对下面两道类似的练习题的处理，大部分学生初次遇到时很难理解，需要反复说明学生才能理解，我任教过的好几届学生均是如此。

1.如果函数f(x)=ln(x²-ax+1)的值域是R，求实数a的取值范围。

2.如果函数f(x)=ln(e^x-x+a)的值域是R，求实数a的取值范围。

令t=x²-ax+1或t=e^x-x+a，要使已知函数的值域是R，需t能取遍所有的正实数，少一个正实数都不行。这一句话大多数学生在听了老师的解释之后是可以理解的。

怎样才能让t取遍所有的正实数？

要让t取遍所有正实数，则t=x²-ax+1或t=e^x-x+a的最小值要小于或等于0。很多学生对于这样的说法难以理解，主要是因为这样做不满足对数的真数要大于0的要求。

对数的真数要大于0，这是定义域的要求，而不是值域的要求。

当x²-ax+1的最小值小于或等于0时，不满足真数大于0的自变量x会被排除在定义域之外，这是函数的定义域要考虑的问题，而不是值域为R要考虑的问题。

可以从正反两方面举例说明这个问题。

对于函数f(x)=ln(x²-ax+1)来说，当a=1时，x²-ax+1的最小值为3/4，该函数的最小值为ln3/4，其值域是｛yy≥ln3/4｝,不是R；当a=2时，x²-ax+1的最小值为0，这时，该函数的值域是R，其定义域为｛xx≠0｝。

还有一种帮助学生理解这个问题的方法。让学生求函数f(x)=ln(x²-ax+1)或f(x)=ln(e^x-x+a)的定义域为R时a的取值范围，比较所给的函数定义域为R和值域为R时两者之间的不同。

这样讲过之后，仍有学生感到不能接受、难以理解。

有的学生难以理解这个问题，是因为他们上课时仅限于听，不动手做。不亲自动手去探索研究，即使听明白了，用不了多长时间也会忘记。

学生的问题是学生的问题，老师要考虑的是尽最大可能给学生讲清楚、说明白。

这两天上课时再一次讲到这个问题，和过去一样，仍有部分学生难以理解处理问题的方法，我突发奇想，用打比方的方法做了说明。

以吃饱饭为例来说明这个问题。

假如一个人吃四两饭就饱了，那么本着节约的原则，我们给这个人的饭的量应该不超过四两，比如说三两半（古语说“茶七饭八”，少吃一点有利于身体健康，但不能少的太多），那么这个人就能把饭吃完，一点也不剩。节约的确是节约了，但这种情况下这个人会吃不饱，但这不是节约要考虑的问题。

如果要请很多人吃饭，那么点菜的标准应该是使每一个人都吃饱。请客时提供给大家的食物是一样的，不管是按人还是按桌，不能有明显的差异。为了能让大家都吃饱，所提供食物的量就要大于或等于饭量最大的那个人或那一桌人的需要。这样做，食物必然有剩余，会造成浪费，现实生活中人们请客吃饭就是这样的。

倡导“光盘行动”很多年，为什么效果不理想？因为请客的人考虑的首要问题不是节约，不能让任何一个人吃不饱，要让每一个人都吃饱吃好才行。

如果本着节约的原则请客，效果一定不好，因为节约和请客的标准是相互矛盾的。

要想节约，就不要请客，尤其是不能一次请很多人吃饭。

定义域为R的问题，类似于“节约”，值域为R的问题，类似于“请客”。