小学数学中的符号世界

斗门街道镐京小学  罗海艳

摘 要：数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

关键词：符号化思想; 数学; 渗透

在全球信息化，科技高度发展的时代，符号思想在世界得到广泛交流和重视，数学发展到今天已成为一个符号化的世界。小学数学课程中的数学符号大致可分为：数学符号、运算符号、关系符号和计量符号四大类。本册教材在“数的产生”一课中，介绍古时候人们用实物记数、结绳记数、刻道记数等，后来人们逐渐发明了一些记数符号。经过很长时间，才产生了现在这种通用的阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。这些通用数字不但可以变幻丰富多彩的数字世界，也为不同地区、不同种族、不同语言的人们提供共同的数字语言和社会秩序，这就是符号化思想的价值所在。

下面，我将从符号化思想的发展、在教材以及教学中的渗透三个方面来具体论述。

一、符号化思想的发展

使用符号是数学史上的一件大事。代数就是由于引用了较好的符号系统才发展成一门学科。16 世纪以前, 代数的书写方式基本上都是文章式的, 只不过用了一些特殊的编写和数字符号。古希腊学者丢番图曾经用字母表示未知数和一些运算, 成为符号代数的先驱。法国数学家韦达作为文艺复兴运动的推动者, 他第一次系统地用符号取代过去的缩写, 用字母表示已知数、未知数及其运算,确立了符号代数的原理和方法, 使代数形成国际通用的符号体系。由于韦达在确立符号代数学上的功绩, 而被西方誉为“ 代数学之父”。对韦达使用字母作了改进的是笛卡尔。他用字母表中前面的一些字母表示已知数, 用后面的字母表示未知数。莱伯尼兹对各种符号进行了长期的研究。创造了许多符号。英语医生雷科德最先引入了等号“=”。英国数学家哈里奥特首创大于号“>”和小于号“<”。1489 年, 德国人魏德曼用符号“＋” 、“－”表示箱子的重量的超、亏。后被数学家用来表示加减。乘号“×”是数学家奥特雷德最先使用的。除号“÷”是13世纪一位瑞士人首先使用的。

经过长期的深化和人们的筛选、改造, 当前的数学符号已形成共同约定的、规范的、形式化的系统。这种数学符号系统近几十年来, 数学有了飞速的发展: 新的数学知识不断产生, 新的数学方法不断出现, 它的应用范围日益扩大。传统的中小学数学课程教材已不能适应这种新的变化, 迫切需要对之进行改革。 

因此, 在国外比较广泛地开展起数学教育现代化运动。在这场运动下, 各国都针对自己的实际情况对小学数学教材、教学方法、教学思想等进行了改革, 对符号化这一思想也有了深刻的认识, 并对相关内容做了对应的改进和调整。

二、符号化思想在小学数学教材中的体现和渗透

符号化思想的渗透在小学数学教材中是根据不同的教学阶段的具体情况进行的。渗透主要从以下几个方面作了有计划、有步骤的安排。

1.引入了一些数学符号。

在我们生活中, 有很多大家公认的统一标志, 比如,某场地有标志“P”表示可以停车; 某路边标志牌上画有轮椅, 表示残疾人的行道: 铁路、公路、航空都有它们各自的标志, 这些都是生活中的符号, 从某种意义上说, 我们生活在一个被“符号化”的世界。数学符号是数学的语言, 也是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义, 会用符号解决实际问题和数学本身的问题, 发展学生的符号感。

小学教材中大致出现如下几类符号:

(1) 个体符号: 表示数的符号, 如 1、2、3、4…, 0； a、b、c…，π、x 以及表示小数、分数、百分数的符号。

(2) 数的运算符号: ＋，－，×，÷。

(3) 关系符号: =, ≈, >, <, ≠等。

(4) 结合符号:（）、[]等以及表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。

人教版教材从一年级就开始用“□”或“（ ）”代替变量 x ，让学生在其中填数。例如：1 + 2 = □ ，6 +（ ）=8 ，7 = □+□+□+□+□+□+□；再如：学校有7个球，又买来4个，现在有多少个？要学生填出□○□ = □ （个）。

又如，在四年级上册教材“角的度量”单元中，介绍角通常用符号“∠”表示；角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。这种符号化有一个从具体——到表象——抽象——符号化的过程，且具有符号化语言的浓缩、简洁、明了等特点，有利于培养学生抽象概括能力，提高单位时间学习效益。

当然这些符号的引入也不是说是杂乱无章、漫无目的的, 它是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、一定的逻辑, 有计划、有步骤的引入的。例如, 初入学儿童在学习 1至5 的认识时, 教材并没有直接呈现 1 到 5 这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们, 而是通过实物、画片, 在具体情境中数“出 1”头象“, 2”头犀牛“, 3”只长颈鹿、“4”朵云……, 然后呈现数字, 这样使学生能够很清楚地知道这些数所表示的意义, 而不是凭空产生的。这对于初入学的儿童的学习是非常有利的, 它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义, 为学生以后学习数学奠定了基础。这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。

2.用符号代表数的思想。

引进用字母表示数, 是用符号表示数量关系和变化规律的基础。用符号表示具体情境中的数量关系, 也像普通语言一样, 首先要引进基本字母。在数学语言中, 像数字以及表示数字的字母, 表示点的字母, 运算符号, 关系符号等, 都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

从第二学段开始接触用字母表示数, 是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数,是实现认识上的一个飞跃。用字母表示数, 可以简明地表达数量关系的一般规律。用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系, 而用字母表示, 既简单明了, 又能概括出数量关系的一般规律, 在较大范围内肯定了数学规律的正确性。

比如, 四年级下册第三部分——运算定律与简便运算, 教材的第 28 页陈述加法交换律时, 除运用日常语言外,还用了数学符号语言, 即字母等式“ a+b=b+a”。在陈述加法结合律时也用了字母表达式“( a+b) +c= a +( b + c ) ”,另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。显然,它比用具体的数表示更加概括、明确, 比用日常语言表示更加简明、易记。通过以上各阶段的逐步过渡, 学生将逐步领会用字母表示数的优越性, 符号化思想也逐渐地初步形成。

3.列方程解应用题的思想。

用方程来解应用题, 解法本身蕴含着符号化思想,例如, 解应用题“ 小营村有棉田 75 公顷,是全村耕地面积的 60%, 求全村耕地有多少公顷? ”。解决这道题时,首先就应该进行代数假设, 用字母 x 代替全村耕地的面积, 这就是用字母代替未知数, 与已知数平等的参与运算; 其次, 是进行代数翻译, 把题中的自然语言表达的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程 x×60%=75。最后, 把字母看成已知数进行四则运算, 达到求解的目的。

整个分析, 解题过程, 都涉及到了用字母代表数, 变元思想等等, 可以说是符号化思想在数学中的集中体现, 对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。新课标下的小学数学教材, 把应用题的学习放在第三学段, 一方面考虑到小学生的年龄思维特点, 另一方面也根据符号化思想在数学教材中的渗透, 把符号化思想提升到了一个新的高度。

综观小学数学教材, 在符号化思想的渗透上, 从最初的数学符号的引入, 接着用字母符号代表数, 最后过渡到列方程解应用题思想, 一步一步,有步骤, 有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合, 可以说新教材设计的思路相当清晰, 编制的也相当的完美。

三、符号化思想在小学数学教学中的渗透

新课程标准中指出“课程内容的学习, 强调学生的数学活动, 发展学生的数感, 符号感, 空间观念, 统计观念, 以及应用意识与推理能力。还指出符号感主要表现在: 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示;理解符号所表达的数量关系和变化规律; 会进行符号间的转换, 能选择适当的程序和方法来解决用符号所表达的问题。”从上面我们可以看出新课标非常重视符号感的培养。因此,在教学中要渗透符号化思想。那么如何在教学中渗透符号化思想, 应注意些什么呢?

1.让学生正确理解与使用数学符号。

在实际的教学中, 学生使用这些数学符号时, 往往会出现如下错误。例如: 在教学低年级文字题“ 15 比 9 多几?”小学生由于对加法的意义的不理解, 往往看“ 多”就用“ +”,看“少”就用“－”。误列式“为 15+9”。像这样的例子, 教师在教学中注意让学生理解符号的内涵, 正确理解使用符号所表示的概念。如果只从解法上予以纠正而不从符号化思想上予以渗透, 将事倍功半, 学生今后还会出现类似的错误。

2.在渗透符号思想的过程中要多启发、多引导, 引起学生的自主建构。

例如: 40.1<40.□, 学生在方框里填上一个数很容易,但教师要明白, 若将方框里填上 x 就变成一元一次不等式。因此, 教师应引导学生继续思考: 方框内最多可以填几个数?这种思考能使学生初步了解变元思想。再如: 在小学教材中用字母表示数有表示运算定律的、表示运算关系的、面积体积公式等。如加法交换律 a+b=b+a,教师在教学时就应该遵循循序渐进的原则, 从学生的生活中、原有的认知结构出发, 引导学生自主建构起用字母代替数的符号化思想。

3.掌握日常语言与符号语言间的转化。

数学教学实质上是数学语言的教学。在教学活动中,要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转化, 即能将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。反之, 也能将符号语言转化为问题, 看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。因此, 教师不能只把数学符号当作“ 一种规定的记号”简单地教给学生, 还应当把符号化思维渗透于教学的始终, 以培养学生抽象思维的能力。

四、后记