楚。那么，这些图形的周长和面积怎么计算呢？计算公式是怎样推导出来的？课前老师已经布置大家对这部分知识进行梳理，并且完成了知识树的制作。下面就请同学们以小组为单位，交流一下自己的梳理结果，每组选出一张最好的知识树，准备在全班交流。

小组交流。

3、全班汇报

师：哪个小组愿意先来为大家展示？好，有请xx小组，其他小组的同学一定要认真倾听，准备对他们进行补充或者提出建设性的意见。

组长：同学们好！首先有我们小组来汇报。平面图形的周长和面积这部分知识分为两大版块，一块是周长，另一块是面积。下面由高博宇带领大家复习周长这一板块的知识。

高博宇：长方形的周长就是围成长方形4条边长度的总和，因为长方形对边相等，较长的边是它的长，较短的边是它的宽，所以我们可以用长乘2加上宽乘2来计算长方形的周长。用乘法分配律简化一下就是(长+宽)×2。用字母表示是C=2 (a+b)。

大家听明白了吗？那正方形的周长怎样求呢？谁知道？

生：正方形的四条边都相等，所以就可以用边长×4来求它的周长，用字母表示是C=4a。

高博宇：说得简单明了。下面就请我们组的张依婷继续汇报圆的面积公式。

张依婷：谁还记得当时我们测量圆的周长用的什么方法？

生：绕绳法和滚动法。

张依婷：不管用什么方法，我们发现圆的周长永远是它直径的3倍多一点，其实科学家们早就发现，圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们叫它圆周率。用字母Л表示。也就是说，圆的周长永远是它直径的Л倍，因此，我们得到圆的周长计算公式C=Лd 或 C=2Лr。

组长：关于周长的知识我们小组汇报完了，对这部分知识大家还有什么补充或意见吗？

预设：学生不说，老师有个问题想问问你们，你们为什么只整理了长方形、正方形和圆形的周长公式呢？剩下的这三种图形有没有周长啊？

生：我们只学了这三种图形的周长。另外的三种图形也有周长。

师：我们为什么没有总结它们的周长公式呢？

生1：除了平行四边形外，其他图形的各边数据没什么特征。

生2：其他图形的周长应用得不是特别广泛。

师：对，但是只要是封闭图形就是有周长的。看其他小组还有什么补充吗？

生：我们组给大家出一道题，画图展示：靠墙围一个长3米，宽2米的长方形篱笆，请问篱笆有多长？

其他同学回答：

生：这道题我想提醒大家虽然长方形的周长公式是C=2 (a+b)，但有时候不需要求4条边长度的和，要具体问题具体分析。

师介入：刚才这道题出的非常好，老师想借这道题接着提个问题，还是这样长的篱笆，把它在空地上围成一个圆形，你能计算出这个圆形的半径吗？

生：那就说明篱笆的长就是圆的周长，用圆的周长除以Л，再除以2，就是圆的半径。

师评价：说得有理有据，大家就要向他这样回答问题。老师出这道题是想提醒大家：这些周长公式大家既要会正着用，还要会反过来用，比如说，给出圆的周长大家还要会根据周长求出半径或直径。

师：好，请你们继续汇报。

组长：下面由我们来看面积这部分知识，我先给大家说说长方形面积的计算公式：长方形的面积=长×宽，用字母表示是 S=ab，

当时我们是用数方格的方法推导出长方形的面积的。请看，我这里有一个长10厘米、宽8厘米的长方形，它的长是10厘米，一排就能画10个1平方厘米的小方格，宽8厘米，就能画8排，10×8=80，所以一共摆了80个小方块，面积就是80平方厘米。所以长方形的面积=长×宽。

师：其实，长方形的面积是多大，关键是看它含有多少个面积单位。长方形的长是几，一排就能摆几个面积单位，宽是几，就能摆几排，长乘宽实际上就是一排面积单位的数量乘排数，就是面积单位的总个数，所以就是长方形的面积。

组长陶：长方形的面积公式推出来了，正方形的面积怎么算？你是怎么知道的？

生：正方形是长和宽相等的特殊的长方形，所以正方形的面积公式就是：正方形的面积=边长×边长，即S=a²。

组长：好。那接下来由我们组的胡家林同学继续汇报。

胡：我们是用割补法把平行四边形转化成长方形推出了平行四边形的面积公式。我做了一个课件来演示推导的过程。从平行四边形的顶点向对边做一条高，沿高剪开，剪下一个三角形，平移到右边可以拼成长方形，长方形的面积就是原来平行四边形的面积，长方形的长就是平行四边形的底、长方形的宽就是平行四边形的高，因长方形面积ᆖ长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高，即S=ah。

生：接着我来给大家讲讲三角形的面积。用两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形，这个平行四边形的面积是一个三角形面积的2倍，拼成后的平行四边形的底就是三角形的底，拼成后的平行四边形的高就是三角形的高，要求一个三角形的面积，就用拼成后平行四边形的面积除以2，即S=ah÷2。

生：三角形的面积公式推导出来了，梯形面积公式的推导过程和三角形的差不多，我准备了两个完全一样的梯形，你能借助这两个梯形说说梯形面积公式的推导过程吗？

生汇报。

胡：关于平行四边形、三角形、梯形的面积公式我就汇报完了，大家有什么意见或补充吗？

预设生：我想提醒大家只有完全一样的两个三角形或者梯形才能拼成平行四边形。

师提问：两个等底等高的三角形可以拼成一个平行四边形吗？

生回答。

师：老师这里有一组图形，请大家快速的列式求它们的面积。

出示梯形，生列式求面积。把梯形上底变小，逐渐变为三角形，生列式。

师：请你们仔细观察这些图形和算式，你能发现什么吗？

生：其实三角形也可以看成上底为0的梯形。

师：那根据梯形的面积公式你能验证一下三角形面积公式的准确性吗？

生：梯形的上底下底之和就变成了三角形的底，梯形的上底加下底之和乘高除以2就变成了底乘高除以2.

师：真聪明！那大家再看一组图形，你有新的发现吗？

（出示梯形的上底逐渐变大，变成平行四边形。

生：平行四边形也可以看成上底和下底相等的梯形，这样上底加上下底的和就变成了平行四边形的两个底再乘高除以2，简化一下就是底乘高。

师：你们的逻辑思维能力太强了！我们根据平行四边形的面积推导出了三角形和梯形的面积公式。反过来，通过梯形的面积公式又进一步验证了三角形和平行四边形的面积。这些数学知识之间的关系多密切呀！

请他们小组的同学继续汇报。

组长陶：我们沿圆的半径把圆分成若干偶数等份，分的份数越多，拼成的越近似长方形，长方形的长是什么，长方形的宽是什么，长方形的面积=长×宽，所以圆的面积就是S=Лr×r=Лr²

师介入：当时我们是将圆转化成长方形推导出了圆形的面积公式，请大家看大屏幕，你看，我把圆形转化成了什么图形？（梯形）你能根据梯形面积推导出圆的面积公式吗？看看谁聪明？

师：如果生说不出，师提示梯形的上底与下底的和是圆的什么？梯形的高又是圆形的什么呢？

生：在老师提示的基础上说说推导方法。

师总结：大家看，这两种方法表面上不一样，有没有一样的地方呢？

生：都是把圆形转化为学过的图形。

师：转化是我们数学学习中很重要的一种思想，很多时候，我们把新知识转化成以前学过的旧知识，问题就会迎刃而解。回头看看这些公式的推导过程，除了长方形的面积公式以外，其他图形的面积公式我们都是转化成学过的图形来推导出来的。

师：好了，感谢这组同学带着大家一起复习了这些平面图形的周长和面积的计算方法，并且详细的向大家介绍了公式的推导过程，让我们用热烈的掌声感谢请他们回到自己的座位上。

其他小组还有不同的整理方法吗？

第2组：大家看，我们是这样整理的：我们按照形状不同把知识树分为6个枝杈，然后再分别别整理每个图形的周长和面积。

师：这样整理行不行？

第3组：我和他们的方法都不一样。生介绍：周长这部分是一样的，但面积这部分有区别。我们先学的是长方形的面积公式，以它为基础，又学习了正方形、平行四边形、圆的面积。学完平行四边形的面积后，又以它为基础，学习了三角形、梯形的面积。这样整理，更能体现这些知识之间的联系。

师：这种方法与众不同，现在这三种方法，你觉得哪种整理方法更有水平？

师总结：是的，这些图形的面积并不是孤立存在的，他们有着千丝万缕的联系，正是这些紧密的联系，才使我们的数学学习少了很多的死记硬背，如果这样来整理，就能把这些联系体现出来。这样的知识树，更有层次。

现在，我们就按照这种整理方法，用黑板上的这些图形，共同完成一幅知识树，怎么样？谁能把这些图形的位置重新摆放一下？（生边说边摆）

下面该夏老师大显身手的时候，我来展示一下我绘画的本领，画好了大家就给点掌声，画不好大家就保持安静，千万不许笑话我。

其实这掌声是送给每一个人的，这棵枝繁叶茂的知识树是我们大家共同努力的结果。

三、综合运用

师：刚下我们把这些平面图形的周长和面积公式复习了一遍，也进一步理解了各种平面图形之间的联系。下面，我们就运用这些知识去解决生活中的实际问题。谁把你出的题拿出来考考大家？

1．请你做个公正的法官：

（1）半圆的周长就是圆周长的一半。                    （    ）

（2）边长是4dm的正方形，它的周长和面积相等。        （    ）

（3）等底等高的三角形和平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的1/2。           （    ）

2．出题(求三角形面积）

3、求阴影部分面积。

总结：由于时间关系，大家出的题不能一一展示，课下等老师把这些题归类整理一下，我们下节课再继续交流。

4、师：这节课，同学们表现的都很出色，下面老师奖励大家一个小故事。

从前，有一个老人。他有六个儿子。一天，他把六个儿子叫到跟前说：“孩子们，我已经老了。我没有多少家产留给你们，只有院子里还有一块地，就分给你们吧。”说着，老人拿出六根同样长的绳子， “你们每人拿一根绳子到园子里去圈地，谁圈到多大一块地，这块地就属于谁的。你们圈剩下来的地就留给我自己种吧。”六个儿子一听，赶忙拿着绳子往园子里跑。

师：假如你是其中的一个儿子，你会圈出什么样的一块地呢？

生：圆形

师：为什么？

生：圆的面积最大。

师：瞧瞧，这就是真实的人性！在一定的条件下，我们每个人都会为自己追求最多的利益。那是不是每个同学都要围成圆形的？

生：长方形。

师：你明知道圆形的面积大，为什么圈长方形的？

师：同学们，学数学就是要让我们从不同的角度去思考问题。如果知道圆的面积最大，那么你就拥有了聪明。如果你明知圆的面积最大，但是还要选择圆形之外的其他图形，那么，你就在聪明的基础上还拥有了善良。聪明加善良就等于智慧。老师希望同学们都能成为拥有智慧的人，学会思考，学会生活，学会做人。