如何帮助学生形成自然数概念

黄建弘（上海师资培训中心实验基地  特级教师）

宋永福（上海师资培训中心实验基地 中学数学一级教师）

 黄：各位老师大家好！今天我们讨论的课题是：如何帮助学生形成自然数概念。

 宋：黄老师，按全国《课程标准》，对自然数概念的教学要求比以前已经大大提高。自然数概念的形成过程已经由从“个数”和“序数”角度来认识自然数转为从多角度来认识，当然这一过程是逐步地，是在学生的具体活动中进行的，其跨度为整个小学阶段。您能具体介绍一下如何帮助学生形成自然数概念吗？

黄：首先，上世纪六十年代后，逐步用集合论来处理自然数及其运算。教学心理的成果逐步地在小学数学教学当中得到了应用，突出的是“分类放在计数的前面”，由于皮亚杰多年研究后得出：自然数概念的发展不会早于类概念（分类结构）的发展，所以现在大多数国家将分类放在自然数概念之前。

例如目前在自然数概念引入的时候常常先进行有趣且有益的分类活动。也就是先分一分再数一数。这种活动使学生既产生了分类的思想，又开始有了类的逻辑的经验，国际上最著名的分类逻辑学具是彩色图形片，

现在请大家看图片：

它是根据颜色（红、黄、蓝、绿）、形状（圆形的、三角形的、正方形的）和大小（大的、小的）而组成的24片图形片。儿童可以从颜色、形状、大小对彩色图形片进行分类。

 先按颜色进行分类；然后可以按大小进行分类；最后是按形状进行分类。

 这种分类活动几乎在国际上所有的教材当中都有。它既能有趣地引导学生建立关于“类”概念的有关经验，又能建立有关的逻辑的经验。

学生通过分类以后，积累了类和逻辑的经验。

下面请看图片，学生知道大的正方形和小的正方形，并起来就是正方形，在彩色图形片的分类过程中，同时为认识几何的基本图形积累了经验

关于分类的教学，还有很多其他的例子。

现在请看下面的例子：

这是六盆花，它按颜色进行了分类；这里有8个球，它们按功能进行了分类；这里有7个学生，按性别进行了分类；这里有8本本子，按大小进行了分类；这里是按状态进行分类；这里按颜色进行了分类；这个题目是很有趣的题目，第一次它根据篮子不同的形状进行了分类，第二次它根据篮子里有没有水果进行了分类。

最后一个分类的题目是一个很有趣的题目，对儿童的发散性思维的培养是很有益的。因为儿童可以从篮子的形状来分类，也可以从篮子中是否装有水果来分类。

这就是说，对于相同的东西，引导和培养学生从不同的角度去进行思考，进行分类，这就是培养了儿童的发散性思维。

 宋：那么，帮助儿童建立了类的概念后应该怎么做呢？

黄：现在的教学处理，分类与计数有时几乎是同时进行的，分了类就要数一数有几个，这样就产生了基数，包括有些分类分出的集合是空的，这就产生了零。这也就是为什么现在要将零也归入自然数的一个原因。这样就帮助儿童建立了基数（个数）的概念。

基数在小学里都称为“个数”。

 宋：黄老师，从上世纪七十年代开始，自然数就作为一个复杂概念出现，是这样吗？

 黄：是的，上世纪七十年代开始后，对新数学进行了批评后，自然数概念就被理解为一个复杂的概念，有更多的观点相互补充，比如讲维特曼(Wittmann) 在1972年他发表了他的观点；斯坦因(Steiner)  在1972年也发表了一些有关的观点；著名的数学教育家弗赖登塔尔(Freudenthal)在 1973年也发表了观点，之后，国际上就把自然数的概念作为一个复杂的概念，做得非常富有成果。

这些观点相互补充，使自然数概念在小学的学习中进一步地形成了下面多角度的布局：

第一个从基数的角度

数被用来作为集合中元素的个数的标记。

这里的“数”是作为回答问题“几个？”的答案，在语言上有的时候这些基数还会有名称。比如说2枝（铅笔）。那么就用2枝来回答。

在这里要帮助儿童认识到：在计数过程中计数的对象与计数的结果是无关的，这是非常重要的。比如有3个苹果，计数的结果是3；3个足球，虽然对象不同了，但计数的结果仍然是3。

下面我们来播放一断关于从基数角度来帮助学生认识自然数的媒体。

在这个活动中，学生既对物件进行了分类，又按照它的个数，将这个类、这个集合跟数词、数字联系了起来，比如讲这里是3个书包，它就跟数词“三”，数字“3”联了起来。

象这样的活动，对儿童的思维发展是非常有好处的，它既分了类，又数了数，又认识了数词，又认识了数字。教师在这个教学过程当中，应该有足够的耐心让学生们自己动手来做，而不要以为学生已经会数数了，甚至说有的学生已经能够数到100了，就忽略了这些对思维很有好处的活动。

 第二从有序的角度来认识

序数，数是用来作为一个全的有序排列中元素的位置的标记。这里的数作为回答问题“第几个？”的答案。序数的表示方法有两种，一种用文字“第一、第二、……”来表示，另一种是用阿拉伯数字加点，1在它的右下方加一点“1.”，表示第一，2在它的右下方加一点“2.”，表示第二，等等。

实际上，在计数的过程当中，就已经用到了有关“序数”的概念，因为在计数过程当中，自然数的序列是一直被念下去的。例如对5个苹果进行计数的时候，不管是孩子或成人，都会嘴里念1，2，3，4，5。当然也有的人是在心里默念的。

现在我们来看，如何帮助学生从序数的角度来认识自然数，并如何与基数相区分。

 这是一个非常有趣的，而且有教育意义的活动，学生都在按序地排队买冰淇淋，小胖从远处赶来，那么现在的次序，我们可以区分出谁排在第一，谁排在第二，谁排在第三，然后让学生可以自己填谁是第四，谁是第五，谁是第六，谁是第七，在第一第二第三这个下面一行就是用阿拉伯数字来表示序数。我们就写到第一第二第三，第四以后呢就由学生自己来填。学生通过这个活动，他对序数有了认识，并且由于他是自己参加了这个活动，所以他就建立了很好的一个表象。这时候，小胖插队了，插队以后然后要重新排序，很显然，小胖就插入了第三个位置，遭到了大家的批评，然后小胖很不好意思地就站到了队伍的后面，这里还有一个情节，就是每当一个小朋友买完了冰淇淋以后，这个队伍就向前靠了，每个人的序数也有了变化，所以这个活动对学生关于序数能力的培养是非常好的。

在教学实施的时候，目前国内外的教材都提供了学生熟悉的环境，让学生几乎同时形成了基数与序数的概念。实际上在回答“有几个？”的时候，学生在计数过程当中必须同时用有序的自然数序列与对应的思想（口中念的数与被数的物件，即集合当中的元素对应起来）。

由于在心理的过程上基数与序数几乎是同时进行的，都设有“几个与第几个”这一节，一来为了强调它们之间的关系，二来突出了重点。此外让学生能及时地在语言上掌握数词、数字、序数词以及它们之间的关系也是很重要的，要要求学生能够熟练地数、读、写。

 宋：自然数除了表示基数与序数外，还有什么其他的意义？

 黄：数还被用来作为一个行为或者一个过程反复出现的次数。这样的理解对我们是新的，下面请看图片

图片当中的“3”表示：5重复加3次

在这张关于体积的图片当中，大家可以看到同样是3，这里的3表示a重复地乘了3次

这里的数都是作为回答问题“重复多少次？”的答案来出现的，比如，一次，二次，三次，……。

 宋：黄老师，我们已经从基数、序数、运算次数三个方面来认识自然数了，请您继续给大家介绍。

 黄：接着我们来谈一谈从量的角度（也就是量数）来认识自然数。

这里的数被用来作为度量单位选定以后，注意一定要度量单位选定以后，然后才能得到量数，相关的问题有“多大？多长？多重？”等等。

这是一张关于克与千克的图，这个活动是要称一称老师的字典有多重，称出的结果是这本字典是1000克，这个1000就是量数。

量数参与计算的时候，要否同时写上单位的名称，在教学界有两个观点。一种是整个计数过程当中都要写上单位的名称，这样学生就不容易产生将两个不同的单位的量数相加。物理与化学教学界常常提出这个要求。另一种观点是认为只要在结束的时候才标出单位的名称，当然这个是数学教学界，说是为了减轻负担，我认为这个是站不住脚的，对学生是无益的，也不减轻负担。因为这样做，虽然减轻了书写上的负担，但却带过来来一个计算过程当中思维上的负担。很多物理与化学上的错误都是因为不是同一个单位相加，学生搞错了，比如讲，如果把2克和3千克当中的2和3相加，因而引起了错误。

 宋：对，请黄老师再从计算数的角度来认识自然数的意义，再讲一讲。

 黄：从计算数的角度来看

自然数集对于加法运算和乘法是一个半群，所以自然数当然可以作为一个计算数参与运算。

例如 7+8=15

7×8=56

这里的7、8、15、56都是作为计算数出现的。

 宋：自然数的还可以从编码、代码的角度来认识，黄老师请您继续介绍下去。

 黄：自然数被用来作为编码和代码是在2000年以后，就是面向新世纪的课标规定的。我记得，弗赖登塔尔在1973发表的当书中，还没有把编码列入自然数的概念的多角度的认识，由于21世纪进入了信息社会，所以编码就非常重要，现在自然数是被用作来作为对象区分的标记（比如电话号码、邮政编码、坐标，商店里的条码图等等）。

这个课页的意思是，元旦要到了，大家都要写贺卡，贺卡上面一定要有邮编，那么邮编上的字表示什么意思呢？大家可以看看，这封信上的邮编是743011，那么，邮政编码是由六们数字组成的：前两位数字是表示省、直辖市或者是自治区，前三位数字表示邮区，前四位数字表示县（市），最后两位数字表示投递局（或投递所）。

值得注意的是：

上述各种观点之间的统一是通过计数的角度而形成的：因为我们上面从多角度解释了关于自然数的意义，那么大家可以思考一下，不管哪种观点，都离不开计数，例如通过计数来编号获得楼座号，通过清点来获得集合当中元素的数目和行为重复的次数，通过用一个单位去截一个量，然后通过清点获得截得的份数以及获得量数和通过继续计数例如获得加法的结果等等，都离不开计数。

在这些不同的角度当中有趣的是，一些（例如基数、计算数）与表达数的符号体系有关，比如讲同样是5，在十进制当中表示的方法和二进制当中的表示的方法是不同的。而另外的角度（比如序数、运算次数、量数和代码）又在不同的情况下有不同的含意。人们要根据具体的情景去区分它们。

在上述多角度的自然数概念中，序数与基数是最基本的。

 黄：我们已经从六个方面来认识了自然数，小学中通过哪些活动来帮助儿童发展自然数概念呢？请宋老师讲一讲。

 宋：虽然自然数概念的形成已成为多角度的局面，但计数仍然是统一这个局面的重要活动。

计数是儿童发展自然数概念的重要手段。我们先请黄老师具体地谈一谈吗？

 黄：唱数与数数活动是儿童形成数概念的起点。

像幼儿园里、小学的低年级，老师常常会让学生进行唱数歌，唱数就是唱数歌，数数。儿童大约在二岁到四岁的时候开始模仿大人学会唱标准的自然数序列到他能唱到的数为止。不是每一个人都一样的，都是跟他的家庭有关，跟他的环境有关的，是因人而异的。唱数是模仿活动，儿童是没有办法创造的，这主要是决定于他的环境。

进了幼儿园和小学以后就有了数数的活动，当儿童能唱标准的自然数的序列到某一个数的时候，比如能唱到十，二十，一百的时候，就能使用所唱的标准的自然数的数词序列为工具来对集合进行计数。比如我能够唱到二十，这里正好有18朵花或20朵花，我就能够数到18或者20，如果说我唱数歌只能唱数到20，而被数的花有30朵花的话，我就数不下去了，我最多能够数出来20。

所以，被测定集合中元素的个数一定要小于儿童能唱的标准自然数序列的最后一个数。

 宋：在刚开始时，儿童的数数活动常会出差错。例如说，唱数词序列的活动过长（也就是集合中元素的个数相对儿童的年龄太多了），儿童的注意力尚有限，儿童一般能正确地数但有快慢之分，家长或老师只能多作示范，因为儿童学习的模式来自“大人示范—儿童模仿”。决不能操之过急，对于出错多的儿童，有时只能耐心等待。而成人应该把握的重点是一：儿童唱标准自然数数词序列的前后次序，所以常常可以进行关于邻数的活动，即这个数的前一个数是什么，后一个数是什么；二是儿童是否对一堆“被数的物体”（即集合）进行一个数词对一个物体的一对一点数的“数数活动”。

黄：这个数数活动是非常重要的，它也就是培养了学生积累关于一一对应的经验。因为数的过程当中，比如讲，这里三朵花，一、二、三，我数的过程中就有个一一对应的过程，如果儿童达到了你讲的这两点，就说明他已经有了最初的关于某数的概念，比如讲数6这个概念，当然是从基数的角度和序数的角度来说的。

 宋：接着，自然数概念从多角度特别是运算中得到进一步发展。

自然数概念从多角度得到发展，例如测定量数时还会得到发展，最重要的是在运算中作为计算数更进一步地得到发展。随着“被数物体”（集合）的个数的不断改变，逐步地积累不同数量的数数活动。儿童数概念水平得到提升并向精确发展，可以说儿童数概念的持续发展靠数数活动的积累。

 黄：但数概念的持续的发展则是在自然数加减法的基本能力的培养当中。例如自然数范围内的加法情景的文字题“小胖有8张邮票，小丁丁有4张邮票，两个人合起来有多少呢？”在回答这个问题的时候，自然数的说读写做的能力会得到进一步地发展。他们在加减法问题当中将不断地进行“数数活动”或将数作为计算数来操作。前者是可以分为继续数：因为小胖有8张邮票，然后他继续数， 9、10、11、12，噢，有12张邮票；或是把这小胖的8张邮票和小丁丁的4张邮票，合起来数，然后确定总量，这是前者，这是一个数数活动，不管是继续数，还是合起来数，反正它是一个数数活动；后者呢是一个加法运算的活动，就是将8+4变成8+2先凑成10，然后再加2，最后得到12张邮票。

 宋：在这个过程中，有些学者认为，在实际操作中要强调：

第一，唱数活动是数数活动的预备活动，所唱的标准自然数序列是数数活动的工具。

第二，做数活动，也就是说，看到一个数字或听到一个数词能拿出对应数量的具体物，和数数活动是解决自然数加减法问题活动的预备活动。

第三，自然数的说、读、听、写、做活动是学习自然数加减法的预备活动。

 黄：你讲的都对，下面我们来探讨一下数数的高级阶段，数数的高级阶段就是“几个几个地数”

新世纪发达国家小学课标当中都有“几个几个地数，这个几个几个的数，通俗一点讲就是一组一组地数，比如讲五个一数、十个一数。学生在初步学习百以内数的计算以后就可以对较大的（一般在百以内）被数物体群（即集合）的个数进行几个几个地数并建立计算模型。有两个一数的，五个一数的，十个一数的，然后通过运算得到最后的结果。经调查发现二年级学生能用多种方法进行“几个几个地数”，并与算法相结合，通过建模来解决数苹果的问题。我看了这个实验，我感到非常好，因为学生在这个整个活动过程当中非常活跃，有两个一数的，有五个一数的，有十个一数的，然后自己确定一个计算公式把它计算出来。

 目前大都数国家已经将“几个几个地数”定为教学目标。

下面请看课件

这是50个苹果，包括我们成年人，如果你去数的话不一定能够数对，怎么样才能够又正确又容易的把它数出来呢。下面我们来看。

 宋:这张苹果图表面的复杂性，会使人第一眼看到这个问题就觉得，要数好是相当困难的，经仔细观察后，如果他们能发现图中苹果排列的特征就能使数苹果变得容易。

 一般地说，儿童首先想到的是一个一个地数，从头数到尾，这种数法最耗费时间且容易数错；

有的儿童能想到两个两个地数，也就是一对一对地数，这种方法比前面的方法要好；

有的儿童采用五个五个地数的方法，可细分为两种，我们来看；

有的儿童采用十个十个地数的方法，也可细分为两种，我们来看：

 这里，我们可以看到第二种比第一种分得更清楚，不容易错；

还有儿童想出了其他的数苹果的方法，这里斜向计数是关键，都用到了“对称”的有关经验：这种方法在最后计算时相对比较麻烦；还可以用对角线分开来数，这样只需数出一半的苹果数，然后再加倍即可。

 宋：刚才我们看了一个非常有意思的课件，那么，黄老师，自然数集是一个无穷集合，这种思想如何渗透到小学中去呢？

黄：自然数的学习在小学的高年级开始出现与无穷集合结合的萌芽，注意，只能说是萌芽，孩子们通过经验知道自然数没有最大的，因为如果说，宋老师你说N是最大的，那么他会说N+1比你说的数还要大。这些铺垫是慢慢地完成的。你还记得吗？在低年级的时候，我们常常会出这一类题目，比如“说出某个自然数的邻数”，比如14的邻数是什么，学生会正确地回答是13和15，还会提“某一个自然数的下一个自然数是什么”，比如说{ 20的下一个自然数是什么，学生就会非常快地回答21，这些活动都是为“自然数是无穷无尽的”的出现做了一个理解上的一个准备，或者是打下了一个基础。

小朋友已长大，我们来看一看，他们是否能从多角度来认识自然数。

0是最小的自然数，然后再研究自然数有没有最大的，这个时候小巧说，我读到最大的自然数是光一年走的千米数，是9460800000000，小胖说，我只要把你这个数加上1，就比你还要大，然后学生们就理解了，没有最大的自然数，自然数会一直延续下去，永远不会结束。

下面一个活动，是自然数可以表示什么？例如3，小巧说它可以表示个数，例如3个；还可以表示序数，例如第三名；小胖说可以表示计算结果，例如2+1=3；还可以表示重复计算的次数，例如3个2相加；小亚说可以表示量数，例如3千克；小丁丁说可以表示编码，比如邮政编码中的3或3号运动员等等。

最后师生共同总结：1. 0是自然数，2. 每一个自然数都只有一个自然数接在它的后面，自然数n后面的一个自然数是“n+1”；3. 最小的自然数是0，没有最大的自然数。

 黄：前面我们讲了从多角度来认识自然数概念，其中从编码的角度来认识自然数对小学数学教学来讲，是一个全新的内容，那么，如何上好这一课呢？我们来看一个关于编码的课的教学实录，以供大家参考。

我们先来看一个片断。

案例6—1  （上海市徐汇区逸夫小学  孙琰）（字幕）

 黄：由于身份证号码是学生在日常生活当中经常会遇到的，现在每一个儿童，他出身的时候就有一个身份证号码，所以这个教学内容对学生是应该能够激发他们的兴趣的，同时也能够让学生深切体会到数学与生活的关系：数学是与生活紧密相连的。

这一片断主要向学生介绍了身份证号码中各个数字所代表的特殊意义，让学生体会到身份证号码这一连串的数字中包含的信息，进而认识到身份证号码的科学性。

我们下面再看第二个片断：

案例6—2  （上海市徐汇区逸夫小学  孙琰）（字幕）

 黄：这个片断的教学设计，设计得我感到比较好，通过双胞胎姐妹的身份证号码的相同之处以及不同之处，使学生进一步认识到身份证号码中各个数字所代表的具体含义，并且认识到身份证号码是唯一的，每一个人的身份证号码都是不能重复的，进一步体会到身份证号码的科学性。

我下面布置一个作业：请各位老师从自然数概念形成多角度的观点出发，对以前的教学进行审视反思，并修改有关的教案。

（插入作业的幻灯片）

 黄：刚才我跟宋老师主要讲了如何帮助学生从多角度来认识自然数的概念，这一讲就讲到这里，谢谢大家！