刘瑞祥

　　一般的二元二次方程组如上，很不好解。所以中学数学课本里只介绍了很简单的几个例题，并没有给出一般解法，使人总感觉遗憾。我综合了几种资料中的介绍，总算是得到一套完整的解法，特此奉献给大家。其中资料1是我最先接触到的，但有的疑问并没有解开，后来参考另几种资料，方得明白。

　　在开始下面内容以前，先说明一下，二元二次方程组一般由两个方程组成，其中之一如果是一次的，或者是一元的，则利用代入法即可求解，这也就是中学课本里讲过的。因此下面只针对两个方程都是二元二次方程的情况。

　　下面谈谈我们的思路：如果其中一个方程的式子能分解成两个一次式的乘积，只要把这两个一次式方程分别和另外一个方程联立，当然也就成功了。如果不行呢？我们可以利用恒等变换，得到一个含参数k的新方程(3)，进而求解（下面的F₁'和F₁"即是方程(3)左边分解后得到的两个一次式）：

因此，我们的任务包括：得到合适的k值，对二元二次多项式进行分解。幸运的是，这两方面都有公式。

　　一个一般的二元二次多项式（注意交叉项和一次项系数前有个2）

能分解的充分必要条件是：

　　以上结论的证明参见资料2（原文给出的行列式有误，对照其后的展开式可知正确表达式）。

　　我们只要把含k的方程(3)各项系数带入上面的行列式，就可以求出合适的k值。可以看出，这个关于k的行列式方程最高是三次的，大不了可以利用三次方程求根公式求出。

　　有了合适的k，仅能保证(3)式能够分解，但是如何分解呢？以下给出一种方法——取零法（见资料3）：

　　对可分解的二元二次多项式，先忽略掉所有含y的项，包括交叉项、y的二次项和一次项，对剩余的项进行分解，得到

再忽略掉所有含x的项，对剩余项进行分解，得到

两式综合在一起（注意两个式子里的常数项是对应的），即原式可分解为

此法简单有效。而其中道理也很简单，把上面几个式子分别展开然后对比系数就可以，只是要注意必须先确定原式能分解才行。

　　资料4中介绍了二元二次多项式因式分解的公式法，比较复杂，这里就不介绍了。

　　在资料1当中，还给出了几种特殊情况下的处理方法，即：

　1.当a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂=k₀时，(3)中的二次项可消去；

　2. 当a₁/a₂=b₁/b₂=d₁/d₂=k₀时，(3)中含x的项可消去（去掉xy项，保留常数项）；

　3. 当b₁/b₂=c₁/c₂=e₁/e₂=k₀时，(3)中含y的项可消去（去掉xy项，保留常数项）；

　4. 当a₁/a₂=d₁/d₂=f₁/f₂=k₀时，(3)中只保留含有y的项（保留xy项，去掉常数项，可以提取出y=0）；

　5. 当c₁/c₂=e₁/e₂=f₁/f₂=k₀时，(3)中只保留含有x的项（保留xy项，去掉常数项，可以提取出x=0）。

　　在上述五种情况下，(3)式左端的分解更为方便。（以上写起来挺麻烦，但在实际做题时可以一眼看出来）

　　前面的方程(3)，当k变化时，其几何含义是过F₁(x,y)=0、F₂(x,y)=0交点的一系列二次曲线（不包括F₁本身）。而当我们求得满足前面行列式的k时，即表示为过F₁(x,y)=0、F₂(x,y)=0交点的两条直线。因为原来的两条二次曲线最多有四个交点，而由方程(3)得到的行列式是关于k的最高三次的方程，最多可以解出三个k值，恰好对应于过这四个交点的三对直线。换言之，对于满足行列式的k值，方程(3)可能对应于下面的直线AB和CD，也可能对应AD和BC，还可能对应AC和BD。

　　又，如果前面给出的行列式是关于k的三次方程，则必有一满足行列式的实根。如果所求得的k多于一个解，当然要选择最方便的那个代入到(3)当中去。

参考资料

1.《初等代数研究》，季素月等，上海科技教育出版社，1994年，P181。

2.《平面解析几何方法与研究》第1卷，刘连璞，哈尔滨工业大学出版社，2015年，P69。

3.《二元二次多项式的因式分解》，陈秀莲，理科考试研究·数学版，2011年第8期，P23。

4.《初等函数基本运算及因式分解的方法》，谷学勤，安徽师范大学出版社，2014年，P122。