胡丛梅

一、总体目标分析

    《课程标准》对本单元的要求是：

1、          在研究图形性质和运动等过程中进一步发展空间观念；

2、          在多种形式的数学活动中发展合情推理能力；

3、          经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性；

4、          探索勾股定理及其逆定理，并能用它们解决一些简单的实际问题。

从课程标准所描述的语言上看，总体目标的用词抽象性和综合性很强，我们先对它们做一解读。

（1）            空间观念是几何课程改革的一个数学课程核心的概念,《数学课程标准》描述了空间观念的主要表现，其中包括“能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化”.这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对周围环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握.

（2）            总体目标1的解读就是：在直角三角形的从特殊到一般以及在梯子下滑、方位角问题、立方体表面爬行的最短距离等图形运动变化过程中发展学生空间观念；

（3）            由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式叫做推理，分为演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理的条件和结论之间有蕴含关系，是必然性推理，三段论是演绎推理的主要形式；合情推理是根据已有的知识和经验在某种情境和过程中推出可能性结论的推理，归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的三种重要形式。《课程标准》对推理能力的主要表现的阐述是①能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据给出证明或举出反例；②能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理落笔有据；③在与他人交流的过程中能够运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑，质疑是经过了学生的分析和判断，对已有结论的正确性提出疑问的理性思考。

（4）勾股定理具有丰富的文化价值，可以引发学生对数学文化和数学本质的思考，激发学生的数学学习和探究的兴趣，能够为学生的几何推理能力的发展提供不可多得的思维材料，基于这种思考，丰富学生几何探究的活动经验，并进一步发展几何定理的应用，发展学生的几何推理能力以及分析问题解决问题的能力。

从上面的解读可以看出，总体目标的描述包含了多个认知过程子类别，仔细分解每一个目标的知识类别和认知过程类别，可以得到下表：

总体目标在分类表中的位置

知识维度/认知过程维度	1、记忆、回忆	2、理解	3、应用	4、分析	5、评价	6、创造
A、事实性知识		目标1	目标1
B、概念性知识		目标1 和2	目标1  目标3	目标1
C、程序性知识			目标1 、2和 目标4	目标2
D、元认知知识			目标1

二、教育目标分析

   鉴于总体目标多个子目标分类的重叠问题，我们希望能用更外显认知过程目标，更能体现各目标之间的逻辑性，从而降低目标描述的综合性，以便我们能够更加清晰地把握目标，我们制定了以下教育目标：

目标1、了解勾股定理的历史，分析勾股定理及其逆定理的多种证法；

    目标2、理解勾股定理及其逆定理；

    目标3、会用勾股定理及其逆定理解决问题。

目标4、理解勾股定理的探究过程中所使用数学方法和探究策略，激发学生的数学认知的热情，体会探究勾股定理的困难和探究成功的喜悦。

例如目标1的动词是“了解”和“分析”，“了解历史”可以理解成为“知道勾股定理发现、证明以及所产生了历史影响”，所处的位置是A1，“分析证明方法”是定理的各种证明方法的分解、要素分析：

从目标的描述结构里可以看出，各目标在分类简表的位置如下表：

知识维度/认知过程维度	1、记忆、回忆	2、理解	3、应用	4、分析	5、评价	6、创造
A、事实性知识				目标1
B、概念性知识		目标2	目标3
C、程序性知识
D、元认知知识		目标4

三、教学活动分析

如何在教学中帮助学生建立空间观念利用“实物及图形”也就是运用和借助实物及图形让学生通过观察、比较、综合、抽象分析认识客观事物，帮助学生建立空间观念，这也是帮助学生建立空间观念最好的途径。人们认识事物的本质和特点及其规律，总是从具体到抽象，从感性到理性的。因为实物和图形直观性很强，容易为学生认识和理解，也容易使学生建立起空间观念。如果离开实物和图形的观察、想象、比较、综合、抽象分析，是很难说清楚、说准确观念的。离开实物和图形，空间观念既难于建立，更难于向高层次发展。

利用实物和图形帮助学生建立空间观念的教学策略有：

1、学会观察。学生的空间知识来自丰富的现实原型，与现实生活非常紧密，也就是引导学生学会认真观察周围的实物，重视现实生活中有关空间与图形的问题，从视觉上去感受空间观念，让学生在学习活动中自己动手动脑，摆摆、折折、拼拼、量量。在观察时进行自主、合作、探究了解这种几何图形的特征及性质，来发展学生的空间观念。

2、训练概括。《数学课程标准》指出“能描述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体间的相互关系”，所以要积极鼓励学生从不同的角度观察物体，练习用语言来进行概括描述，让他们有较多的机会去参与活动，从语言表达和听觉上感知空间观念，不断地丰富他们的空间经验，使空间观念得到形成和巩固。这比观察实物有较大的难度，但是对学生建立空间观念有很大的好处，这是在观察基础上的一个飞跃。

3、练习操作。教师根据教学内容可以购买或自制教学具，让学生进行实际操作训练。“操作是智力的源泉，思维的起点”教学 时老师不但要重视引导观察，而且要重视让他们变被动听讲到一起动手、共同参与，亲身操作。多种形式的操作能使他们的视觉、触觉协调起来，充分发挥其内化功能，以丰富他们的空间观念。教学时，教师让学生先看教具演示，后自己操作从而获得知识，然后上升为概念、法则，找出解决问题的方法。实际操作不但可以使学生在操作过程中提高动手能力，而且容易把感性认识上升到理性认识，牢固地建立起长方体（正方体）的空间观念。要让他们学会运用测量、计算、实际操作、图形变换等方法来解释和处理一些基本的空间与图形问题。

4、发挥想象。《数学课程标准》指出“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，由几何图形想象出实物的形状”分解图形、想象实物就要学生具有丰富的想象能力。而想象具有伴随性，学生在观察实物、概括实物及几何图形时，在练习、操作过程中都始终伴随着想象，这些想象既有助于学生空间观念的建立，又有助于提高学生的创新能力。

例1、围绕目标1和目标2的教学活动

1、探索勾股定理

（1）通过观察和体验大量勾股定理的实例，明确在格点中求面积的两种方法，并在练习中观察了解学生对这两种方法的理解情况，积累数学事实，抽取基本要素是在直角三角形中反映的三边之间的数量关系，并猜想结论，是理解的基本子类别：识别、举例、解释，是B1的位置；

（2）、几何画板课件展示的办法由学生解释问题的含义（分类，说明共性特征），归纳边长的一般性结论（总结），并验证结论（推断），让学生经历“观察—验证猜想—归纳结论—验证结论”的认知过程，是理解定律的基本子类别，是B2的位置；并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，为形成解决这类几何问题形成策略性知识做准备．是元认知的理解的基本子类别：识别、举例、解释，是D2的位置；

（3）、几何画板展示几何树，提高几何学习兴趣，激发学生热情，产生与自我的联系并希望能够记住这次体验,是记忆元认知识，是A4的位置；

（4）、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．（执行是理解的基本子类别：比较和推断、是B2的位置；简单应用是定理的基础运算，是应用定理的基本子类别：执行熟悉的任务，是C2的位置；

（5）、小结本课的内容，谈收获对自己的感受和表现作出评价，是评价元认知知识的基本子类别： 评价关于自我知识，是D5的位置,虽然只是口头评价，但从在分类表中的位置可以看出这一步是较复杂的高级认知过程，教学中这一环节一定要做好；

（6）、查阅有关勾股定理的历史资料和有关的多种证明法以及学习制作《摇曳的勾股树，作业布置的目的是为实现目标1中的 A6和D2和目标

（7）、动手操作拼成正方形，小组讨论，产生多种证法：运用面积法证明勾股定理，选择不同证法的小组黑板上拼贴图形、讲解证法得出定理的关系式（需要小组成员的分工合作：画图、书写推导过程和讲解），其他小组评议完善，得出该方法的主要特征让学生经过自己的操作和思考，既经历验证勾股定理的过程，又获得相应的数学活动经验，通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系是D2的位置。

（8）、将所查阅的多种证法资料以多媒体展示，交流讨论各种方法的特征，体会其中每一种方法表述的数量关系，比较不同，找出共有勾股定理关系式的特性，了解中外多种方法，开阔视野，感受古代人民的聪明才智，追溯历史，激发情感是D2的位置。

（9）、例题讲解，初步应用；是B2的位置；

（10）、拓展练习，能力提升经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识是C2的位置. 

2、探究勾股逆定理：在这一活动工程中由于是定理的探索发现，所以仍然遵循一般几何定理的探究发现和证明过程，针对逆定理的特点，把和勾股定理的关系作为学生探究的重要资源和出发点。

（1）、通过对勾股定理的条件结论的分析引出逆命题，启发学生运用特例验证，猜想一般结论是B2的位置；

（2）、作出边长为 3cm、4cm、5cm的三角形，量出最大角的度数，验证猜想是A2的位置；

（3）、几何画板的正、反例验证了一般边长的结论，进一步验证猜想是A2和B2的位置；

（4）、小组探讨边长为的三边为3cm、4cm、5cm的三角形和直角边为3cm和4cm的全等关系得出的最大角是，探究逆定理的证明的一般思路是A4的位置；

（5）、利用构造法、经历从特殊到一般的逆定理证明过程，对两个班的要求不同：八班是领会就可以，七班不仅要领会，还应能够描述出证明的推理依据和该定理证明的主要特征,是B2的位置。在学生理解有困难时，结合上面讲的特例再次说明；得出勾股数的概念是A2的位置；

(6)、明确逆定理的使用范围和原定理的区别，并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形，注意引导学生在应用中两个定理的不同的使用条件是C2的位置；

(7)、利用该定理解决一些简单的实际问题；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验是D2的位置。

 例2、围绕目标3的教学活动 

（1）勾股定理及其逆定理的基本运用是应用的基本子类别：运用定理解决新问题的实施的认知过程，是B3的位置。在这些活动中强调鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识，是理解元认知的基本子类别：比较和推断、解释关于自我几何学习经验的认知过程，是D2的位置。

     （2）围绕目标3的分析解决立方体的最近距离等实际应用问题

    在活动过程中将问题分类、选择适当的定律学生分为４人活动小组，合作探究充分讨论后，汇总各小组的方案，将活动过程中学生所汇总各种方案，分析哪些是学生容易算出的，哪些是学生有困难，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形、在正方体和长方体的最短距离中构造的是一个或两个直角三角形，引导学生体会利用勾股定理解决方位角问题、梯子下滑等各类实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算，是D2的位置。

   例3、围绕目标4的教学活动

   在活动中我把学生的注意力引导到对解决问题的方法思考和实际的可行性上，通过学生的合作探究，找到解决“最近距离”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．是D1的位置。

    在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题。先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明各种办法的合理性，从而得到结论是D2的位置。。

  附：教学活动与教育目标的分类表的位置

知识维度/认知过程维度	1、记忆、回忆	2、理解	3、应用	4、分析	5、评价	6、创造
A、事实性知识	目标1的教学活动	目标1的教学活动		目标1 目标1的教学活动		目标1的教学活动
B、概念性知识		目标2 目标2的教学活动	目标3 目标3的教学活动
C、程序性知识		目标2的教学活动	目标3的教学活动
D、元认知知识	目标4的教学活动	目标4 目标4的教学活动

   从上表与总体目标的分类表的对比我们可以看出有很多类别时相吻合的，这样我们可以更清晰地区分总体目标。

四、测评 

本章的测评共有4个：

测评1：利用几何画板学习制作《摇曳的毕达哥拉斯树》，测评形式：分为4个等级，制定了等级评定标准；

测评2：勾股定理及其逆定理的基本应用；阶段性测评，共20道试题，100分，形成性测试，面向全体学生，强调反复纠错，直至大多数学生达标；

测评3：勾股定理及其逆定理实际应用和综合运用，阶段性测评，共10道解答题，100分根据题目难度对不同层次的学生提出相关要求，强调答题的规范性，注意分析学生思维方面的错因，；

测评4：全章综合性测评，22道试题，规范试卷题型，重点考查学生的全章的整体学习水平，强调学生对自己学习情况的分析，积极纠错，并进行补考。

另外，学习中期制定了本章的评分准则，力求学生能够按照评分准则完成有目标的测评，测评形式有《总结性学习报告》的完成、当堂小测评、和章节测评。

测评在分类表中的位置如下：

知识维度/认知过程维度	1、记忆、回忆	2、理解	3、应用	4、分析	5、评价	6、创造
A、事实性知识				目标1		测评1
B、概念性知识		目标2测评2	目标3 测评3
C、程序性知识			测评4
D、元认知知识		目标4

    从表中可以看出，测评与教育目标比较一致，基本达到对3个目标的考查，目标4的测试是置于4个测评之中以及对《总结性学习报告》完成和质量评定之中的。