http://s16/mw690/0040rvx6gy6KKTeeKuj1f&690

先说一下三次曲线的定理吧。定理讲的是：有一条关于x和y的三次方程所确定的平面曲线(简称三次曲线)。有两组直线，每一组有三条，这两组间的直线一一相交，共有9个交点。如果三次曲线过其中的8个交点，那么它必过第9个交点。上图已经表示清楚了，黑色线条是三次曲线，蓝色和红色分别是两组直线，9个标明的点是交点。

这个定理很好证。设三次曲线为P(x,y)=0，6条直线分别为A=0,B=0,C=0,D=0,E=0,F=0。其中ABC一组，DEF一组。接下来设Q=P-λABC-γDEF。我们可以选定适当的λ和γ使Q没有x^3和y^3项(其实没有必要非得是这两个项，换一下也可以)。

接下来就神了。注意，三次曲线的通式为ax^3+bx^2+cx+d+ex^2 y+fxy+gy+hxy^2+iy^2+jy^3，共有10个待定系数。由于Q没有x^3和y^3项，所以Q只有8个待定系数。而在已知的8个交点上Q的值都是0，所以Q恒为0。也因此，P=λABC+γDEF。显然在第9个交点上P的值也是0。所以P=0过第9个交点。

注意到，如果有交点是切点，那么它要算两个交点，因为切点可以解决两个待定系数。

文章的题目还扯到了另外两个定理，他们和三次曲线的定理有什么关系呢？其实他们只是特殊情况下的版本。

http://s1/mw690/0040rvx6gy6KKUYIFr210&690

Pappus定理：直线L1上依次有ABC三点，直线L2上依次有DEF三点。设AE,BD交于P，AF,CD交于Q，CE,BF交于R，那么PQR共线。
实际上，把L1,L2和PQR所在的线段合起来看做一个三次曲线，按照图中把直线分组，就能马上得到结果。

http://s5/mw690/0040rvx6gy6KKVsaxuYd4&690

Pascal定理：圆内接六边形ABCDEF，设AB,DE交于Q，BC,EF交于P(我不小心把BC隐藏了)，CD,AF交于R，那么PQR共线。

事实上，把圆和PQR所在的直线合起来看做三次曲线，按图中分组，就能马上得到结果。

此外，还能秒证圆锥曲线版本的Pascal定理，切线版本的Pascal定理等。

这篇文章也表明了看问题角度的重要性，站在高处更能把问题看得更清楚。当初我费了好大一番功夫才证出Pascal定理，现在一看，原来从三次曲线的角度它那么简单。学完高等数学后，如果你重新看一眼初等数学，你会吃惊的发现，"哦，原来是这样啊！"

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这段话是我恢复文章的时候(也就是写这篇文章3年后)写的：上面的最后一段话，竟然有点耐人寻味。我在现在全面接触到的高等观点，已经刷新了我对数学的认识。重新看到这些初等的东西，看法都会不一样。而这些，我在写这篇文章的时候竟然多少预料到了……?