基于核心素养的数学课堂教学

雷书红

问题：什么是素养？

答案：1、素质与素养；2、平时所养成的良好习惯。

思考：培养一个孩子（这个孩子可能未来不从事数学），培养的终极目标是什么呢？

结论：终极目标就是学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。其实提升孩子的数学素养，就是终极目标。

孩子是否会想问题不是老师教会的，是他们自己领悟出来的，是一种经验的积累，所以老师要帮这孩子积累经验，一个是思维的经验：会想问题；一个是做事的经验：会做事情，这两个经验是很重要的。教师记住三件事情：第一个就是让孩子们掌握知识，这是必须的；第二个提高能力；第三个发展素养。素养是终极目标，终极目标是最难实现的。

今天主要从两个方面来谈一谈，第一，是认识数学核心素养，第二，提升数学核心素养。

一、认识数学核心素养

（一）关于核心素养

1. “核心素养” 最早是在1997年由经合组织 （OECD）于启动的项目“素养的界定与遴选：理论和概念基础”中提出。经合组织于2003年出版的最终研究报告中将“核心素养”的内涵分为“人与工具”、“人与社会”、“人与自己”三个素养框架。

2.北京师范大学林崇德教授主编的《21世纪学生发展核心素养研究》书中对“核心素养”作了如下的理解和界定：核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。

（二）关于数学核心素养

1. 2015年，马云鹏教授指出，《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的10个“核心词”（即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识），其实就是小学数学学科的核心素养。

2. 中央民族大学教授孙晓天《数学素养的由来与本质特征》：核心数学素养：公民必备的数学品质和关键的数学能力。

3. 2016年，“数学课程标准修订组”组长史宁中教授将数学学科的核心素养解读为3句话：用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界。  

 更为重要的是，史教授沟通了这3个核心素养与“数学课程标准”所提及的数学基本思想与核心词之间的关系：什么是数学的眼光？什么是数学的思维？什么是数学的语言？

中国学生发展的核心素养（图略）的研究成果：核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为（图略）国家认同、理性思维等十八个基本要点。

数学核心素养就是：具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。

数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。

第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。

第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。

第三，青少年科技创新活动是数学学科素养培养的很好途径。

第四，通用技术课程也是数学学科素养培养的有效途径。

二、提升数学核心素养

在小学数学中如何提升孩子的核心素养，主要从三方面谈起。第一，数学抽象；第二，逻辑推理；第三，数学建模。

（一）数学抽象

抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究的对象。数学研究对象来自两点，一个是数量与数量关系，一个是图形与图形关系。案例：判断天安门是否轴对称图形。天安门城门是一个轴对称图形（图略）

不仅小学数学，整个数学，抽象本质上有两种方法，第一个方法是对应的方法，第二个方法是内涵的方法。建议小学一、二年级用对应的方法，有的概念一开始引入得用对应的方法，然后用内涵的方法。

数是什么？数的本质是什么？它涉及到两个素养，一个涉及符号意识，另一个涉及到数感。案例1：狗和狼。数量的本质是多和少，抽象到数就是大和小，数的本质是大和小。案例2：认识数字2。

抽象本质的第二个方法是内涵的方法。案例：读数。专家支招：读数的关键就两条，一个是符号，0-9；第二个是数位。

运算也有两个方法。加法怎么讲？加法的本质怎么讲？加法是最重要的。案例：5以内加法3+1=4。这里有两个事情没有说出来，什么叫加？什么叫等？专家支招：这头有3个小方块，这头有4个小方块，问小孩哪头多，小孩说那头多，这头再加上一个小方块，问哪头多，说一样多，所以3+1=4，什么叫加得清楚？什么叫等也要清楚？什么叫等？等有两个概念，一个是运算的结果，还有一个表示量相等。

因此得出：就是所有的符号，我们和孩子讲，可能讲的不是很清楚，但是你给孩子创设一个情境，让孩子去感悟。

对话：有学生问专家是竖式重要，还是横式重要？专家提出竖式一点也不重要，横式重要。竖式是计算程式，横式表达的是计算算理，计算的道理和计算的程式应该搞清楚，这个就是课程标准说的应该懂得算理。所以我们小学老师，要让孩子们慢慢知道为什么会这样，说不清楚不要紧，创设背景能够感悟就行了，也不用着急。

问题：点线面是什么？涉及到两个素养：几何直观和空间想象。点、线、面是对空间图形的抽象。过去先讲点、线、面，后讲体，是根据难易程度来的，而现在则相反。日常生活中看见的几何图形都是三维的，都是立体的，必须从立体的把点、线、面抽象出来，要有一个抽象的过程，点线面是抽象的结果，0维是点，1维是线，2维是面，3维是体。提醒：关于长度。度量的本质是长度，面积也是同长度有关的，体积也是同长度有关的，教几何位置关系是重要的，度量是重要的，度量关键是长度，抓住长度做文章就不会出任何问题。几何的关键是度量，度量的关键是长度、是距离。

刚才说的是抽象的，抽象是最后用符号表达，是一种符号意识。数是对数量的抽象，抽象的核心是舍去现实背景，舍去了所有的物理背景。现在又涉及到了另一个核心素养就叫数感，数感是对数的感悟，感悟的核心是要回归现实背景。

举例：感悟数100,100粒豆子和100匹马（感觉不同）；100元钱去超市，100元钱去买房（场合不同），数的大小相等。

提问：估算和精算有什么区别？精算是对数的运算，估算是对数量的运算，这是小学义务教育阶段估算最核心的事情。小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，要有背景的就是要有数量。例如：让孩子知道度量河南到北京的距离用千米比较合适，度量教室的长度用米，度量课桌的长度用厘米或分米，在教室上是用米，县城之间的距离要用千米。在哪个单位上估是要有背景的，只要选择了合适的单位，在合适的背景单位上估是第一条，第二条，估算就是大一点估，小一点估，够不够的问题，能不能的问题。

举例：课标第26页习题李阿姨买鱼。（题和答案略）

这类问题在生活中很常见，从数学上看，第一个问题要判断100元是否超过三种物品的价格总和，适当放大；第二个问题是要判断三种物品的价格总和是否超过了100元，适当缩小。一般不需要精确计算，只需要估算就可以了。可见，估算在现实中是有用的。

确定左、右，以谁为标准，也是要根据具体的情境来确定。如：观察的对象是无生命的物体（如下图），一般确定左右的标准是观察者。 圆的左边有（3）个三角形，右边有（4）个三角形；观察的对象是人或动物，有两种情况。当问及的问题涉及到人或动物身体的左右时（如下图），一般以人或动物为标准，即以被观察者为标准。  

                       
    他（右）手拿着计算器。　　小猫抬的是（左）爪。

当问及的问题不涉及到人或动物身体的左右时（如下图），以观察者为标准。 

（二）逻辑推理

课标的10个核心理念中提到的运算能力和推理能力，刚才提及到了运算能力，现在说一说看逻辑推理（关系图略）。今天重点介绍归纳推理。

根据小学生的认知发展特点在低年级应该多侧重于直观的、几何形象的、数量相对比较少的数学对象，多侧重于外部特征、外部关系的内容；中年级要关注从直观形象的状态向本质抽象的水平的过渡；高年级可以选择抽象的、数量相对较多的数学对象，多侧重于内部特征与内部关系的内容，并注意探讨数学对象与属性之间的因果关系。这应该是小学归纳推理课程实施的基本点。

在数学教学中，许多知识都是通过归纳探究成因，例如：计算方法规定的理由。（通过经验）

质疑：混合运算 为什么先乘除后加减？5+2×3=5+6=11

举例：教室门口有5名同学在玩，后来加入了2组，每组3名同学。现在一共有多少名同学在玩游戏？

缘由：原来的同学数+后来的同学数=现在的同学数。通过创设情景，借助生活经验，让于感悟为什么先乘除后加减。现在细细回味，是不是会发现，混合运算教学中，是在讲两个或者两个以上的故事，“先乘”就是先讲完一个故事，“后加减”则是接着再讲一个又一个故事。这都是归纳推理，探究成因。我们教师要通过这些教学，让学生感悟数学抽象的思维方法。

（三）数学建模

数学建模是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程，是用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。

数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是用数学符号表达式和图表。

案例：“异分母分数加减法”（案例略）。学生经历了“问题情境——建立模型——解释或应用”这一重要的数学活动过程，逐步体会到将实际的问题进行数学模型化。因此，在教学中让学生体验到数学发现的全过程，发展数学思维、扩大知识面，为培养学生的数学模型思想提供载体。

案例：“梯形的面积公式S＝（a+b）h÷ 2”和“鸡兔同笼”（略）的问题模型，这样，使数学模型的外延不断得以丰富和拓展。

教学中，可以这样做：

1、抓住几何知识间的纵向联系，构建数学知识结构模型。

其中，几何教学是从一维的线，到二维的面，再到三维的体这样一个学习脉络，化归思想就是将这个学习脉络串起来的，让学生掌握学习度量的一般学习方法构建几何知识的结构。

举例：低年级，二上学习一维的长度度量，认识厘米（图和案例略P2—3）；中年级学习二维的面积度量时（图和案例略三下第五单元面积P61—66）；高年级学习三维体积的度量（图和案例略五下第三单元长方体和正方体《长方体和正方体的体积》P27—30），

2、抓住知识间的横向联系，构建分数知识结构模型

（1）教材编排反映的分数模型观

一二年级学习平均分，积累平均分的活动经验，让学生经历“平均分”的操作活动，为初步认识分数积累了大量经验。

三年级是学习分数的初步认识。在“平均分”的基础上，体会“不够分”从而产生新数的必要性，同时借助多种图，帮助学生直观认识分数所表示的整体和部分的关系。这是在一个维度认识分数的基本模型。

五年级是学习分数的再认识。扩充分数产生的背景；扩充……这个阶段认识的分数，由于单位“1”的扩充，，分率和数量的值多数是不等关系，是这个阶段学习的难点。此时，学生从整体与部分的倍比关系、分数单位的度量和分数可以表示商这三个维度认识分数的模型已经具备。

六年级是学习分数的运算和解决实际问题。此时，分数乘除法的计算模型是重点内容，使学生初步建立起四维的分数含义和模型。

六年级学习“比”的知识，沟通了分数、除法、比之间的关系，进一步完善分数的含义，并大量运用计算和解决问题。此时，部分与部分的模型是重点，它使学生进一步完善和健全分数的四维模型。

（2）通过横向关系构建分数的完整模型

老师随着学生每一步分数模型的建立，要及时梳理、归纳和归类，引导学生建立完整的知识结构的模型。

小学六年级时，学到的分数可以归为四类：一是比率，即部分与部分、整体与部分的倍比关系；二是度量，即包含了几个分数的单位；三是运作，即运算过程中的分数；四是商，也就是分数的另一种产生角度，有了分数，使所有除法计算畅通无阻。要把这思维的知识串联起来，通过对比和联系，构建分数的整个知识结构模型。

只有学生在获得这个结构化的模型时，才能对分数知识形成深刻的、真正的理解，才会依照知识间的逻辑联系，以基本原理和概念为核心，形成结构功能良好的认知结构，而不是只在头脑中建立一个个单独的储藏室。

3、抓住学生的学习难点，完善知识结构模型

长度单位的知识（长度单位结构图略），因为分米在生活中应用比较少，不常用到为什么还要有分米呢？这源于知识结构模型的建立。这样，每相邻长度单位间的进率是10，按照这个规则，若是没有分米，米与厘米之间就少了一个10，因此加上一个分米，十进制的结构模型就完整了。

另外，看面积单位，每相邻面积单位间进率是100（结构图略），公顷按照这个结构可以成为平方百米。若相邻面积单位间进率是100，那么公顷与平方米之间的进率却是10000，致使结果模型混乱，所以学生在这里容易错。因此，现在有数学家建议增加一个面积单位，其实这个单位我国原来就有，即公母也称平方十米。这样就完善了面积单位的模型，每相邻面积单位间的进率都是100，结构完善了，学生学习起来就更为系统和顺畅。

因此，我们一线教师要多间研读教材，多思考。必须重视小学生数学模型思想的培养，引导小学生用数学模型来描述身边的自然现象和社会现象。

教育是人生存的需要，接受教育是孩子的本能。教育大致可以分为三个阶段。第一阶段是经验的教育，如古代师带徒的教育，那是过程的教育；第二阶段是知识的教育，以知识为本、致力于“双基”的教育在本质上是一种结果的教育，这种教育缺少的是智慧；第三阶段是智慧的教育，智慧类似于素养，它表现在过程中，如解题的过程、玩的过程、做实验的过程。我们要提倡智慧教育，（核心素养与三维目标的关系图略）因此，现在提出的教育目标不是一维的而是三维的，不仅重视结果（知识），还要重视过程（智慧）、重视学科素养的培养。