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人教版小学数学五年级下册“完全数”数学史料

(2013-05-06 12:06:59)
标签:

人教版

小学数学五年级下册

约数和倍数

完全数

教育

分类: 课题研究

 “完全数”数学史料

                                      峨眉二小   徐  群 

一、教学内容:人教版小学数学五年级下册《第二单元:因数与倍数》,教材第12——14页。

二、教学建议:

在学生学习掌握了因数、倍数的相关知识后,及时给出6和其他1-2个数,写出它们的因数,让学生了解到6的因数相加刚好等于6,让学生试着找一找,你能找到几个这样的数(既比赛又在无形中练习了写一个数的因数,可谓一举两得),从而引入完全数,介绍完全数的知识,拓宽知识面,展现数学中的“美”。

三、价值界定:

通过对“完全数”的教学,教师引领学生去探索。学生在快乐的合作探究中体验到了成功的喜悦,同时也找到了数学中的“完美”,让他们感知数学也是“美丽”的。

四、案例改编:

全课小结:

1.同学们请大家一起来写出10、6、12的因数,然后分别把这几个数的因数相加,算出和。说说你的发现。

2.教师介绍“完全数”

3.小组合作(8个小组,每个小组写4个数),从小到大写出数的因数,你找到的完全数是

4.读书上的资料

5.在数学中,有许许多多的“美”,等待着同学们去发现……

   五、参考资料:

http://s11/mw690/c2c73d59g7c66e2b8482a&690

完全数

 

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人,他已经知道628是完全数。毕达哥拉斯曾说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。有些《圣经》注释家认为628上帝创造世界时所用的基本数字,因为上帝创造世界花了六天,二十八天则是月亮地球一周的日数。·奥古斯丁说:6这个数本身就是完全的,并不因为上帝造物用了六天;事实上,因为这个数是一个完全数,所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

在中国文化里:有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常(仁、义、礼、智、信、孝)、天上四方有二十八宿等等,628,在中国历史长河中,之所以熠熠生辉,是因为它是一个完全数,怪生有的学者说,中国发现完全数比西方还早呢。

完全数诞生后,吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力,他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的,他在其《数论》一书中有一段话如下:也许是这样,正如美的、卓绝的东西是罕有的,是容易计数的,而丑的、坏的东西却滋蔓不已;是以盈数和亏数非常之多,杂乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数,而且又顺理成章:因为在个位数里只有一个6;十位数里也只有一个28;第三个在百位数的深处,是496;第四个却在千位数的尾巴颈部上,是8128。它们具有一致的特性:尾数都是68,而且永远是偶数。但在茫茫数海中,第五个完全数要大得多,居然藏在千万位数的深处!它是33550336,它的寻求之路也更加扑朔迷离,直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后,人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言:能找出完全数是不会多的,好比人类一样,要找一个完美人亦非易事。时至今日,人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前,只知道即便有,这个数也是非常之大,并且需要满足一系列苛刻的条件。

http://s5/mw690/c2c73d59g7c66e30b73f4&690

         疑难问题

Q1、到底有多少完全数?

A1、寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究,到201326日为止,一共找到了48个完全数。

Q2、有没有奇完全数?

A2、奇怪的是,已发现的48个完全数都是偶数,会不会有奇完全数存在呢?如果存在,它必须大于10^300。至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是12^p+136^p+9的形式,其中p素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

另外,如果存在奇完全数,则它们必能表示p^2*q的形式,除6外的偶完全数亦有此性质。

公式

大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式:如果p质数,且2^p-1也是质数,那么(2^p-1X2^p-1)便是一个完全数。

例如p=2,是一个质数,2^p-1=3也是质数,(2^p-1X2^p-1=3X2=6,是完全数。

例如p=3,是一个质数,2^p-1=7也是质数,(2^p-1X2^p-1=7X4=28,是完全数。

例如p=5,是一个质数,2^p-1=31也是质数,(2^p-1X2^p-1=31X16=496是完全数。

但是2^p-1什么条件下才是质数呢?

事实上,当2^p-1是质数的时候,称其为梅森素数。到201326日为止,人类只发现了48个梅森素数,也就是只发现了48个完全数。

 

古时候,自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为,6是属于美神维纳斯的,它象征着美满的婚姻;也有人认为,宇宙之所以这样完美,是因为上帝创造它时花了6天时间……

  自然数6为什么备受人们青睐呢?

  原来,6是一个非常"完善"的数,与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个:l236,除了6自身这个因数以外,其他的3个都是它的真因数,数学家们发现:把6的所有美因数都加起来,正好等于6这个自然数本身!

  数学上,具有这种性质的自然数叫做完全数。例如,28也是一个完全数,它的真因数有 124714,而 124714正好等于28

  在自然数里,完全数非常稀少,用沧海一粟来形容也不算太夸张。有人统计过,在1万到40000000这么大的范围里,已被发现的完全数也不过寥寥5个;另外,直到1952年,在2000多年的时间,已被发现的完全数总共才有12个。

  并不是数学家不重视完全数,实际上,在非常遥远的古代,他们就开始探索寻找完全数的方法了。公元前3世纪,古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式:如果2n-1是一个质数,那么,由公式N=2n-1(2n-1)算出的数一定是一个完全数。例如,当n2时,22-1=3是一个质数,于是N2=22-1(22-1)=2*3=6是一个完全数;当n=3时,N3=28是一个完全数;当n5时,N5=496也是一个完全数。

  18世纪时,大数学家欧拉又从理论上证明:每一个偶完全数9必定是由这种公式算出的。

  尽管如此,寻找完全数的工作仍然非常艰巨。例如,当n=31N31=231-1(231-1)=2305843008139952128,这是一个19位数,不难想像,用笔算出这个完全数该是多么困难。

  直到20世纪中叶,随着电子计算机的问世,寻找完全数的工作才取得了较大的进展。1952年,数学家凭借计算机的高速运算,一下子发现了5个完全数,它们分别对应于欧几里得公式中n521607127922032281时的答案。以后数学家们又陆续发。当 n=321742534423968999411121319937时,由欧几里得公式算出的答案也是完全数。

  到1975年,人们在无穷无尽的自然数里,总共找出了24个完全数。

  在欧几里得公式里,只要2n-1是质数,2n-1(2n-1)就一定是全数。所以,寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关。

  1979年,当人们知道244497-1是一个新的质数时,随之也就知道了244496244497-1)是一个新的完全数;1983年,人们知道286243-1是一个更大的质数时,也就知道了 286242286243-1)是一个更大的完全数。它是迄今所知最大的一个完全数。

  这是一个非常大的数,大到很难在书中将它原原本本地写出来。有趣的是,虽然很少有人知道这个数的最后一个数字是多少,却知道它一定是一个偶数,因为,由欧几里得公式算出的完全数都是偶数!

  那么,奇数中有没有完全数呢?

曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数,始终也没有发现奇完全数的踪迹。不过,在比这还大的自然数里,奇完全数是否存在,可就谁也说不准了。说起来,这还是一个尚未解决的著名数学难题呢。

概念

定义与列举

各个小于它的约数(真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number),又称完美数或完备数。(列出某数的约数,去掉该数本身,剩下的就是它的真约数)

例如:第一个完全数是6,它有约数1236,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3=6。第二个完全数是28,它有约数12471428,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496,有约数1248163162124248496,除去其本身496外,其余9个数相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有812833550336等等。

相关概念

对于“4”这个数,它的真约数有12,其和是3,比4本身小,像这样的自然数叫做亏数。对于“12”这个数,它的真约数有12346,其和是16,比12本身大,像这样的自然数叫做盈数。所以,完全数就是既不盈余,也不亏欠的自然数。

简介

完全数有许多有趣的性质:

1、它们都是三角形数

例如:

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+……+30+31

8128=1+2+3……+126+127

2、每个都是调和数

它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数。例如:

1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

3、可以表示成连续奇立方数之和

6以外的完全数,还可以表示成连续奇立方数之和,并规律式增加。例如:

28=1^3+3^3

496=1^3+3^3+5^3+7^3

8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3

33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和

不但如此,而且它们的数量为连续质数。例如:

6=2^1+2^2

28=2^2+2^3+2^4

496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8

8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

33550336=2^12+2^13+……+2^24

5、完全数都是以68结尾

如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。(目前科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。)

6、各位数字辗转式相加直到变成个位数是1

6以外的完全数,把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1。例如:

282+8=101+0=1

4964+9+6=191+9=101+0=1

81288+1+2+8=191+9=101+0=1

7、它们被3除余1、被9除余11/227除余1

6以外的完全数,它们被3除余19除余1、还有1/227除余1

28/3 9,余1

28/9 3,余1

28/27 1,余1

496/3 165,余1

496/9 55,余1

8128/3 2709,余1

8128/9 903,余1

8128/27 301,余1

历史

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人,他已经知道628是完全数

  毕达哥拉斯

。毕达哥拉斯曾说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。”有些《圣经》注释家认为628是上帝创造世界时所用的基本数字,因为上帝创造世界花了六天,二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说:6这个数本身就是完全的,并不因为上帝造物用了六天;事实上,因为这个数是一个完全数,所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

在中国文化里:有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常(仁、义、礼、智、信、孝)、天上四方有二十八宿等等,628,在中国历史长河中,之所以熠熠生辉,是因为它是一个完全数,怪生有的学者说,中国发现完全数比西方还早呢。

完全数诞生后,吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力,他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的,他在其《数论》一书中有一段话如下:也许是这样,正如美的、卓绝的东西是罕有的,是容易计数的,而丑的数论、坏的东西却滋蔓不已;是以盈数和亏数非常之多,杂乱无章,它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数,而且又顺理成章:因为在个位数里只有一个6;十位数里也只有一个28;第三个在百位数的深处,是496;第四个却在千位数的尾巴颈部上,是8128。它们具有一致的特性:尾数都是68,而且永远是偶数。但在茫茫数海中,第五个完全数要大得多,居然藏在千万位数的深处!它是33550336,它的寻求之路也更加扑朔迷离,直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。电子计算机问世后,人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言:“能找出完全数是不会多的,好比人类一样,要找一个完美人亦非易事。”时至今日,人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。目前,只知道即便有,这个数也是非常之大,并且需要满足一系列苛刻的条件。

疑难问题

Q1、到底有多少完全数?

A1、寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究,到201326日为止,一共找到了48个完全数。

Q2、有没有奇完全数?

A2、奇怪的是,已发现的48个完全数都是偶数,会不会有奇完全数存在呢?如果存在,它必须大于10^300。至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是12^p+136^p+9的形式,其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

另外,如果存在奇完全数,则它们必能表示p^2*q的形式,除6外的偶完全数亦有此性质。

公式

大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式:如果p是质数,且2^p-1也是质数,那么(2^p-1X2^p-1)便是一个完全数。

例如p=2,是一个质数,2^p-1=3也是质数,(2^p-1X2^p-1=3X2=6,是完全数。

例如p=3,是一个质数,2^p-1=7也是质数,(2^p-1X2^p-1=7X4=28,是完全数。

例如p=5,是一个质数,2^p-1=31也是质数,(2^p-1X2^p-1=31X16=496是完全数。

但是2^p-1什么条件下才是质数呢?

事实上,当2^p-1是质数的时候,称其为梅森素数。到201326日为止,人类只发现了48个梅森素数,也就是只发现了48个完全数。

关关系

古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个,并论述完全数时提出:如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数),则2^(P-1)(2^P-1)是完全数。瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完全数都有这种形式。因此,人们只要找到2^P-1型素数,就可以发现偶完全数了。数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime),因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。梅森素数貌似简单,但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。到201326日为止,人类仅发现48个梅森素数。

值得提出的是:在梅森素数的基础研究方面,法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外,中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式,为人们寻找梅森素数提供了方便;这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。[1]

梅森素数

简介

由完全数公式可知,完全数和梅森素数存在对应关系,因此列出梅森素数表,就可以得出完全数表。

梅森素数表

序号 2^p-1)的位数 发现时间 发现者 (reference)

1、 (无从考究) (无从考究)

2、 (无从考究) (无从考究)

3、 (无从考究) (无从考究)

4、 (无从考究) (无从考究)

5、 13 1461 热矩斯(1536)、卡托迪(1603

6、 17 1588 卡托迪 1603

719 1588 卡托迪 1603

831 10 1750 欧拉(1772

961 19 1883 普沃茨米 1883)、瑟勒科夫(1886

1089 27 1911 泡瓦斯 1911

11107 33 1913 泡瓦斯 1914

12127 39 1876 卢卡斯(1876

13521 157 Jan. 30,1952 罗宾逊 1954

14607 183 Jan. 30,1952 罗宾逊 1954

151279 386 Jun. 25,1952 罗宾逊 1954

162203 664 Oct. 7,1952 罗宾逊 1954

172281 687 Oct. 9,1952 罗宾逊 1954

183217 969 Sep. 8,1957 瑞瑟卢

194253 1281 Nov. 3,1961 科威兹

204423 1332 Nov. 3,1961 科威兹

219689 2917 May. 11,1963 吉尼斯 1964

229941 2993 May. 16,1963 吉尼斯 1964

2311213 3376 Jun. 2,1963 吉尼斯 1964

2419937 6002 Mar. 4,1971 土库曼 1971

2521701 6533 Oct. 30,1978 罗勒、尼克罗 1980

2623209 6987 Feb. 9,1979 罗勒 (罗勒、尼克罗1980

2744497 13395 Apr. 8,1979 尼勒讯、萨罗温萨

2886243 25962 Sep. 25,1982 萨罗温萨

29110503 33265 Jan. 28,1988 孔快特、威勒斯 1991

30132049 39751 Sep. 20,1983 萨罗温萨

31216091 65050 Sep. 6,1985 萨罗温萨

32756839 227832 Feb. 19,1992 萨罗温萨、嘉矩

33859433 258716 Jan. 10,1994 萨罗温萨、嘉矩

341257787 378632 Sep. 3,1996 萨罗温萨、嘉矩

351398269 420921 Nov. 12,1996 阿忙瓜得、GIMPS

362976221 895832 Aug. 24,1997 士班士/GIMPS

373021377 909526 Jan. 27,1998 罗兰/GIMPS

386972593 2098960 Jun. 1,1999 纳烟/GIMPS

3913466917 4053946 Nov. 14,2001 迈克尔/GIMPS

4020996011 6320430 Nov. 17,2003 迈克尔/GIMPS

4124036583 7235733 May. 15,2004 左式/GIMPS

4225964951 7816230 Feb. 18,2005 马特林/GIMPS

4330402457 9152052 Dec. 15,2005 可提斯/GIMPS

4432582657 9808358 Sep. 4,2006 可提斯/GIMPS

4537156667 11185272 Aug. 23,2008 史密斯/GIMPS

4643112609 12978189 Sep. 6,2008 汉斯迈克尔/GIMPS

4742643801 12837064 2009

4857885161 17425170 Jan. 25,2013 可提斯/GIMPS

已发现的完全数

1……6

2……28

3……496

4……8,128

5……33,550,336

6……8,589,869,056

7……137,438,691,328

8……2,305,843,008,139,952,128

9……2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176

10……191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,216

11……13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,128

12……14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128

……

……

47 ……2^42643800 2^42643801-1)

48 ……2^57885160 (2^57885161-1)

由于后面数字位数较多,例子只列到12个,第13个有314位。

到第39个完全数有25674127位数,据估计它以四号字打出时需要一本字典大小的书。

它们的全部因数的倒数之和都是2,因此每个完全数都是调和数。例如:

1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

3、可以表示成连续奇立方数之和

6以外的完全数,还可以表示成连续奇立方数之和,并规律式增加。例如:

28=1^3+3^3

496=1^3+3^3+5^3+7^3

8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3

33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3

4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和

不但如此,而且它们的数量为连续质数。例如:

6=2^1+2^2

28=2^2+2^3+2^4

496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8

8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

33550336=2^12+2^13+……+2^24

5、完全数都是以68结尾

如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。(目前科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。)

6、各位数字辗转式相加直到变成个位数是1

6以外的完全数,把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1。例如:

282+8=101+0=1

4964+9+6=191+9=101+0=1

81288+1+2+8=191+9=101+0=1

7、它们被3除余1、被9除余11/227除余1

6以外的完全数,它们被3除余19除余1、还有1/227除余1

28/3 9,余1

28/9 3,余1

28/27 1,余1

496/3 165,余1

496/9 55,余1

8128/3 2709,余1

8128/9 903,余1

8128/27 301,余1

 

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