转化思想的渗透与培养

                   旬阳县城关第二小学  涂几会

【内容摘要】转化思想，将未知问题转化为己知问题，将抽象问题转化为具体问题，将实际问题转化为数学问题。化未知为已知、化繁为简、化曲为直、化数为形、化新为旧、化难为易等。转化思想是建立在数学知识基础之上。为了渗透转化思想，提高学生解决问题的能力，我们可以通过这样几条渠道：化新为旧 善用经验；化难为易  深入浅出；化数为形  以形助数。

【关键词】  转化    渗透    培养 

数学是一门逻这辑性非常强的学科，不同的知识之间都存在着一些逻辑的关系，这种逻辑关系不但体现于知识的相同领域中，也体现在知识的不同领域中，既体现了知识间的横向对比，也体现了知识间的纵向联系。数学中重要的数学概念与数学思想都都体现了螺旋上升的原则。所以说学习数学好比上楼梯，需要步步踏实，大部分的知识都在原有知识的基础上产生的，鉴于数学知识这样的特点，学习新知识，我们用到最多的一种方法便是转化思想。把新知转化为旧知识。在数学教学中，通过转化，将未知问题转化为己知问题，将抽象问题转化为具体问题，将实际问题转化为数学问题。化未知为已知、化繁为简、化曲为直、化数为形、化新为旧、化难为易等。例如“曹冲称象” ，曹冲根据浮力原理，把称大象的重量转化为称船上石块的重量。“阿基米德测王，阿基米德用王冠排开水的体积测王冠的体积。这种思想，在小学数学教学中比比皆是。

转化思想是建立在数学知识基础之上，小学数学教材的编排体系靠知识结构串联起来，所以转化思想分散在整个小学数学教材中。以“数的运算”知识为例，对小学数学教材中蕴含的转化思想进行系统梳理和挖掘，见下表1：

数学思想蕴含在数学知识之中，只有将隐藏在其中的转化思想挖掘出来，教学中渗透才能有的放矢。

转化思想的渗透与培养已经成为今天数学课堂教学的一个重要目标，也是学生数学素养的体现，那么在实际的教学中如何渗透数学核心素养呢。

一、化新为旧 善用经验

计算课的教学方法，离不开转化思想，所有的计算方法（除了一部分的计算起始课），都是有已有的计算经验或者你是已有的生活经验。课程标准指出教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，教学时要找到学生的知识最经发展区，为学生的学习铺垫设伏，减低新知的难点坡度，使得学生顺势而为，因此教学环节中的复习铺垫成为数学课中常用的一环。例如20以内的加减法把减法转换成加法或利用拆数，再运用十以内加减法进行计算； 100以内的加减法转化成几个十加减：把整十数加减整十数，转化成几个整十数加减几个整十数，非整十数加减，先转化成整十数进行加减，再利用十以内加减法，并逐步要求会列竖式；表内乘法变化为“几个几”；整石整百整千数乘一位数转换成几个十、几个百，几个千乘一位数；两位数或者三位数乘一位数转化成表内表内乘法求积；多位数称多位数的乘法转化为多位数乘一位数；表内除法将除法转化成乘法用乘法口诀求商；有余数的除法转化成加法与乘法；三位数除以一位数转化成整百整十数除以一位数，再加上个位数除一位数三位数除以两位数；小数的加减乘除计算，分别转化成整数的计算，再确定小数点的位置；分数的加减乘除，转化成整数的加减乘除来计算；分数的除法转化成分数的乘法计算；比的基本性质喻分数的基本性质都可以转化为除法的基本性质……。如果脱离已有的只是基础或者生活经验，不用转化思想，这样的教学时失败的。

例1：“一个数除以小数”一课中，首先计算整数除法“172÷14”，回顾计算方法，接着创设情境：一个中国结需要0.85米的绳子，这里有7.65米的绳子可以做几个？学生列出算式7.65÷0.85，对比两个算式有什么区别于练习，在此基础上，教师提醒学生能不能把这个新知转化成我们已经学过的知识来解决呢？学生就想到了把米化成厘米，这样这个小数的除法算式就转化成了765÷85，将不会的转化成会的知识。 

例2：教学两位数×两位数的乘法，情境：一个灯柱上有23盏灯，12个灯柱上一共有多少盏灯？学生边读题，教师边出示点子图。“如果我用这样一行23个圆来表示1个灯柱上的23盏灯，要表示全部的等应该画这样的几行呢？”生：“12行”师：“观察这个算式与前面学习的有什么不同”。“以前学习的是两位数乘一位数，现在是两位数乘两位数。”教师由此引入课题。接着估算。下来是口算，口算的时候要求学生结合点子图圈一圈，说一说。于是孩子们出现了许多中方法、、、、、、、，师：“观察这些方法有什么共同特点？”生：“都是把两位数乘两位数转化成两位数乘一位数或者两位数乘整十数。都是把不会的知识转化成会的知识。”接着教师说：”其实这种口算的过程我们你也可以尝试用竖式表示出来。”……

例3：在刚学习分数的初步认识的时候，孩子们遇到这样一道题：妈妈的身高是165厘米，子涵的身高是妈妈的，子涵身高多少厘米？孩子们还不会分数的乘法怎么办，教师就引导孩子们理解的含义。“就是把妈妈的身高分成5分，子涵的身高是这样的4分。”这样这个题就转化成整数的解决问题了。教师巧妙的利用新旧知识的联系，将分数转化成整数“份”的关系，顺利完成了求解。

    二、化难为易  深入浅出

数学是一门抽象的学科，很多孩子遇到稍微繁杂的题就变得没有头绪，无从下笔，但是再难再复杂的题目也都是有一个个小结构的问题组织而成，它们有自己的结构存在，有自己的规律，只要掌握恰当的思维方法，定能打开难题难题的大门。代数学之父韦达说：没有不能解决的问题。美国著名数学家波利亚说：策略会给你指出解决问题的途径，它清楚地向你建议该怎么做。

 例4：例如“鸡兔同笼”“找次品”：“植树问题”等，都是将复杂的问题转化成简单的问题，通过对简单问题方法的总结归纳，再用规律回过头去解决复杂的问题。还例如+ + 、、、、、+ =，这个题就可以用转化法，可以引导学生计算+ =    + + = ，通过计算简单的题发现规律，开始加，分母依次是2的一倍、2的二倍，2的三倍，分子是一，和是的分母是最后一个数学的分母，和的分子比分母少一，当我们在计算简单的分数加减法中发现了这样的规律，就可以利用这个规律直接写出任何一个和它结构相似的这样的分数加法的结果。

例5：在练习中我们遇到了这样一道题：（1+1/5+1/6+1/7 ）×（1/4+1/5+1/6+1/7）－（1+1/4+1/5+1/6+1/7）×（1/5+1/6+1/7），初看这道计算题，我们的感觉是题目太长，通分以后分母较大，计算麻烦且无从下手，再仔细观察题目我们发现了一些规律，里面有几部分的数字是一样的，我们可以把这样相同的部分看做一个整体，用一个简单的符号老表示，如把“1/5+1/6+1/7”看做一个整体，用A表示，把“1/4+1/5+1/6+1/7”看做一个整体，用B 表示，原式就简化为“（1+A）×B－（1+B）×A”，然后计算这个算式，最后简化成B－A，然后将数字带入，很快就计算出的得数为1/4，在这里，学生将复杂的数学问题，借用了数学符号，转化成简单的计算，学生经历了“山重水尽疑无路，柳暗花明又一村”的数学学习历程。体会了转化方法的优势。

例6：在解决问题中我们遇到了这样一个问题：爸爸要翻过一座小山去看外婆，过去的时候每小时行4千米，原路返回每小时每小时行6千米，求爸爸来回的平均速度？来回的总路程÷来回的总时间=来回的平均速度，可是没有一个条件是知道的，这可难住同学们了，怎么办呢？我们知道，在速度一定的时候，路程与时间成正比例的，也就是说，当来回各自的速度一定，路程的长度并不会影响来回的平均速度的，发现了这一点就打开了这道题的思维大门，我们假设一个路程，把这个题就变得特别简单了，当然为了方便计算，我们假设的路程可以是4与6的整倍数，比如说12千米你，12÷4=3（小时），12÷6=2（小时），12×2÷（3+2）=4.8（千米/时），是不是有种豁然开朗的感觉呢？

课程标准提出了数学课程目标的四个方面：基础知识、基本技能、基本思想与基本活动活动经验，其中的基本思想里面就有“转化思想”，“基本数学活动经验”，不仅仅是解题经验，更多的是数学思维活动的经验，数学思考习惯的经验。因此在教学活动中，渗透转化思想，积累学生的解题经验，发展学生的数学思维已成为数学学习的重要目标。

三、化数为形  以形助数

从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。华罗庚说：数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。因此将抽象枯燥的数学转化为形，借助形来认识数学，就会起到事倍功半的作用，

例7：中年级学生学习“求比一个数的几倍还多几(少几)”的应用题时，学生对“几倍多几”或“几倍少几”较难理解，为突破这个教学难点，我设计了右面的图形：         结合图形，让学生说：有6个，的个数比的3倍还多4个；也可以说：有6个，的个数比的4倍少2个；接着，出示下面的问题：(1)有6个，比的3倍多4个，有多少个？算式：6×3+4=22个(2)有6个，比的4倍少2个，有多少个？算式：6×4-2=22个

比较两题的算法，都要分两步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上或减去跟整倍相差的数。这一段教材，一般的教法是：先教求比一个数的几倍多几的数，再教求比一个数的几倍少几的数，最后综合练习。我把这两个相关的内容结合起来一起教，并借助图形的帮助，学生容易理解，比分开教还理解得清楚，学生的思维也更灵活。如自编应用题时，有的学生编了：“皮球的个数比足球的4倍少3个，也就是比足球的3倍多2个，足球有多少个？”这题编得富有创造性，这是用一般教法所不能达到的，如果没有图形的帮助，这样的教学效果也是不可能达到的。

例8：此外，重叠问题、行程问题中，图形也是好帮手，甚至可以说离开了图，小学生很难理解这类问题。

如常见的容斥问题：班上的学生每人至少参加一项兴趣小组，有35人参加了美术组，有26人参加了合唱组，有9人两个小组都参加了，求班上有多少个同学？

 从图上可以很直观的看出9人是重复了的部分，那么全班的人数就是35+26-9=42（人）。

 例9：在计算的时候，我们可以用这样

的图来帮助学生们理解。

    从图中，学生直观清楚的看出，这个加法的结果比“1”小1/32,就是31/32，也能够理解算理，掌握算法，同时还可以举一反三、触类旁通，推导出和此算式结构相似的，加数更多的加法的结果。

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

四、化曲为直  巧思妙解

“化曲为直”的转化思想是小学数学曲面图形面积学习的主要思想方法。它可以把学生的思维空间引向更宽更广的层次，形成一个开放的思维空间，为学生今后的发展打下坚实的基础。

例10：圆面积的教学，教师在教学过程中，先请学生把圆16等分以后，请他们动手拼成近似的平面图形，即用转化思想，通过“化曲为直”来达到化未知为已知。学生兴趣盎然，通过剪、摆、拼以及多种感官协同参与活动，拼出以下图形。

例11：圆柱体体积的计算：圆柱底面分成若干份相等的扇形(如分成16等份),沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开,可以得到大小相等的16块.把16块圆柱的底面拼成一个近似长方形,则圆柱体就接近长方体（如果分成的扇形越多,拼成的立体图形就越接近于长方体了），由于体积没有发生变化,所以可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积，长方体的体积＝底面积×高
长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高就是圆柱的高.所以：圆柱的体积＝底面积×高。

还例如圆柱体表面积的计算，将圆柱体的侧面展开，侧面就转化成了一个长方形，圆柱体体积的计算，将圆柱体沿着底面直径朝着高的方向切开，分成，不规则物体体积的计算，都应用了到了化曲为直。

转化的思想无处不在，它贯穿整个数学教学和数学学习的始终，是数学的精髓内容。教师在具体的教学过程中，要善于指导学生形成转化的思想方法，更好的教学，更好的服务学生。