例谈小学数学推理思想及其课堂渗透策略

成都市成华区五桂桥小学    黄明英

【摘要】数学推理思想的含义及其派生思想，通过举例说明这些思想在教材中的具体体现；将推理思想与探究方法结合起来，在平常课堂教学中渗透推理思想；在小学阶段，应该重视对合情推理的学习。合情推理的两种主要推理方式是“类比”和“归纳”。 在教学中，通过使学生经历“猜想——证明”这样一个问题探索的过程，从而积累数学推理活动经验，感悟数学推理思想，发展数学推理能力，并为学生终身发展服务。

【正文】《数学课程标准（2011年版）》将“双基”发展为“四基”，其中，使学生获得数学的基本思想成为了数学课程的重要目标。如果说数学知识是根，那么思想方法就是魂。爱因斯坦曾经这样说过：“如果人们已经忘记了他们在学校里所学的一切，那么所留下的就是教育。”在数学学习中，这个留下来的东西里面，有部分就是数学的思想。我们倡导教育尊重生命，教育回归自然，教育为学生终身发展服务，就是要努力在我们的数学课堂中渗透数学的思想，提高学生数学素养，让学生一生受益。

《数学课程标准（2011年版）》中所说的“数学基本思想”有“数学抽象的思想”、“数学推理的思想”、“数学建模的思想”。本文仅就“数学推理的思想”谈谈笔者自己的理解。

一、数学推理思想的含义及其具体体现。

《辞海》中对于推理的解释是“从一个或几个已知判断推出另一个判断的思维形式。”《数学课程标准（2011年版）》对推理思想有更详细的阐述——“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。”

《数学课程标准（2011年版）解读》中进一步指出：由“数学推理的思想”派生出来的，有归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。

例如有关运算定律的探究活动，就是从一些特殊的例子，得出一般性的结论，这就是归纳推理的思想。

学习3的倍数的特征，先举出一些3的倍数，然后发现规律，归纳出结论，这也是由特殊到一般，属于归纳推理的思想。但是当我们运用3的倍数的特征去判断一个数是不是3的倍数的时候，这就是一种演绎推理的思想。比如：判断45是不是3的倍数，可以引导学生这样来说明自己的理由——因为一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；又因为45各个数位上的数字之和是9，而9是3的倍数；所以45是3的倍数，这是通过“三段论”推理得出的结论。

在探究平行四边形面积的时候，将平行四边形转化为长方形，这里有转换化归的思想。

在探究圆柱体的体积之前，可以先复习长、正方体的体积，找到新旧知识之间的联系，先引发学生猜想——圆柱体的体积会不会也是“底面积×高”？进而引导学生验证这个猜想。这里就蕴含了联想类比的思想。

当然，一个完整的探究活动，往往不仅仅体现某种单一的数学思想，常常是几种数学思想都有所体现。如上面例举到的平行四边形面积的探究，除了转换化归之外，也有联想类比；圆柱体积的探究中也有转换化归等思想。

二、将推理思想与探究方法结合起来，在平常课堂教学中渗透推理思想。

《数学课程标准（2011年版）解读》中对于数学思想与数学方法的联系与区别做了准确的描述。在平常教学中，我们应该有意识的将数学方法与数学思想结合起来，通过数学方法去体现数学思想。

同时，数学思想的获取主要依靠学生去“感受”、去“悟”，而不是靠一两节课的讲授而习得。所谓“渗透思想方法”，应该是一种“随风潜入夜，润物细无声”的感觉，或融入新知探究活动之中，或在指导学生准确的数学表达中体现。在日积月累的不断感知中，逐渐让数学思想植根于学生头脑中，并以此指导自己更好的去解决遇到的问题，真正实现为学生的终身发展服务。

【案例】探索《平行四边形的面积》

根据长方形面积计算方法，提出探究问题：怎样把平行四边形转化成长方形？然后给学生提供充足的时间，独立思考，并动手操作。使学生发现，沿着平行四边形的一条高剪下，通过平移，将剪成的两部分拼成一个长方形。然后观察对比所得到的长方形与原平行四边形之间的关系，得出平行四边形面积公式的推导过程：

得到的长方形的长相当于原平行四边形的底，长方形的宽相当于平行四边形的高，长方形的面积等于原平行四边形的面积。因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。也可以通过下面的板书呈现这一关系：

长方形的面积=  长  ×  宽

平行四边形的面积=  底  ×  高

在实际教学中，注意指导学生完整、准确的描述出平行四边形面积推导的过程，使学生在头脑中能形成一个有条理、完整的推理过程。

在后续三角形面积探索、梯形面积推导过程中，也充分给学生以探究的时间，并且指导学生能完整、准确的描述推理的过程。这样，转换化归的推理思想就在学生头脑中逐渐清晰、熟练起来。当学生将这几种图形的面积推导过程联系起来看的时候，一个完整的知识体系和解决问题的思路就在头脑中呈现出来。

三、在小学阶段，以发展合情推理能力为主，逐步发展学生的演绎推理能力。

新数学课程标准认为：学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。而在第二学段，新课标中明确指出“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”。因此，在小学阶段的数学学习中，可以发展合情推理能力为主，逐步发展学生的演绎推理能力。

合情推理的两种主要推理方式是“类比”和“归纳”。在教学中，可以使学生多经历“猜想——证明”这样一个问题探索的过程，使学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中积累数学推理活动经验，感悟数学推理思想，发展数学推理能力。

1.利用类比思想，发展学生推理能力。

类比是指通过比较两个对象或两类事物属性的相似、相同，从而猜测等待解决的问题或事物与相关问题或事物的属性是否相同或相似，得出数学新命题或新方法。

【案例1】教学《圆柱的体积》：

第一步，引发猜想。

先复习已学过的长方体与正方体的体积计算方法：底面积×高，因为圆柱体也有底面积和高，于是引发学生猜想：圆柱的体积是否也与底面积和高有关系？

第二步，验证猜想。

引导学生设法把一个圆柱体转化为一个近似的长方体。把一个圆柱体沿着底面直径和高切成若干小块，发现这些小块可以拼成一个近似的长方体，按照极限思想，如果无限的分下去，就可以拼成一个长方体。再进一步引导学生观察拼成的长方体与原来的圆柱体之间的关系：发现拼成的长方体的底面积相当于原来圆柱体的底面积，而拼成的长方体的高就相当于原来圆柱体的高，而长方体的体积和圆柱体的体积是相等的，因为长方体的体积=底面积×高，所以圆柱体的体积也等于“底面积×高”。

在这个案例中，利用了长方体和圆柱体之间的关系，借助“长方体体积计算方法”这个已有知识，学习“圆柱体体积计算方法”这一未知知识。这个过程，就是联想类比思想在教学中的运用。 

【案例2】教学《分数的基本性质》

在进行分数的基本性质的教学时，由于学生已经熟知除法中的商不变性质，就可以引导学生根据分数与除法的关系，猜想分数的基本性质是否是“分数的分母和分子同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变”？引发猜想之后，就可以进一步引导学生对这个猜想进行验证，从而得到分数的基本性质。同样，关于比的基本性质的教学，也可以渗透类比的思想。

利用类比思想，启发学生发现数学知识之间的内在联系，有利于学生将头脑中的一个个知识点，串成知识链，提高学生对数学知识整体的把握。同时，通过类比思想，使学生形成解决问题方法的正迁移，提高学生研究和解决问题的能力，真正实现为学生终身发展服务的目标。

2.利用归纳思想，发展学生推理能力。

归纳就是对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察分析，应用不完全归纳法或者完全归纳法得出有关命题的形式，结论或方法的猜想，根据这种推理作出直觉发现的过程。一般情况下，不完全归纳法在小学数学教学中应用比较多。

【案例】教学《乘法交换律》

在教学时，可以先引导学生观察一组算式：3×2=2×3,61×25=25×61,234×20=20×234，然后依据发现的共同规律，提出一种猜测：是不是在乘法算式里，交换两个因数的位置，积都不变？从而引发学生的探究欲望。此时，学生通过大量的举例，来验证刚才的猜想。

需要注意的是，由于合情推理得出的结论是或然的，也就是有可能正确，有可能错误，所以，在实际教学中，可以综合各种推理方法，尽可能要让学生以更加科学的态度来进行探究推理活动。

接着上述《乘法交换律》案例继续说明。采用不完全归纳法来得出交换律的结论，为了让学生形成更加科学的研究问题的态度，在学生举例时，老师应注意方法上的引导。启发学生深入探究，不仅举出整数乘法的例子，还可以举出小数乘法的例子，甚至告诉学生分数乘法的例子。虽然举例不可能做到穷举，但尽量将各种类型考虑全面。同时需要注意的是，在举例验证的过程中，要避免学生的探究流于形式，不是随便写两个乘数，交换位置，然后在中间添上等号就行了。而是要先算出一个乘法算式的积，再算出交换位置后的积，通过比较，看是否结果真的不变，这样才能得出结论。在实际教学中，为了帮助学生进行较复杂的计算，可以让学生借助计算器。

除了上述的例举方法，也可以借用数图结合的思想来进行乘法交换律的推理验证。通过下面这个点阵图，使学生发现4×6和6×4的结果是一样的。

4×6=6×4

最后需要强调的是，数学思想的获取是靠学生“悟”出来的，而不是靠老师“教”出来的；是从“量”的积累，达到“质”的飞跃，而不是一两节课和一两天能获取的。因此，在课堂教学中，重在“渗透”，让学生不断“意识”，逐渐“感悟”。在课堂上，要真正放手让学生独立思考，动手探究，真正把话语权还给学生，相信，几年之后，数学思想就会在学生的头脑中形成结晶体，并指导他们用数学的思维方式，用数学的推理方法，去解决数学及数学以外的问题。

【参考文献】

     1.《数学课程标准（2011年版）》         北京师范大学出版集团

2.《数学课程标准（2011年版）解读》    北京师范大学出版集团

     3.《漫谈数学基本思想》    史宁中      网络资料