加载中…小数除法该不该有余数吗
(2018-09-25 19:21:36) | 分类： 2018小课题 |
老师A:小数除法根本没有余数的说法。小数除法应该研究计算结果是否是循环小数，而不是是否有余数。小数除法法则中说到“除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数……然后按照除数是整数的小数除法来计算。”而除数是整数的小数除法法则中有一句：如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的末尾添0，再继续除，也没有提到最终的余数的问题。如果说除到哪一位，剩下的是余数，那到底除到哪一位呢？这样的话，余数岂不是不确定啊，何谈余数？
老师B：我也支持你的观点，小数除法竖式运算中习惯称谓的“余数”不是真正的余数。在小数除法中，商计算到十分位、百分位……，都会存在与其对应的被除数余下的数。如1.5÷0.4所列竖式计算：商计算到个位时，余数为0.3；商计算到十分位，余数为0.02；商计算到百分位，被除数被除尽余数为0.显然这里的“余数”仅仅是指商计算到某一数位后被除数还余下的数，这些余下的数还会随着继续运算不断出现新的“余数”，同时所得到的商也在变化（商的小数位数增加），即“余数”的出现与得到的商具有相对性。同一个小数除法算式可以得到多个这样的“余数”。这些“余数”只能是随除法运算进行而不确定，和“有余数除法的商和余数唯一确定”有着本质的区别。因此上述算式中的“0.1”仅仅是商计算到个位时被除数还余下的数，并不是真正的余数。1.7÷0.2是能被除尽而没有余数的，只能写成1.7÷0.2=8.5，而不能写成用“商和余数”来表示结果的算式。
老师C：有余数除法是指整数除法中，被除数除以除数不能得到整数商而有余数的除法。在有余数除法中，商和余数都是整数，可以用“被除数÷除数=商……余数”这样的算式表示，如23÷5=4……3。该算式是用“商和余数”表示有余数除法结果的书写形式，但不是等式，“4……3”既不是数也不是式，只能作为有余数除法的计算结果。
有余数除法是可以直接应用于所求结果是“最多”和“剩余”的一类应用题的解答，如孙老师文章中所引用的×××版教材中的题：篮球单价40元，花900元可以买多少个？还剩多少元？由于该题满足“有余数除法”的条件，就可以通过竖式计算出商和余数，直接写出900÷40=22……20的算式。
老师D
：小数（分数）除法没有余数，小数除法中由于商可以是小数，若所得商是有限小数，最终被除数是会被除数除尽而没有余数；若商是无限小数，可将小数除法化为分数除法，而分数除法所得商是确定且唯一的，被除数能被除尽也没有余数。因此才有了“有余数除法”只存在于整数运算中。
老师E：我也遇到这种情况，有学生写成“1.7÷0.2=8……0.1”.
数学问题尽管也是求“最多”和“剩余”，但列出的1.7÷0.2是小数除法没有余数，题中“还余多少厘米”不能当成余数来求，也就不能将所求问题的答案看做“商和余数”，竖式计算后直接写出1.7÷0.2=8……0.1的算式是不妥的。
老师F：以1.7厘米中有几个0.2厘米，还剩多少厘米？这道题为例;学生列出了下列算式：
1.7÷0.2=17÷2
17÷2=8……1
1.7÷2≠8……1
请问这三道算式的关系该如何解释？（依据“使用商不变性质，商不变余数变化”，老师们又开始了余数还不还原的问题争论：学生错在没有将余数“还原”等等）
我的观点：其实此类问题还有一些同学是这样处理的：比如阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装几个礼盒？
2.5÷1.5=16.666……（个）。可包装16个礼盒。
该题所计算出的数值是大于16而小于17，只能够包转16个礼盒，所得商的小数就可省略掉，这样根据解决实际情况取商的近似值的方法就是“去尾法”。
所以：1.7÷0.2=8.5（本）≈8（本），1.7-0.2×8=0.1（厘米）
答：可放书8本，还余下0.1厘米。
老师G：小数除法也应当是有余数的。如0.09÷0.04商2，余数是（），这类题目是考查余数所在的数位问题。要不商2以后余下的部分不叫余数又叫什么呢？
1.7厘米÷0.2厘米
=17毫米÷2毫米
=8（本）……1（毫米）
=8（本）……0.1厘米
此言一出，引起了前面几位老师的深思……
看来，小数除法到底有没有余数还真是老师们普遍困惑的问题，值得思量一翻。于是我们当即就上网查阅相关资料，网上有一篇《除数是小数的除法有余数吗？》，其中提到金成梁编著的《小学数学疑难问题研究》，这本书在第47页对带余除法的定义是：一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法叫做“带余除法”。带余除法的定义也可以这样表述：已知两个整数a、b（a≠0），要求这样的两个整数q、r，使得q、r满足：b=aq＋r，0，这样的运算叫做带余除法。求得的整数q叫做不完全商，r叫做余数。b、a仍然分别叫做被除数和除数。这四个数的关系记作b÷a=q……r（0）
看来，“带余除法”是定义在自然数集上的一种运算。只要除数不为零，不完全商和余数都存在，并且都是唯一的。按照这一说法，小数除法应该没有余数这一说法。
但是王相国在《不完全商与小数的带余除法》（山东教育,?1998,
Z3）一文中又作出了这样的描述：在实际解答小数带余除法的过程中，由于有很多师生不明确小数带余除法的意义，故得不出一个确定的答案。例如：1.82÷1.26，商是多少?余数是多少？很多师生做出很多不同的答案：商是1余数是0.56；商是1.4，余数是0.056；商是1.44，余数是0.0056；……
其实要说明这一问题，关键是要明确不完全商的概念。当a÷b不能得到整数商时，如果a最多包含q个b，也就是说，a大于qb而小于(q+l)b，即当qb时，那么这个整数q叫做不完全商，而a与qb的差叫做余数。
从上面不完全商的概念可以看出：不论a、b(b≠0)是整数还是小数，均可作带余除法；不完全商是一个整数；做带余除法的方法为：按照除法运算法则作a÷b，当商到个位仍不能除尽时，所得到的整数部分商为不完全商，而被除数减去除数与不完全商的积所得的差，即为余数；对于确定的数a、b，不完全商与余数是唯一的。
按照这一说法，小数除法也可能存在余数。
于是我们又陷入了争论……
这两个结论看似矛盾，但如果能够厘清不完全商和带余除法这两个概念的定义范围，这个难题就可以迎刃而解。从上述内容可以看出，不完全商和带余除法是分别定义在不同集合上的两个概念。带余除法是在数论中作的定义，仅限于自然数范围；而不完全商是在有理数范围内作的定义，在这个定义域之内，除不完全商为整数、除数不为0外，被除数、除数和余数还可为小数。
因此，在研究小数除法是否有余数这一问题时，如果不考虑数的范围，简单地给一个“有”或“无”的结论都是不够严密和科学的。我们可以通过两个角度来理解小数除法中的余数。一，按不完全商定义来理解，余数可以为小数；二，因为计算除数是小数的除法时，先要将除数转化成整数进行计算，因此，我们还可以理解为小数除法借用了整数带余除法中余数的概念。在利用商不变规律把小数除法转化成整数除法进行计算时，不完全商不变，但余数要和除数同时扩大相同的倍数。因此，要得到原来的余数，还要缩小相同的倍数。
于是，大家在一道题中收获了很多……此时的我：不由得想起一句话--数学真是妙不可言！
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