例谈用算术方法解决问题

主讲：魏  洁  数学特级教师    江苏省南京市五老村小学

李  新  数学特级教师    江苏省苏州市吴江实验小学（字幕）

魏：老师们，大家好！了解数学课程改革历史的人都知道，应用题改革历来是数学教材改革的重点内容之一，但以往的改革都表现为量的增减和难度的升降，改革的总体趋势是：内容由繁难庞杂趋向于简洁明了，解法由算术解到算术解与方程解相结合，能力培养上由单纯重视解题技巧发展为同时重视解题思路。在传统数学教材中，应用题是小学数学除了“数与计算”之外第二大部分内容，也是教师们开展教学研究时关注度最高的一个部份。基于新课改背景下的应用题在数学教育新理念宏观指导下从目标、内容、呈现方式到教学方式上都有了全方位的改革，以解决问题的面貌出现。在新课改实践中一线教师们积累了很多这方面的宝贵实验经验，今天我们以“用算术方法解决问题”的教学为例，共同来讨论研究分享关于解决实际问题教学中的一些成果。

李：《数学课程标准》把应用确定为“发展性领域”中的“解决问题”，相应地，新教材中不再单独设立“应用题”教学的教学章节，以解决问题或“用数学”的方式呈现有关内容，这是削弱学生的数学应用了吗？课改实验初期，有不少教师对解决问题的教学提出过这样的困惑。

幻灯片出示：（随李老师的配音同步出现，下面幻灯片的出现方式同此）

教师的困惑： 新教材中不单独设立“应用题”教学的章节，以解决问题或用数学的方式呈现有关内容，这是削弱学生的数学应用了吗？

  魏：从过去的应用题教学到现在的解决实际问题，实际不是变了名称，而是变了本质。传统应用题能积累一些常见的数量关系、发展思维、能巩固和运用计算知识、有培养解题习惯的优点，但它往往安排在计算之后独立单元，分类过细，且人为编造的痕迹较重。解决问题它不能和应用题划等号，它是一种新的观念，又是一种有意义的重要活动，更是一种可行的教学方法。“解决问题”目标的实现将贯穿于数学课程的全部内容之中，在抓住“用数学”教学的同时，充分关注问题的“感知—发现—提出—解决”的整个过程，引导学生经历解决“问题”的过程，形成数学应用意识，新教材中不单独设立“应用题”单元，不以专题训练和类型分析的形式来组织教学，将解决实际问题与数学意义的运算相结合，这不是削弱了数学的应用，而是加强了学生数学应用能力的培养。

幻灯片出示：

解决问题不能和应用题划等号，它是一种新的观念，又是一种有意义的重要活动，更是一种可行的教学方法。 “解决问题”目标的实现贯穿于数学课程的全部内容之中。

  李：从教学目标上比较，过去应用题教学，首先是学会解题，虽然这也是培养学生运用数学知识解决实际问题，而实际效果仅仅是将运算（数量关系）放到一个人为编制的、特定的、结构良好的解题环境中，解题的过程就是“算法化”；其次是通过解题发展学生“言必有据、严密推理”的逻辑思维能力，却很少有猜想、预测、合情推理的机会。而新课标解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。

幻灯片出示：

从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。

  新教材把学生“解决简单的实际问题”视作帮助他们进一步掌握和应用数学基础知识和基本技能的重要渠道，视作学生初步数学能力的具体表现。教学目标主要有这样三点：

幻灯片出示：

解决问题的教学目标：    · 培养学生从身边的客观环境中提取数学结构的能力。即用数学的眼光观察生活，用数学的思维去分析现象，用数学方法去解决问题，逐步形成应用数学的意识。    · 促进学生逐渐概括化地把握常见数量关系之间的联系，发展解决问题的策略，增强思维的灵活性、创新性。    · 使学生在解决日常生活和其他学科具体问题的过程中，进一步理解运算的意义，掌握运算的方法与技巧。

 魏：从教学内容和编排上比较，传统小学数学研究的简单应用题有11类，归纳起来是四种类型：比如说相差关系、相并关系、份数与总数之间的关系、倍数关系等等。这些以解题为目的的应用题强调了文字组织的严密性，严格按照式题→文字题→应用题的递进关系进行编排。若进一步分析，这些“循序渐进、环环相扣”的应用题看似十分严谨，将现实问题高度概括化、标准化和形式化，但是其情节虽然源于生活，但往往过分“高”于学生的实际。

新教材中虽然已经没有应用题三个字，取而代之的是“用数学”或者是“解决问题”，但是结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。

幻灯片出示：

从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 从教学内容和编排上比较，结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。

 

我们认真梳理各个版本的1-3年级的课标教材，进行对比，可以看到新课程解决问题内容的编排与原来应用题体系之间的这样一种关系。比如：

幻灯片出示：

结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
1.      加减法的认识 2.      10以内加减法 3.      20以内加减法	用加法和减法解决简单的实际问题，与加法、减法的运算意义密切结合，注重加法和减法的多种“原型”的渗透，如加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型。	如果从类型上说，包括求总数、求剩余

   幻灯片出示：

李：

结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        100以内不进位、不退位的加减法 l        100以内进位、退位的加减法 l        100以内加减混合运算	用加法和减法解决简单的实际问题，仍与加法、减法的运算意义密切结合，在数的范围上拓展至100以内的数。	巩固求总数、求剩余，出现求一个数比另一个数多（少）几、求两个数相差多少等的实际问题
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        乘法的认识与乘法口诀 l        除法的认识与用口诀求商 l        倍的认识	用乘法和除法解决简单的实际问题，与乘法、除法的意义紧密结合，强化乘法、除法意义的理解，注重乘法和除法的多种“原型”的渗透，如乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分、乘法逆运算等的模型。	包括求几个相同加数的和，平均分，求一个数的几倍是多少，求一个数是另一个数的几倍等实际问题
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        一位数除两位数的除法 l        乘（除）加、减的两步混合运算 l        万以内的加减法与混合运算	l        用除法解决简单的实际问题。 l        用两步混合运算的知识解决实际问题，与运算顺序的教学紧密结合。	包括乘加、乘减、除加、除减、加减混合等需要两步计算的实际问题
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        一位数乘两、三位数的乘法 l        一位数除两、三位数的除法	用乘法和除法解决简单的实际问题，与运算意义紧密结合，计算由表内乘除法拓展到非表内乘除法，信息的呈现越来越丰富，出现连续多问的实际问题。	出现连乘、连除、乘除混合等计算的实际问题。
结合数的运算等内容	解决问题的编排	备注
l        两位数乘两位数的乘法 l        在购物情境中，一位小数的加减运算 l        平均数（统计）	l        用两位数乘两位数的乘法解决实际问题，逐步提升解决问题的复杂性和难度 l        用小数加减运算解决实际问题 l        用平均数有关知识解决实际问题	多次巩固了以前出现的简单的乘法应用,以及连乘、乘加、乘减、乘除两步的应用。

魏：通过刚才我们对教材的分析与阅读，我们不难看出，新课程对这些基本的、重要的、核心的数学内容都是按照“问题情境——建立模型——解释与应用”的这样叙述方式进行编排，创设了一个个学生们所熟悉的，贴近他们实际的问题情境，在通过引导学生观察、实验、猜测、验证、推理、交流等一系列的数学活动中，逐步建立起来这一问题的数学模式，然后再运用这一模式去解决（释）一些现象或解决一些实际问题。

幻灯片出示：

教学内容都是按照“问题情境——建立模型——解释与应用”的这样叙述方式编排。

 李：从内容呈现方式上比较，内容由纯文字、标准格式变成了更丰富生动与生活实际紧密相联的主题图、表格等，这些文字、图画、表格的结合拓宽了原来问题的结构空间，使题目结构不一定良好，情景可能复杂，数据需要从画面中获取，相应的问题需要学生自己提出，解决的模式可能不唯一，答案也可能各不相同，等等。但这些都成为学生探索未知、获取发展的动力，引导着学生主动进行比较、实践、猜测、证明等发现性探究活动。

幻灯片出示：

从教学目标上比较，解决问题的教学目标从学会解题转向培养应用意识。 从教学内容和编排上比较，结合数的运算等内容，将传统教材中的应用题教学内容在新的教材中间也进行了编排。 从内容呈现方式上比较，内容由纯文字、标准格式变成了更丰富生动与生活实际紧密相联的主题图、表格等。

   魏：面对解决解决问题的目标，教材内容，呈现方式上的这些变化，教师们在实际教学中间还是遇到了很多问题。有的教师想创设生动的情境，让学生们在情境中间学习，但是又担心学生受到这些情境的干扰，而忽略了数学本身知识的内在联系，造成知识与技能的不扎实；有的老师了解解决问题教学与运算意义教学紧密结合的作用价值，但究竟如何做到“算用结合”，把握好“算”与“用”各自的侧重心中无数；还有的教师想让学生自主探索解决问题，突出个性化的学习，但又深深感到处理多样化与基本解法的关系之间十分棘手；有的教师想细细分析题中的数量关系，但又怕有教法传统之嫌，让学生容易产生机械地模仿、操练，没有了探究的欲望等等。

今天围绕这些问题，我们共同来品读两位教师的教学案例，学习他们在新课标的理念指导下，所形成的解决问题教学的新思路和新方法。

案例8-1（江苏省南京市五老村小学  周宇红）（字幕）

 李：解决问题的第一步是充分地、正确地理解问题，把握教材。本课教材以汽车上、下车情境呈现问题，教学时，教师对主题图的编写意图把握很好，明确提出：你能看图按事情发生的顺序说一说图意吗？直接引导学生进入情境、了解情境，让学生仔细地看、充分地讲。在情境图里看到些什么，鼓励学生大胆地用自己的话按事情发生的线索说一说，培养学生有条理地叙述。从情境中明白要解决的问题，收集用于解决问题的必要材料。

明确主题图的编写意图，搜集整理信息

幻灯片出示：

魏：理解主题图的意义是教师把握教学目标，有效实施课堂教学的前提。在使用主题图的过程中间，要结合具体的教学内容，明确主题图的功能，科学地进行分类使用。在教学的实践过程中，有老师总结出新教材在第一学段主题图的内容展示的过程中，大致有这样三种表现形式：第一类为大场景、大容量。图中通常没有卡通“对话”等语言信息，重在为学生提供丰富而开放的现实题材，让学生收集现实生活中的数学学习素材，培养学生收集信息的能力，培养数感，提高学生的数学素养。

幻灯片出示：

明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式：       第一类为大场景、大容量。

 比如说，某一教材在“认识1、2、3、4、5这五个数”，这时呈现的主题图是以“庆祝教师节”为场景，让学生们用自己的眼光和视角，引导学生从不同的角度全方位地进行观察，根据

幻灯片出示：

  

 主题图说出用1、2、3、4、5表示的人或物的数量，经历了从具体到抽象再到具体的认数过程。对于这类主题图教师就要大胆的采用“大胆开放”的策略，重在引导学生认真观察主题图，充分交流得到不同的信息。

而第二类的主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现数学问题的有关信息。教师在运用这类主题图时，要在深刻理解教材的基础上，根据教材的内容，象这位老师一样可以采用“直奔主题”式的策略进行教学。重点放在如何引导学生进入图中搜集信息，提出问题，而不必对情景中间的非数学本质的信息过份的强调和渲染。第三类为主题单一、容量较小的主题图。对于这类主题图的使用，教师要做到收放自如、张弛有度、科学引导。

l        明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式：  第一类为大场景、大容量。大胆开放  第二类主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现了数学问题的有关信息。直 奔主题  第三类为主题单一、容量较小的主题图。科学引导

幻灯片出示：

 例如：第一册在有关“8的加减法”教学的时候，我们看到这幅图，

幻灯片出示：

 可以引导学生观察，“图上画的是什么人？”，“他们在那里干什么？” 让学生提出数学问题，说说怎样列式？学生根据图中“游泳池中有5 个小朋友，池边有3 个小朋友”，或者“有5个男同学，3 个女同学”、“有2 个同学用游泳圈，有6 个同学没带游泳圈”等不同的分类标准，从不同的角度进行观察，列出有关8 的加减法的算式，在这之后，教师就要适时的“收回”了，而不宜让学生再信马由缰式地回答“扎辫子的有1 人”，“有1个男同学蹲着”等等这样一些话题，而要引导学生学会整体地进行观察，并渗透科学的分类标准，使学生在进行观察的同时学会数学地进行思考。
    李：周玉仁教授曾经指出：在解决实际问题时，学生实际上完成了两个转化。从纷乱的实际问题中获取有用的信息，抽象成数学问题，这是第一次转化，然后分析其间的数量关系，用数学方法求解或求近似解，并在实际中检验，这是第二个转化。

这位老师在完成第一次转化后，充分利用现实情境唤醒了学生已有的经验，进行数量关系的分析。

幻灯片出示：

l        明确主题图的编写意图，搜集整理信息 第一学段主题图的内容主要有三种不同的表现形式：  第一类为大场景、大容量。大胆开放  第二类主题图相对突出、集中，并用对话的形式呈现了数学问题的有关信息。直 奔主题  第三类为主题单一、容量较小的主题图。科学引导  利用学生经验分析数量关系，体会运算顺序。

 

 有的学生根据坐汽车时先上后下的经验，得出车上人数+上车人数-下车人数=车上现在人数；也有的学生根据无人售票车可以同时上、下车的经验，得出车上人数-下车人数+上车人数=车上现在人数，在分析中体会到加减混合运算的运算顺序都是从左向右依次计算的。解决实际问题的教育价值，因为和计算教学结合起来，赋予计算以具体的意义，不仅有利于学生体会计算的含义，也有利于学生应用知识方法，巩固知识，培养应用意识，掌握解决问题的一般方法，实现好第二个转化。

案例8-2（南京市五老村小学  张惠）（字幕）

 李：解决问题不只是解决他人提出的问题，还要自己提出问题并努力去解决它们。这位老师鼓励学生大胆地提出问题，是因为她准确把握了所提问题与学生已有认知结构的联系和距离。学生在前三册教材中解答过许多一步计算的实际问题，对常见数量之间的关系已积累了一些认识。教学中教师让学生提问激活这些经验，在学生进入这些情景捕捉各种信息的同时，引导他们说说除了看到的条件，还能想到些什么、还能算出些什么。帮助学生利用已有经验构思了解决问题的有效计划。在练习中，两步计算问题中条件的关系比较复杂时，教师还鼓励同学们通过画画、摆摆等活动，理清关系，构思有效的解答计划。

幻灯片出示:

鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。

 

（1）鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。

魏：求得问题的结果，并经过检验，验证答案是合理的，可以说这个实际问题就已经解决了。但是，教学还没有结束。教材中的那些实际问题不仅要解决它，还要通过这些问题为今后在日常生活和继续学习更多、更复杂的问题积累经验。因此，解决问题之后的反思就显得必不可缺少。

幻灯片出示:

鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。          反思过程，积累解决问题的经验。

  （1）鼓励学生在现实的情境中提出问题，构思解决问题的有效计划。

这位教师很好的抓住了这个环节，她要求学生们围绕刚才是怎样理解这个实际问题的、怎样制订解决问题计划的等这样一些环节，组织学生进行反思。通过说一说你从情境中找到了哪些条件，你是怎样整理这些条件的；说一说你是抓住情境中的哪些信息来确定解决问题计划的；说一说对计算结果是不是合理你是怎样思考的，引导学生有效地进行反思。

在反思与交流中，学生之间相互了解、评价解决问题的方法，体会方法的多样性。这样一来，既可以根据条件提出问题，也可以根据问题寻找条件，通过两种方法的比较，选择自己喜欢的合适的一种方法。

通过以上两个案例的我们共同的学习与分析，我们可以看到，新理念之下的解决简单的实际问题的这些教学，它不同于那些仅仅通过识别题型、回忆解法、模仿例题等非思维性的这些活动来解决问题，而是需要学生通过观察、思考、猜测、操作、交流、推理等各种形式，有思维成分的这些活动来解决问题。学生在解决问题中都经历了一个过程，而在这个过程中，刚才的两位教师都没有直接告诉学生怎样算，不是把解决问题的具体方法展示给学生，让他们仅是看清楚、听明白；而是通过组织学生开展有序的活动，鼓励学生积极地参加活动、主动地进行探索。从两位老师的教学中，我们是不是可以概括出这样一个教学解决简单实际问题的一般方法呢？

幻灯片出示：

教学解决简单实际问题的一般方法： 1.进入情境，搜集和整理信息，形成数学思考； 2.利用经验，构思解决问题的思路； 3.自主探索，让学生正确选择算法，独立解决问题； 4.反思过程，积累解决问题的经验。

李：在解决问题的教学中，我们还要注意以下几个方面的问题。

1．情境要适切。

良好的情境要服务于教学目标，要联系教学内容选择素材，联系生活，特别是学生的生活经验与知识水平，切不可让“情境”增加了学生学习的难度，迷糊了学生；同时，教师要善于把握时机，张弛有度，忌“流连忘返”。

2．教材把握要准确。

新课程教材把解决问题分散编排，不同年段有不同要求，不同内容下的解决问题又有不同的编排意图。有时解决问题例题少，习题和练习的变化和数量跨度大，要把构思解题计划形成解答思路的教学作为灵魂，只有抓住怎样思考，引导学生形成思考方法，构建数学模型，才能带动更大范围内的问题的解决。

3．传统精华要继承。

我们教师在过去长期的教学实践中形成了应用题教学的优良传统，今天新课程改革下的解决问题教学有些是十分有益。比如：引导学生认真分析数量关系，发现数学中的主要矛盾，学会构建数学模型的具体方法……都可以为我们所用。

注意以下几个方面的问题。 l        情境要适切。 l        教材把握要准确。 l        传统精华要继承。

 

 魏：对，所谓的“扬长避短”，我们的一线教师应该要正确处理好继承与发展之间的关系，找到继承与创新的平衡点，在继承中发展，就能实现从“应用题”到“解决问题”的有效渐变，真正提高学生的数学问题的解决能力。解决问题的教学任重而道远，还需要我们在实践中去不断去积累、探索与发展。