“排列组合思想、逻辑推理方法”的渗透

  峨眉二小  邢淑容

一、教学内容：人教版小学数学二年级上册《数学广角：搭配（一）》，教材第98页例2及相关内容。

二、教学建议：

注意让学生通过操作活动进行学习。这部分内容的抽象性比较强，要通过操作活动，深入浅出，化难为易；还要注意把握教学要求，不要拨高要求。根据学生的实际情况，适当地、有意识地培养学生的思维能力，但要注意因材施教，不要人为拨高要求。例如，讲逻辑推理时，不要向学生讲大前题、小前题等概念，也不要增加条件的数量，教材上最多是让学生根据三个条件来进行推导，教师不要增加到4个，如果处理不好，反而会出现科学性错误。　　

三、价值界定：

    数学广角安排学习简单的排列组合思想和逻辑推理方法。其价值是：排列与组合的思想方法不仅有广泛的应用，而且是今后学习概率统计等知识的基础，逻辑推理更是学生进一步学习数学的基础，是发展学生逻辑推理能力的良好素材。 

    四、案例改编：

   （一）复习旧知，引入新知。

出示题目：有3个数5、7、9，任意选取其中2个组成没有重复数字的两位数，能组成几个两位数？

（设计意图：在解决排列问题的过程中，进一步培养学生的审题意识，回顾解决问题的策略与方法，调动学生已有的经验，为新知探索奠定基础。）

   （二）经历探索过程，找出组合数。

     1、理解题意。

     出示题目：有3个数5、7、9，任意选取其中2个数求和，得数有几种可能？

     2、自主探究。

     学生活动摆一摆、画一画或写一写，教师巡视，了解学生解决问题的基本思路与基本方法，选取典型案例。

     3、交流方法。

   （1）预设1：写出了6个算式，却说得数有3种可能，这是怎么回事？

   （2）预设2：写出了6个算式，还写出了要去掉3个算式的理由，考虑问题真全面。

   （3）预设3：用画一画的办法连线。

     4、回顾与反思，突出解决问题的方法。

     教师：解决这个问题，大家想到了几种好办法？谁再来为大家说一说？

     教师配合学生的叙述，运用课件带领学生回顾过程。

     5、对比、分析，初步理解排列与组合的区别。

     教师：这节课，我们一起研究了两个问题（同时出示）。观察这两道题，你有什么发现？

     教师：都是从5、7、9这3个数中选2个数，怎么一个能组成6个两位数，一个得数却只有3种可能呢？教师随学生回答用课件配合演示。

     教师：再来看看同学们解决问题的方法（展示两类问题学生的解决方法），你有什么想告诉大家的？

    （设计意图：借鉴例1的活动经验，通过圈一圈、说一说、摆一摆、写一些、画一画、比一比等活动找到例2的组合数，进而体会排列问题与组合问题的差别。）

   （三）巩固练习。

     1、完成“做一做”第1题。

     2、完成“做一做”第2题。

   （四）全课总结，介绍“排列组合思想、逻辑推理方法”数学史料。

     1、教师总结第2题：看来同学们都找到了正确的结果。（指黑板)这几位同学不仅写出了4种付钱的方法，在选用不同面值的钱的时候，还有顺序，说明他会运用前面我们学到的“有序”地思考的方法。我们大家都应该想他学习。

     2、其实在现实生活中有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等等。数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。逻辑推理知识也是人们在生活和科研中很重要的知识，人们从事学习、科研、经济和法律活动（如侦破、审理案件）都要用到推理，计算机就是以数学逻辑为基础的。

五、参考资料：
                              有关排列组合的知识

    排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组。

   （一）两个基本原理是排列和组合的基础

    1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方

法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。

    2、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

    这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。

   (二)排列和排列数

    1、排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

    从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法。

    2、排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！

   (三)组合和组合数

    1、组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

    从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

    2、组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数。

    这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的。

  （四）排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于：

    1、从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力

    2、限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)

准确理解；

    3、计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；

    4、计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具

有较强的分析能力。

  （五）两个基本计数原理及应用

    1、加法原理和分类计数法。

  （1）加法原理。

  （2）加法原理的集合形式。

  （3）分类的要求。

    每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。 

    2、乘法原理和分步计数法。

  （1）乘法原理。

  （2）合理分步的要求。

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。