数与代数主线分析

基本内容与要求分析

一、数与式

（一）内容与要求

1．有理数

（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。

（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。

（4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

（5）能运用有理数的运算解决简单的问题（参见例47）。

2．实数

（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

（3）了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。

（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（参见例48）。

（5）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。

（6）了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算（参见例49）。

3．代数式

（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义（参见例50）。

（2）能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。

（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 

4．整式与分式

（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。

（2）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。

（3）能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2；  (a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例51）。

（4）能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

（5）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。

（二）重点

1．强调理解数的意义，建立数感；

2．理解代数式的表述功能，建立符号意识；

3．理解运算的意义，强调运算的必要性。

（三）内容或说法的变化

1．降低了对于实数运算的要求；

2．取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生了解近似数；

3．加强了对二次根式的要求；

4．在具体情景中了解字母表示数的意义；

5．注重代数式的实际应用和实际意义；

6．强调几何直观的作用；

7．删除了对“大数”的认识与应用——“能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断”(实验稿P31)

 8．增加了相关内容，如知道｜a｜的含义（这里a表示有理数），最简二次根式和最简分式的概念，能进行简单的整式乘法运算中增加了一次式与二次式相乘。 

（四）价值及作用

1．通过数与式的学习，学生体会到数学与现实生活的密切联系，感受到数学的价值，培养学生对数学学习的兴趣，增强学生的应用意识。

2．数的概念和运算、代数式的建立以及推导与探究性活动过程，有利于学生形成数感和符号感。

3．帮助学生建立对立统一思想。

二、方程与不等式

（一）内容与要求

1．方程与方程组

（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型（参见例52）。

（2）经历估计方程解的过程（参见例53）。

（3）掌握等式的基本性质。

（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。

（5）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。

（6）*能解简单的三元一次方程组。

（7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。

（8）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。

（9）了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。

（10）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

2．不等式与不等式组

（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质（参见例54）。

（2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。

（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。

（二）重点

1．强调方程和不等式的模型思想；

2．方程和不等式的解法；

3．强调方程和不等式的应用。

（三）内容或说法的变化

1．增加了“了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）”；

2．三元一次方程组作为选学内容；

3．只要求解数字系数的一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程，并且方程中的分式不超过两个；

4．删除了二元二次方程组的有关内容；

5．强调结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质，强调不等式组的解的几何意义的理解；

6．删除了一元一次不等式组的应用。

（四）价值及作用

1．有助于学生形成建立模型思想；

2．对形成化归思想非常有帮助；

3．是后续学习的重要基础

三、函数

（一）内容与要求

1．函数

（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。

（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（参见例55）。

（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。

（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系（参见例56）。

（6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论（参见例57）。

2．一次函数

（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式（参见例58）。

（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。

（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。

（4）理解正比例函数。

（5）体会一次函数与二元一次方程的关系。

（6）能用一次函数解决简单实际问题。

3．反比例函数

（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。

（2）能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =k/x(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。

（3）能用反比例函数解决简单实际问题。

4．二次函数 

（1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。

（2）会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。

（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

（4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

（5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

（二）重点

1．强调借助现实背景，在现实背景中理解函数概念；

2．在研究函数性质的过程中，重点是利用函数图像的方法直观地发现函数的性质；

3．体会各种函数表示法之间的关系；

4．强调对变量取值范围的讨论，应该结合具体的实际问题。

（三）内容或说法的变化

1．强调一次函数的现实意义；

2．强调一次函数与二元一次方程的关系，但不要求用图像法求二元一次方程组的近似解；

3．强调对一次函数图像变化的探索，如根据一次函数的图像和表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；

4．强调用反比例函数解决问题，如结合具体情境体会反比例函数的意义；

5．突出反比例函数的图像功能，如能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =k/x(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；

6．强调用函数解决实际问题，如通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，并运用与实际，在实际问题中考虑变量的取值范围。

（四）价值及作用

1．函数内容是整个中学内容的主线，是研究变量之间关系的工具；

2．通过变量之间的关系的学习有助于培养学生的理性思维；

3．函数的一个作用，体现在解方程中；

4．研究变量关系的方法，对于其他学科的学习有重要的作用。

四、数与代数案例分析

例47  灾害应对预案。

一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月，大约需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？

[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下，进行有理数的运算，最后给出估计。

例如，假定一顶帐篷可以住10个人，需要2万顶；假如要保证一个家庭住一顶帐篷，每个家庭4口人，需要5万顶。假定平均每人每天需要0.4千克粮食，可以估计出每天需要的粮食数，10天需要的和一个月需要的粮食数。

例48  估计与0.5比哪个大？与1.0比呢？

例49 计算：（1）；（2）+。

[说明] 运用二次根式的加、减、乘、除运算法则进行二次根式的四则运算，根号下仅限于数，不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如，2+等。

例50  结合实例解释3a。

[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。a可以表示数量，例如葡萄的价格是每千克3元，则3a 表示买a千克的金额；a可以表示长度，例如，一个等边三角形边长为a，则3a表示这个三角形的周长，等等。

例51  利用公式证明例29所显示的运算规律。

[说明]在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律：

15×15=1×2×100+25=225，

25×25=2×3×100+25=625， 

35×35=3×4×100+25=1225。

观察后，我们猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律： 

         (a×10+5)2= a( a+1)×100+25。共有60个，有几个椅子和几个凳子？

[说明]这个问题与例32是相同的。事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对于模型的理解。

利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例32中的表移过来并用字母代替：

椅子数    凳子数       腿的总数

        a =16    16-a =0      4a+3(16-a)=64

        a =15    16-a =1      4a+3(16-a)=63

        a =14    16-a =2      4a+3(16-a)=62

这样，合题意的方程为4a+3(16-a)=60，可以通过尝试的方法，解得a=12，也可以解方程求解。

对于二元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。

从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。

在教学过程中，可以结合具体的教学内容使用这个例子，最后进行比较，启发学生思考。

例53 估计方程的解。

[说明] 估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟，通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径。一般来说，如果把一个数代入方程左边得到的值为负，把另一个数代入得到的值为正，则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理，用二分法可以估计方程的解。

分析这个一元二次方程，当x的绝对值较大时，方程的左边必然为正，如-5和3；当x的绝对值较小时，方程的左边必然为负，如2。那么，在-5和2之间，以及在2和3之间方程可能有解。进一步，用同样的道理可以将解的范围缩小，使我们估计的解尽可能精确，如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算，如果得到的值为正，则在-1.5和2之间有解，否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。

进一步，教师引导学生用公式法解出方程的解，然后借助计算器求解的近似值，并将得出的近似值与前面的估计值进行比较。

例54 小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？

[说明] 对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。

这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等

但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：。

这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。

例52 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来式。

假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式 

0.5a + 0.4b2。

当a = 1时，计算得到b = 3.75，则 b = 3。这样计算，可以建立下面的表格：

       a    0      1     2     3     4

       b    5      3     2     1     0

     金额   2     1.7   1.8   1.9    0

根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。

例55 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分报纸后，用15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？

 

                      图14

例56  某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。

[说明] 这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。

可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。

例57  甲乙两地相距20千米。小明上午8：30骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8千米/时；小丽上午10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40千米/时。分别表示两个人所用时间与距离的函数关系，并回答谁先到达乙地。

[说明] 问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题，在分析、总结学生的解答时，可以把两个函数的图像放在一起进行直观比较。

例58 温度的计量。

世界上大部分国家都使用摄氏（ºC），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏（ºF）。两种计量之间有如下对应：

ºC	0	10	20	30	40	50
ºF	32	50	68	86	104	122

（1）在平面直角坐标系中描述相应的点，观察这些点是否在一条直线上。

（2）如果两种计量之间的关系是一次函数，请给出该一次函数表达式。

（3）求出华氏0度时摄氏是多少度。

（4）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？

[说明] 在表中，两个变量对应数值的差之比是一个常数，所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏从0度开始，设为横坐标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时，需要通过函数值来反求自变量的值。在平面直角坐标系中, 该一次函数的图像与直线y = x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的值。

重点问题分析

（一）运算能力

1．意义和作用

“有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。

2．含义

“能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”。

3．与内容的联系

    与运算能力相关的内容，一个是有理数的运算。还有实数的运算，但由于解决实际问题取近似值，落脚点还是有理数运算，带根号的无理数的运算实际上是恒等变形。关于式的运算，实际上就是恒等变形。运算在解决问题中是必须的，运算能力的培养是重要的。还有方程或不等式的求解，都有式的运算，都要求其结果具有正确性、采用简便算法，及选择最佳途径。

（二）数感

  主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

（三）符号意识和代数思想的特点

  主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

（四）代数学中的推理能力

   推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

（五）应用意识

应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

（六）模型思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。

数与代数主线分析

这次课标的修订，和原来课程标准的研制，其中突出的一个非常重要的事情，就是希望学生整体把握数学课程，就一个知识点，教给学生一堆知识点，是希望给学生一个比较完整的数学课程，其中包括知识技能，也包括数学思考、问题解决、也包括情感、态度，这样一个完整的东西，希望放在学生脑子里，对于学生全面的发展有帮助。

   这样一个整体把握的理念，怎么落实在每一部分里，其中怎么落实在对于知识技能的把握？怎么落实在思考和解决数学问题相结合，这一次课程的完善，提出了一个很重要的想法，就是希望在课程实施的过程中，有一些基本脉络，而这些基本脉络或者叫课程主线，是需要凸显的一些东西，就是让数学的东西变得比较有体系，变得比较完整，而主线与主线之间又有联系，觉得这是一个很重要的东西，在结合整体目标的分析中，还凸显了一些所谓叫核心概念、所谓叫核心词。比如说数感、符号意识、几何直观等，就是既能展开又能在局部上，觉得这些都是不断完善课程的一个非常重要的东西。

就数与代数提供给大家一些参考的建议，在初中的数与代数中，有两个基本的主线;

第一个主线就是数、字母和运算，它自始至终贯穿在整个初中数学课程之间。

支持这一条主要脉络又分成这么五个基本的角度：

第一个基本的角度就是要帮助学生搞清楚，运算的对象是什么？在初中主要的运算对象有两个，一个是数，包括小学学过的自然数、分数，和初中拓展的有理数、无理数组成的实数，另一个运算的对象是字母，当赋予字母数的含义，字母就可以作为一个重要的运算对象展开运算，设想字母的运算就能产生一系列的通常所说的基本概念，字母的乘就是单项式，单项式的和就是通常所说得多项式，如果乘除就组成了分式，再加上开方、平方各种运算，就组成了代数式，所以所有的数与代数的概念，用不严格的话来说是算出来的，算字母算出来的。

第二个重要的角度就是要不断地理解和认识运算的背景，为什么要加？为什么要减？为什么要乘？为什么要除？只有搞清楚其真正含义，才能灵活运用这些运算解决问题。

第三个重要的角度就是运算法则。

第四个重要的角度就是学会了这么多的运算，到底有什么用？

第五个重要的角度就是在运算中既有精确的运算，也有近似的运算，小学叫估算。

第二个主线就是量、关系和模型的认识。

支持这一条主要脉络又分成这么四个基本的角度：

第一个角度就是帮助学生完成从算术到代数的过渡，形成对模型的认识。

第二个角度，就是帮助学生初步理解常量模型，常量模型最重要的就是放出和不等式。

第三个角度，就是变量模型，主要指函数模型。

第四个角度，就是对于模型的分类、识别、确定，即数学建模过程。

用这样的方式分析教学内容，其实就是如何整体把握数学内容。