大数定律和中心极限定理的区别和联系

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昨天看了中心极限定理，今天写本科论文期间，又抽业余时间看了看大数定律，刚开始差点把本小博主给看蒙了O.O，对就是这样。后来去了知乎上瞅了瞅，还是瞬间懂了。知乎上还是大神云集呀。总之，我大致总结了下，好东西大家齐分享！来看看是啥吧！

一句话解释关系

一句话先解释清楚这俩的关系，这样才能带着结论看问题懂的才快的。

在统计活动中，人们发现，在相同条件下大量重复进行一种随机实验时，一件事情发生的次数与实验次数的比值，即该事件发生的频率值会趋近于某一数值。重复次数多了，这个结论越来越明显。这个就是最早的大数定律。一般大数定律讨论的是n个随机变量平均值的稳定性。
而中心极限定理则是证明了在很一般的条件下，n个随即变量的和当n趋近于正无穷时的极限分布是正态分布。（对，就是它，跟我念，正态分布！O.O哎，哪里都有它，记住记住。）
一句话解释：大数定律讲的是样本均值收敛到总体均值，说白了就是期望，如图一样：

来自知乎博主慧航

而中心极限定理告诉我们，当样本足够大时，样本均值的分布会慢慢变成正态分布，对，就是如图这个样子：

来自知乎博主慧航黄色的是标准正态分布的密度函数。

上面是区别，那么联系根据区别也能看出来，都总结的是在独立同分布条件下的随即变量平均值的表现。

数学理论

我们假设有n个独立随机变量，令他们的和为：

那么大数定律（以一般的大数定律为例），它的公式为:

而中心极限定理的公式为：

注意：上面两个公式，一个是值为0，一直均值为0的正太分布；而左边极为相似！但不一样的。第二个公式比第一个公式多了 ！看出来了吧！

reference

https://www.zhihu.com/question/22913867知乎博主慧航，Detian Deng