§1　从位移、速度、力到向量

一、教学目标

 1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．

2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．

3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

二、教学重点难点

1.重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

2.难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

三、教学设计

(一)自主学习

 1．下列各命题：

向量→(AB)的长度与向量→(BA)的长度相等；

有向线段就是向量，向量就是有向线段；

向量的大小与方向有关；

向量的模可以比较大小．

其中真命题有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

答案　B

2．如图，在四边形ABCD中，若→(AB)＝→(DC)，则图中相等的向量是(　　)

A.→(AD)与→(CB)   B.→(OB)与→(OD)

C.→(AC)与→(BD)   D.→(AO)与→(OC)

答案　D

3．如图，在ABC中，若DEBC，则图中是共线向量的有________．

答案　→(ED)与→(CB)，→(AD)与→(BD)，→(AE)与→(CE)

4．在四边形ABCD中，→(AB)→(CD)且|→(AB)|≠|→(CD)|，则四边形ABCD的形状是________．

答案　梯形

（二）：合作探究

探究一　向量的概念和几何表示

思考1　向量与数量有什么联系和区别？ 向量有哪几种表示？

思考2　如何表示向量？

思考3　由于向量是有大小的，那么它的大小如何表示呢？

思考4　向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

思考5　向量与有向线段有什么区别？

探究二　几个向量概念的理解

思考1　长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

思考2　满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

思考3　在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？

探究三　平行向量与共线向量

思考1　如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

思考2　如果非零向量→(AB)与→(CD)是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考3　若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？

（三）例题精讲 

例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

若a≠b，则a一定不与b共线；

若→(AB)＝→(DC)，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；

在平行四边形ABCD中，一定有→(AB)＝→(DC)；

若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

若a＝b，b＝c，则a＝c；

若ab，bc，则ac.

解　两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确．→(AB)＝→(DC)，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故不正确．在平行四边形ABCD中，|→(AB)|＝|→(DC)|，→(AB)与→(DC)平行且方向相同，故→(AB)＝→(DC)，正确．零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确．a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，正确．b＝0时，由于a的方向与c的方向都是任意的，ac可能不成立；b≠0时，ac成立，故不正确．

方法小结　对于命题的判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．

例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

(1)作出向量→(AB)、→(BC)、→(CD)；

(2)求|→(AD)|.

解　(1)向量→(AB)、→(BC)、→(CD)如图所示．

(2)由题意，易知→(AB)与→(CD)方向相反，故→(AB)与→(CD)共线，

又|→(AB)|＝|→(CD)|，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD.

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴→(AD)＝→(BC)，

∴|→(AD)|＝|→(BC)|＝200 km.

方法小结　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

例3　如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

(1)写出与→(EF)共线的向量；

(2)写出与→(EF)的模大小相等的向量；

(3)写出与→(EF)相等的向量．

解　(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF =2(1)BC.又因为D是BC的中点，

所以与→(EF)共线的向量有： →(FE)，→(BD)，→(DB)，→(DC)，→(CD)，→(BC)，→(CB).

(2)与→(EF)模相等的向量有： →(FE)，→(BD)，→(DB)，→(DC)，→(CD).

(3)与→(EF)相等的向量有：→(DB)与→(CD).

方法小结　(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；

(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．

（四）当堂检测

1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

解　不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确．

不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．

正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.

不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定

2　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．

3　如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中所有向量中与→(OA)、→(OB)、→(OC)相等的向量．

解　→(OA)＝→(CB)＝→(DO)；

→(OB)＝→(DC)＝→(EO)；

→(OC)＝→(AB)＝→(ED)＝→(FO).

（五）课堂小结:

   1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义的平行．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．

（六）作业：

（七）教学反思