§2.1　向量的加法

一、教学目标

 1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．

2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．

3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．

二、教学重点难点

1.重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量

2.难点：理解向量加法的定义

三、教学设计

(一)自主学习

 1．如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)

A.→(FD)＋→(DA)＋→(DE)＝0

B.→(AD)＋→(BE)＋→(CF)＝0

C.→(FD)＋→(DE)＋→(AD)＝→(AB)

D.→(AD)＋→(EC)＋→(FD)＝→(BD)

答案　D

解析　→(FD)＋→(DA)＋→(DE)＝→(FA)＋→(DE)＝0，

→(AD)＋→(BE)＋→(CF)＝→(AD)＋→(DF)＋→(FA)＝0，

→(FD)＋→(DE)＋→(AD)＝→(FE)＋→(AD)＝→(AD)＋→(DB)＝→(AB)，

→(AD)＋→(EC)＋→(FD)＝→(AD)＋0＝→(AD)＝→(DB)≠→(BD).

故选D.

2.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：

(1)→(DE)＋→(EA)＝________；

(2)→(BE)＋→(AB)＋→(EA)＝______；

(3)→(DE)＋→(CB)＋→(EC)＝________；

(4)→(BA)＋→(DB)＋→(EC)＋→(AE)＝________.

答案　(1)→(DA)　(2)0　(3)→(DB)　(4)→(DC)

3．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则→(OA)＋→(OB)＋→(OC)＋→(OD)等于(　　)

A.→(OM)   B．2→(OM)

C．3→(OM)   D．4→(OM)

答案　D

（二）：合作探究

探究一　向量加法的三角形法则和平行四边形法则

思考1　使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？二者有何区别与联系？

思考2　当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？

思考3　实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a、(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？

探究二　向量加法的多边形法则

思考　向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．

（三）例题精讲 

例1　如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.

解　作法1：在平面内任取一点O(图1)，作→(OA)＝a，→(AB)＝b，则→(OB)＝a＋b.

作法2：在平面内任取一点O(图2)，作→(OA)＝a，→(OB)＝b，以OA、OB为邻边做OACB，连接OC，则→(OC)＝→(OA)＋→(OB)＝a＋b.

方法小结　已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据三角形法则或平行四边形法则作图．

例2　化简：

(1)→(BC)＋→(AB)；(2)→(DB)＋→(CD)＋→(BC)； (3)→(AB)＋→(DF)＋→(CD)＋→(BC)＋→(FA).

解　(1)→(BC)＋→(AB)＝→(AB)＋→(BC)＝→(AC).

(2)→(DB)＋→(CD)＋→(BC)＝→(BC)＋→(CD)＋→(DB)＝(→(BC)＋→(CD))＋→(DB)＝→(BD)＋→(DB)＝0.

(3)→(AB)＋→(DF)＋→(CD)＋→(BC)＋→(FA)＝→(AB)＋→(BC)＋→(CD)＋→(DF)＋→(FA)

＝→(AC)＋→(CD)＋→(DF)＋→(FA)＝→(AD)＋→(DF)＋→(FA)＝→(AF)＋→(FA)＝0.

方法小结　解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．

例3　长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h.

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)；

(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度)．

解　(1)如图所示，→(AD)表示船速，→(AB)表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则→(AC)表示船实际航行的速度．

(2)在RtABC中，|→(AB)|＝2，|→(BC)|＝5，

所以|→(AC)|＝ |2(BC)＝＝≈5.4.

因为tan∠CAB＝2(5)，由计算器得∠CAB≈68°.

答　船实际航行速度的大小约为5.4 km/h，方向与水的流速间的夹角约为68°.

方法小结　速度、位移等物理量均为向量，因此此类问题可以通过建模，转化为数学中的向量问题解决．

（四）当堂检测

1　如图，已知向量a，b，c，利用三角形法则作出向量a＋b＋c.

2　化简：(1)→(AB)＋→(CD)＋→(BC).

(2)(→(MA)＋→(BN))＋(→(AC)＋→(CB))．

(3)→(AB)＋(→(BD)＋→(CA))＋→(DC).

解　(1) →(AD). (2) →(MN). (3) 0.

3　若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝________；a＋b的方向是________．

答案　8 km　东北方向

（五）课堂小结:

   1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

（六）作业：

（七）教学反思